教育部課題423直線與圓方程應(yīng)用

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《在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實(shí)踐》溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué)張明直線與圓的方程的應(yīng)用例4。如圖是某圓拱橋的一孔圓拱示意圖.該圓拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造時(shí)每隔4ｍ需要用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2

的長度（精確到0.01m）.xOyPBAP2A2A1A3A4例1。如圖是某圓拱橋的一孔圓拱示意圖.該圓拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造時(shí)每隔4ｍ需要用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2

的長度（精確到0.01m）.xOyPBAP2A2A1A3A4

思考：若不建立坐標(biāo)系，能有幾何法解決這個(gè)問題嗎？幾何法與解析法(坐標(biāo)法）不同：幾何法是每道題目解法都不同且技巧性很高難想到，而解析法（坐標(biāo)法）是許多題目有相同的解題思路。幾何法是個(gè)性非常強(qiáng)的方法，解析法（坐標(biāo)法）是一般的、統(tǒng)一的、普遍的方法，易操作就是運(yùn)算量比較大，但運(yùn)算量比較大就交給計(jì)算機(jī)運(yùn)算。

解析幾何是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一，它的產(chǎn)生有著深刻的原因．首先，生產(chǎn)力的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求，常量數(shù)學(xué)的局限性越來越明顯了．例如，航海業(yè)的發(fā)展，向數(shù)學(xué)提出了如何精確測(cè)定經(jīng)緯度的問題；造船業(yè)則要求描繪船體各部位的曲線，計(jì)算不同形狀船體的面積和體積；顯微鏡與望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明，提出了研究透鏡鏡面形狀的問題；隨著火器的發(fā)展，拋射體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)顯得越來越重要了，它要求正確描述拋射體運(yùn)動(dòng)的軌跡，計(jì)算炮彈的射程，特別是開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，要求用數(shù)學(xué)方法確定行星位置．所有這些問題都難以在常量數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決．實(shí)踐要求人們研究變動(dòng)的量．解析幾何便是在這樣的社會(huì)背景下產(chǎn)生的．

總結(jié)：在當(dāng)時(shí)以前的幾何是定性研究不是定量研究，不是精確的計(jì)算。同學(xué)們平面幾何或立體幾何中有精確的計(jì)算嗎？沒有。

其次，解析幾何的產(chǎn)生也是數(shù)學(xué)發(fā)展的大勢(shì)所趨，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的幾何與代數(shù)都相當(dāng)完善了．實(shí)際上，幾何學(xué)早就得到比較充分的發(fā)展，《幾何原本》建立起完整的演繹體系，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》則對(duì)各種圓錐曲線的性質(zhì)作了詳盡的研究．但幾何學(xué)仍存在兩個(gè)弱點(diǎn)，一是缺乏定量研究，二是缺乏證題的一般方法．而當(dāng)時(shí)的代數(shù)則是一門注重定量研究、注重計(jì)算的學(xué)科．到16世紀(jì)末，韋達(dá)(F．Vieta，1540—1603)在代數(shù)中有系統(tǒng)地使用字母，從而使這門學(xué)科具有了一般性．它在提供廣泛的方法論方面，顯然高出希臘人的幾何方法．于是，從代數(shù)中尋求解決幾何問題的一般方法，進(jìn)行定量研究，便成為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)．實(shí)際上，韋達(dá)的《分析術(shù)引論》(Inartemanalyticemisagoge)等著作中的一些代數(shù)問題，便是為解幾何題而列出的．已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線相互垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長的一半。xyO’OABCD證明：以AC為x軸，BD為y軸建立直角坐標(biāo)系。則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)E(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)因此，圓心到一條邊的距離等于等于這條邊所對(duì)邊長一半。第二步:進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系。第一步:建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量。你能用平面幾何知識(shí)證明這個(gè)命題嗎？ABCDMNE

幾何法與解析法（坐標(biāo)法——不同：幾何法是每道題目解法都不同且技巧性很高難想到，而解析法（坐標(biāo)法）是許多題目有相同的解題思路。幾何法是個(gè)性非常強(qiáng)的方法，解析法（坐標(biāo)法）是普遍的、一般的、統(tǒng)一的方法，易操作但運(yùn)算量大，運(yùn)算量比較大那就交給計(jì)算機(jī)運(yùn)算。

坐標(biāo)法或解析法由后人發(fā)展出了平面幾何的機(jī)器證明，中國代表人物是吳文俊。

高考考什么？我是沒有藝術(shù)細(xì)胞的。我看不出達(dá)芬奇的蒙娜麗莎的畫好在哪里，但它是歷史上最有名的畫之一。如果你不會(huì)欣賞名畫，那名畫在你面前就是張廢紙，你有可能把它扔掉或當(dāng)衛(wèi)生紙或糊窗簾。這樣的故事媒體上經(jīng)常報(bào)道。數(shù)學(xué)猶如藝術(shù)，需要鑒賞能力。數(shù)學(xué)也是副名畫。許多同學(xué)覺得上課聽不懂，那是因?yàn)閿?shù)學(xué)這幅名畫你不會(huì)欣賞，就像我欣賞不了蒙娜麗莎這幅名畫。對(duì)藝術(shù)的欣賞或鑒賞能力是需要些天賦，但后天可以培養(yǎng)。如果畫家教我蒙娜麗莎畫好在哪里，我想我是聽得懂的，但沒有畫家為我講解。對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞或鑒賞能力我們比起理科班可能弱了點(diǎn)，但只要努力還是可以培養(yǎng)的。高考考什么？誰對(duì)數(shù)學(xué)這門藝術(shù)欣賞的最深刻鑒賞的最透徹，那你高考就能考的分?jǐn)?shù)越高。我再打個(gè)比喻，我們欣賞的音樂是通俗音樂，其實(shí)音樂有高雅，有通俗，有曲高和寡，有流行天下。通俗的音樂我們可以欣賞，但高雅的音樂我們不一定會(huì)欣賞還會(huì)說真難聽。世界音樂之都奧地利的維也納國家音樂廳演唱的歌曲你欣賞的了嗎？我們國家有國家大劇院，里面的音樂你欣賞的了嗎？但堅(jiān)持學(xué)習(xí)慢慢也就會(huì)欣賞了。

例3等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，且|BD|=1/3|BC|

，|CE|=1/3|CA|

，AD,BE相交于點(diǎn)P。求證:AP⊥CP1、幾何法：證明：連結(jié)ED，且作EF//AB交BC于點(diǎn)F，易證：△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，得：∠APE=∠C=60°，∴C、D、P、E四點(diǎn)共圓，

∴∠CPD=∠CED，∵FC=FD=FE，∴∠CED=∠CPD=90°，即：AP垂直CP2、坐標(biāo)法：幾何法與解析法（坐標(biāo)法）不同：幾何法是每道題目解