云南省騰沖市2023屆高三上學(xué)期期中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

騰沖市2022年秋季學(xué)期期中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，，，，所以，故選：B．2.若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，解得，再由復(fù)數(shù)模的定義得答案.【詳解】由，得，所以.故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【詳解】∵等價(jià)于，當(dāng)或時(shí)，不成立；∴充分性不成立；又∵等價(jià)于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4.已知中，，則等于（）A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，所以，且，所以或，故選：D.5已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，和差公式，輔助角公式及平方關(guān)系即可求解.【詳解】，則；因?yàn)?，?故選：A.6.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)表，可以利用對(duì)數(shù)表查詢出任意對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間約為（）參考數(shù)據(jù)：，.A.3.048分鐘 B.4.048分鐘 C.5.048分鐘 D.6.048分鐘【答案】C【解析】【分析】先將已知數(shù)據(jù)代入公式，再用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到，用換底公式將為底的對(duì)數(shù)換成為底的對(duì)數(shù)，代入已知對(duì)數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.7.已知，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出，在上的圖象，當(dāng)?shù)膱D象在的圖象的上方時(shí)，分析此時(shí)的取值范圍即可.【詳解】作出，在上的圖象如下圖所示：因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以的圖象在的圖象的上方（可以部分點(diǎn)重合），且，令，所以，所以，根據(jù)圖象可知：當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值，，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，，綜上可知的取值范圍是，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).8.已知，則的大小關(guān)系為（）A B.C. D.【答案】A【解析】分析】通過構(gòu)造函數(shù)，同除以6可變形得，利用導(dǎo)數(shù)研究增減性，即可判斷大小.【詳解】，，，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，，，，∴，故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.已知命題，則為B.“”是“”的充分不必要條件C.的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使D.已知都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的充要條件【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定、充分與必要條件、三角函數(shù)、向量共線、對(duì)數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，的否定是：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，或，所以“”是“”的充分不必要條件，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若是非零向量，是零向量，則，但不存在使得，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，對(duì)于“”有，對(duì)于“”，不一定都是正數(shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD10.下列不等式不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值及基本不等式判斷各選項(xiàng).【詳解】時(shí)，，，，A不一定成立；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，B不一定成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C一定成立；，因此，時(shí)，，D不一定成立，故選：ABD．11.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A.若，則在上單調(diào)遞減B.若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則C.若把的圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2D.若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則【答案】ABC【解析】【分析】圖象過點(diǎn)，求出，A選項(xiàng)利用整體代入法驗(yàn)證單調(diào)區(qū)間；由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍驗(yàn)證選項(xiàng)B；根據(jù)平移求出函數(shù)解析式，由偶函數(shù)求出的取值，得最小值驗(yàn)證選項(xiàng)C；由條件中的最小值點(diǎn)和周期范圍求的值驗(yàn)證選項(xiàng)D【詳解】函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則有，由，得，有.若，則，時(shí)，有，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；時(shí)，，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則有，解得，B選項(xiàng)正確；把的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，解得，又，則的最小值為2，C選項(xiàng)正確；若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，，則有，解得，則或，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC12.已知的定義域?yàn)?，且?duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.在上不單調(diào) D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】由賦值法與函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】法一：取特殊函數(shù)取函數(shù)符合題意，驗(yàn)證A，D正確，B，C錯(cuò)誤法二：抽象函數(shù)運(yùn)算對(duì)于A，令，可得，因，所以，故A正確，對(duì)于C，令可得，設(shè)，令所以，即即在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，可得，因所以，所以的圖象沒有關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，因，所以，故D正確，故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】依題知點(diǎn)為切點(diǎn)，，，，，因此，所求切線的方程為，即.故答案為：14.在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是_____________.【答案】.【解析】【分析】由已知結(jié)合向量的共線定理，求得，然后結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋覟樯先我稽c(diǎn)，可得，如圖所示，由三點(diǎn)共線，可得，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.15.設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】通過構(gòu)造奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，，所以是奇函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以在上單調(diào)遞增，由，得，，則，所以的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)，________，方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為________．【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求得；由先分解因式，然后根據(jù)分段函數(shù)解析式求得其實(shí)根的個(gè)數(shù).【詳解】.由得，所以或，對(duì)于，由于，所以無解.對(duì)于，則或，解得或或，所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求的長.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）先求出，在中結(jié)合正弦定理求解即可；（2）根據(jù)題中條件運(yùn)用二倍角公式求出的值，然后在中結(jié)合余弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，在中，根?jù)正弦定理知，，即，解得.【小問2詳解】因?yàn)榍?，所?因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理知，，即，所以，即，解得或（舍去），所以的長為3.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是頂角.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)是等腰直角三角形得，再由平面平面，，可得，進(jìn)而平面，可證平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，利用向量法求二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，是頂角，所?又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，是頂角，所以，又平面平面，平面，所以平面，在四邊形中，，，又，所以，故如圖以為中心，分別以，，為方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，分別設(shè)平面和平面的法向量為，，則，，即，令得，，故令得，，故設(shè)二面角的一個(gè)平面角為，則，所以二面角的余弦值為.19.已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知得，即有，兩式相減得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）由（1）得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法和數(shù)列的單調(diào)性可得證.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，得，兩式相減得，，即有，即為數(shù)列為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，則，，，即有；【小問2詳解】解：，得，則，即有前項(xiàng)和為，，兩式相減可得，，化簡得，由于各項(xiàng)大于0，得，由不等式的性質(zhì)可得.故20.袋中有大小?質(zhì)地完全相同的五個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有0，1，2，3，4.（1）從袋中任意摸出三個(gè)球，標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的球的個(gè)數(shù)記為X，寫出X的分布列；（2）從袋中一次性摸兩球，和為奇數(shù)記為事件A，有放回地?fù)u勻后連摸五次，事件A發(fā)生的次數(shù)記為Y，求Y的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.【答案】（1）答案見解析（2）分布列答案見解析，，【解析】【分析】（1）求出X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列；（2）得到，求出分布列，得到數(shù)學(xué)期望和方差.【小問1詳解】由題可得X的所有可能取值為0，1，2則X的分布列為X012P【小問2詳解】由題易知，因Y服從二項(xiàng)分布則Y的分布列為Y012345P∴，21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率，點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）已知四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊過坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線交點(diǎn)為右焦點(diǎn)F，設(shè)的斜率分別為，試分析是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）由題意列出a,b,c的等量關(guān)系可得解；（2）設(shè)A,B坐標(biāo)，寫出AF方程與橢圓方程聯(lián)立，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，同理得點(diǎn)D坐標(biāo)，然后寫出斜率公式進(jìn)行化簡可得定值.【小問1詳解】由題意知，，所以橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè)，則可得：代入橢圓方程整理得由代入上式得，是方程的一個(gè)解∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，又因?yàn)樵谥本€上∴，同理：∵，∴，即∴為定值，定值.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明，令，則，即可得到，再證明對(duì)任意，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；小問1詳解】解：依