高考復習數(shù)學課件

第二節(jié)用樣本估計總體

現(xiàn)實中的總體所包含的個體往往是很多的，如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？提示:通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差，這與用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.

給定一個樣本，如何確定中位數(shù)？提示:由初中學過的中位數(shù)的定義知，把樣本數(shù)據按從小到大的順序排列，若樣本容量為奇數(shù)，則排在中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；若樣本容量為偶數(shù)，則排在中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).1.一個容量為20的數(shù)據樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：［10，20］2個，（20，30］3個，（30，40］4個，（40，50］5個，（50，60］4個，（60，70］2個，則樣本在區(qū)間（-∞，50］上的頻率是（）（A）5%（B）25%（C）50%（D）70%【解析】選D.樣本在（-∞，50］上的頻率是

=70%.2.10名工人某天生產同一零件，生產的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，則這一天10名工人生產的零件的中位數(shù)是（）（A）14（B）16（C）15（D）17【解析】選C.把件數(shù)從小到大排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，可知中位數(shù)為15.3.觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖，則新生嬰兒體重在（2700，3000］的頻率為（）（A）0.001（B）0.1（C）0.2（D）0.3【解析】選D.由0.001×300=0.3可知在（2700，3000］的頻率為0.3.4.某射擊運動員在四次射擊中分別打出了10,x,10,8環(huán)的成績，已知這組數(shù)據的平均數(shù)為9，則這組數(shù)據的方差是___.【解析】由9=得x=8.故s2=［（10-9）2+（8-9）2+（10-9）2+（8-9）2］=×4=1.答案:15.甲、乙兩個班各隨機選出15名同學進行測驗，所得成績的莖葉圖如圖.從圖中看，___班的平均成績較高.【解析】結合莖葉圖中成績的情況可知，乙班平均成績較高.答案:乙1.眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同（1）眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.（2）由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據有關，所以，任何一個樣本數(shù)據的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質.（3）眾數(shù)考查各數(shù)據出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據中的部分數(shù)據有關.當一組數(shù)據中有不少數(shù)據多次重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題.（4）某些數(shù)據的變動對中位數(shù)可能沒有影響.中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據中，也可能不在所給數(shù)據中.當一組數(shù)據中的個別數(shù)據變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.2.統(tǒng)計的有關性質及規(guī)律（1）若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1+a,mx2+a,…，mxn+a的平均數(shù)是（2）若數(shù)據x1,x2,…,xn的方差為s2，則數(shù)據x′1=x1+a,x′2=x2+a，…，x′n=xn+a的方差也為s2.（3）若x1,x2,…,xn的方差為s2，平均數(shù)為，那么ax1,ax2，…，axn的方差為a2s2，平均數(shù)為

頻率分布直方圖在估計總體中的應用【例1】統(tǒng)計某校1000名學生的數(shù)學會考成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)是____；優(yōu)秀率為______.1【審題指導】利用直方圖所給的信息，結合相關的關系求解.【自主解答】由已知不低于60分及格，則及格的頻率為0.025×10+0.035×10+0.01×20=0.25+0.35+0.2=0.8.∴及格的人數(shù)為1000×0.8=800.不低于80為優(yōu)秀，則優(yōu)秀的頻率為0.01×20=0.2.∴優(yōu)秀率為20%.答案:80020%【規(guī)律方法】頻率分布直方圖反映了樣本的頻率分布.（1）在頻率分布直方圖中縱坐標表示，頻率=組距×（2）頻率分布表中頻率的和為1，故頻率直方圖中各長方形的面積和為1.（3）用樣本的頻率分布可以估計相應總體的概率分布.【變式訓練】樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據落在［6，10）內的頻數(shù)為_____，數(shù)據落在［2，10）內的概率約為_____.【解析】樣本數(shù)據落在［6，10）內的頻率為0.08×4=0.32.則頻數(shù)為0.32×200=64.數(shù)據落在［2，10）內的頻率為（0.02+0.08）×4=0.4.故樣本數(shù)據落在［2，10）內的概率約為0.4.答案:640.4【例】為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據整理后，畫出頻率分布直方圖，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？【審題指導】設出每組的頻率.利用頻率和為1，求出相應頻率、樣本容量，再求達標率.【規(guī)范解答】（1）由已知可設每組的頻率為2x，4x,17x,15x,9x,3x.則2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.則第二小組的頻率為0.02×4=0.08，樣本容量為12÷0.08=150.（2）次數(shù)在110次以上（含110次）的頻率和為17×0.02+15×0.02+9×0.02+3×0.02=0.34+0.3+0.18+0.06=0.88.則高一學生的達標率約為0.88×100%=88%.【規(guī)律方法】用頻率分布直方圖解決相關問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵.頻率分布直方圖有以下幾個要點：（1）頻率分布直方圖中各小長方形高的比也就是其頻率之比.（2）直方圖中每一個小矩形的面積是樣本數(shù)據落在這個區(qū)間上的頻率.【變式備選】有一容量為100的樣本，數(shù)據的分組及各組的頻數(shù)如下：［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計數(shù)據小于30.5的概率.【解析】（1）樣本的頻率分布表如下：（2）頻率分布直方圖如圖所示.（3）數(shù)據大于等于30.5的頻率是0.08，所以小于30.5的頻率是0.92，所以數(shù)據小于30.5的概率約為0.92.

莖葉圖的應用【例2】某班甲、乙兩學生的高考備考成績如下：甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531（1）用莖葉圖表示兩學生的成績；（2）分別求兩學生成績的中位數(shù)和平均分.2【審題指導】根據所給數(shù)據，作出莖葉圖，再由莖葉圖寫出中位數(shù)，并求出平均數(shù).【自主解答】（1）兩學生成績的莖葉圖如圖所示（2）甲學生成績的中位數(shù)為537，乙學生成績的中位數(shù)為534，甲學生成績的平均數(shù)為537，乙學生成績的平均數(shù)為537.【規(guī)律方法】當樣本數(shù)據較少時，用莖葉圖表示數(shù)據的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，這對數(shù)據的記錄和表示都非常方便，但當樣本數(shù)據較多時，莖葉圖就顯得不太方便了.因為數(shù)據較多時，枝葉就會很長，需要占據較多的空間.提醒：當樣本數(shù)據是兩位有效數(shù)字，且樣本容量又不很大時，用莖葉圖顯得更容易、方便、直觀.【變式訓練】甲、乙兩名同學在5次體育測試中的成績統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲、X乙，則下列結論正確的是（）（A）X甲＜X乙；乙比甲成績穩(wěn)定（B）X甲＞X乙；甲比乙成績穩(wěn)定（C）X甲＞X乙；乙比甲成績穩(wěn)定（D）X甲＜X乙；甲比乙成績穩(wěn)定【解析】選A.∵X甲=X乙=∴X甲＜X乙且乙比甲成績穩(wěn)定.

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【例3】對劃艇運動員甲、乙二人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度的數(shù)據如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根據以上數(shù)據，試判斷他們誰更優(yōu)秀.【審題指導】根據統(tǒng)計知識可知，需要計算兩組數(shù)據的與s2，然后加以比較，最后再作出判斷.3【自主解答】=（27+38+30+37+35+31）=33，

=（33+29+38+34+28+36）=33,s2甲=［（27-33）2+（38-33）2+（30-33）2+（37-33）2+（35-33）2+（31-33）2］=s2乙=［（33-33）2+（29-33）2+（38-33）2+（34-33）2+（28-33）2+（36-33）2］=∴s2甲＞s2乙，由此可以說明，甲、乙二人最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀.【規(guī)律方法】1.現(xiàn)實中總體所包含的個體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標準差、方差是不知道（或不可求）的，所以我們通常用樣本的平均數(shù)與標準差、方差來估計總體的平均數(shù)與標準差、方差.2.平均數(shù)反映了數(shù)據取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據的分散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據的分散程度越小，越穩(wěn)定.【變式訓練】為了選拔一名同學參加全市中學生射擊競賽，某校對甲、乙兩名同學的射擊水平進行了測試，兩人在相同的條件下各射靶10次，統(tǒng)計結果如下：（1）求方差s2乙；（2）比較甲、乙兩位同學的射擊水平，誰的成績穩(wěn)定一些？你認為學校派誰參加競賽更合適.【解析】（1）s2乙=×［(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2］=×(4+4+0+1+0+1+1+1+0+0)=×12=1.2.（2）∵s2甲>s2乙,∴乙同學的射擊水平（成績）更穩(wěn)定一些，學校派乙同學參加競賽更合適.

關于莖葉圖解答題的答題技巧【典例】（14分）（2011·杭州模擬）某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照試驗.兩種小麥各種植了25畝，所得畝產數(shù)據（單位：千克）如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399，400,405,412,414，415,421,423,423,427,430,430，434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397，400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430（1）作出莖葉圖；（2）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據，有什么優(yōu)點？（3）通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結論.【審題指導】利用莖葉圖提取基本的數(shù)字特征，進行推斷和估計.【規(guī)范解答】（1）

…………6分（2）由于每個品種的數(shù)據都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據.…………10分（3）結合莖葉圖可知：①品種A的畝產平均數(shù)（或均值）比品種B高；②品種A的畝產標準差（或方差）比品種B大，故品種A的畝產穩(wěn)定性較差.………14分【失分警示】1.在解答本題時有兩點容易造成失分：一是對于莖葉圖中的數(shù)據容易漏而造成后面分析不準確，二是在觀察莖葉圖得到兩種品種的平均數(shù)和標準差不準確而造成失分.2.此外，在解答莖葉圖問題時，以下幾點容易造成失分.(1)數(shù)據多、讀取難而導致莖葉圖漏掉數(shù)據.(2)數(shù)據較大時用莖葉圖易出錯而失分.【變式訓練】美國NBA籃球賽中甲、乙兩籃球運動員上賽季某些場次比賽的得分如下：甲：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.乙：8，13，14，16，21，23，24，26，28，33，38，39，51.（1）畫出兩組數(shù)據的莖葉圖；（2）試比較這兩位運動員的得分水平.【解析】（1）為便于對比分析，可將莖放在中間共用，葉分列左、右兩側.如圖.(2)從這個莖葉圖可以看出，甲運動員的得分大致對稱，平均得分及中位數(shù)都是30多分.乙運動員的得分除一個51分外，也大致對稱，平均得分及中位數(shù)都是20多分.因此甲運動員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.1.（2010·福建高考）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）(A)91.5和91.5(B)91.5和92(C)91和91.5(D)92和92【解析】選A.根據莖葉圖可以從小到大排列出一組數(shù)：87，89，90，91，92，93，94，96.所以中位數(shù)為中間的兩個數(shù)的平均數(shù)，即為平均數(shù)為2.(2010·山東高考)在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均值和方差分別為（）（A）92,2（B）92,2.8（C）93,2（D）93,2.8【解題提示】去掉一個最高分和一個最低分后，直接利用平均值和方差計算公式計算即可.【解析】選B.據題意知,所剩數(shù)據分別為90，90，93，93，94.故其平均值為方差s2=3.（2010·陜西高考）如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為，樣本標準差分別為sA和sB,則（）【解析】選B.由兩組數(shù)據的分布圖可以看出樣本B的數(shù)據一般均高于樣本A，即得又由樣本B的波動程度小于樣本A的波動程度，可知sA>sB.故應選B.4.（2010·福建高考）將容量為n的樣本中的數(shù)據分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數(shù)據的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據的頻數(shù)之和等于27，則n等于_____.【解析】根據已知條件知：樣本的容量答案:605.（2010·浙江高考）在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據的中位數(shù)分別是_____，________.【解析】根據莖葉圖所給數(shù)據易知兩組數(shù)據的中位數(shù)分別為45，46.答案:4546一、選擇題（每小題4分，共20分）1.已知一組數(shù)據為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的大小關系是（）（A）平均數(shù)>中位數(shù)=眾數(shù)（B）平均數(shù)<中位數(shù)=眾數(shù)（C）中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)（D）眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【解析】選D.由所給數(shù)據可知平均數(shù)為：中位數(shù)為50，眾數(shù)為50,故選D.2.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40，0.125，則n的值為（）（A）640（B）320（C）240（D）160【解析】選B.由頻率=可知：3.（2011·龍巖模擬）學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出一個容量為n且支出在［20，60）的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其支出在［50，60）的同學有30個.則n的值為（）（A）90（B）100（C）900（D）1000【解題提示】利用頻率之和為1，求出［50，60）的頻率，再求出n值.【解析】選B.［50，60）的頻率為1-（0.01+0.024+0.036）×10=1-0.7=0.3，則n==100.4.（2011·瀏陽模擬）在一次運動員的選拔中，測得7名選手身高（單位：cm)分布的莖葉圖如圖.已知記錄的平均身高為174cm,但有一名運動員的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為()（A）5（B）6（C）7（D）8【解析】選C.沒記錄不清楚的運動員身高為y，由莖葉圖可得∴y=1218-1041=177，∴x=7.5.一組數(shù)據的標準差為s，將這組數(shù)據中每一個數(shù)據都擴大到原來的2倍，所得到的一組數(shù)據的方差是（）（A）（B）4s2（C）2s2

（D）s2【解析】選B.每個數(shù)據都擴大到原來的2倍，則也擴大到∵s2=∴s′2二、填空題（每小題4分，共12分）6.(2011·天津模擬）如圖是某體育比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均數(shù)和方差分別為____、_____【解析】去掉一個最低分79和一個最高分93，還剩5個數(shù)據，則(84+84+84+86+87)=85,s2=［(84-85)2×3+(86-85)2+(87-85)2］=1.6.答案:851.67.某市有200名學生參加數(shù)學競賽，現(xiàn)隨機調閱了60名學生的答卷，成績如表：則樣本的數(shù)學平均成績?yōu)開_______，標準差為______（精確到0.01）.【解析】平均成績s≈1.22.答案:61.228.(2011·寧德模擬)下面是某中學2010年高考各分數(shù)段的考生人數(shù)分布表:則分數(shù)在[700，800)的人數(shù)為______________.【解析】由[400，500)中的數(shù)據可以求得總人數(shù)為

(人).故[600，700)之間的人數(shù)為0.425×1200=510(人)，則[700，800)之間的人數(shù)為1200-(5+90+499+510+8)=88.答案:88三、解答題（每小題9分，共18分）9.對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下：（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計電子元件壽命在100h～400h以內的概率；（4）估計電子元件壽命在400h以上的概率.【解題提示】由頻率分布表，可估算出電子元件壽命在100h～400h以內或在400h以上的概率.正確列出頻率分布表是解決此類題目的關鍵.【解析】（1）頻率分布表如下：（2）頻率分布直方圖如圖：（3）由頻率分布表可知，電子元件壽命在100h～400h以內的概率約為0.10+0.15+0.40=0.65.（4）電子元件壽命在400h以上的概率約為0.20+0.15=0.35.【方法技巧】幾種表示頻率分布的方法的比較（1）頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠