離散型隨機(jī)變量的均值

離散型隨機(jī)變量的均值通山一中阮清波教材分析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2—3》2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了分布列的求法，并且在選修3中學(xué)習(xí)了樣本平均數(shù)的求法，為離散型隨機(jī)變量的均值的引入打下了基礎(chǔ)，此時(shí)提出離散型隨機(jī)變量的均值的概念已是水到渠成，而離散型隨機(jī)變量的均值又為后面離散型隨機(jī)變量的方差的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，本節(jié)課在教材中起到承上啟下的作用。教材通過權(quán)數(shù)和加權(quán)平均引入離散型隨機(jī)變量的均值的概念是教材中的一個(gè)亮點(diǎn)，其目的是幫助學(xué)生更好的理解均值的意義，教學(xué)時(shí)要把握好這一點(diǎn)。學(xué)情分析本節(jié)課是一節(jié)概念課，關(guān)鍵要讓學(xué)生理解概念，學(xué)生在必修3中，已熟知了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的求法及意義，學(xué)生要理解離散型隨機(jī)變量的均值并不是很難，教材以形象的混合糖果的定價(jià)問題的解釋為例，引出了離散型隨機(jī)變量的均值的定義，其中涉及到了“加權(quán)平均”，學(xué)生對加權(quán)平均數(shù)接觸不多，故在教學(xué)中應(yīng)注意講解。對于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值計(jì)算公式的推導(dǎo)，學(xué)生在前面已經(jīng)掌握了公式：kCk=nCk-1，但是要自己推導(dǎo)公式有一定的難度，nn1教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生分析通項(xiàng)。教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1．理解離散型隨機(jī)變量的均值的概念；2.掌握滿足線性關(guān)系的離散型隨機(jī)變量的均值之間的關(guān)系，即：Y=aX+b則E（Y）=aE（X）+b；掌握滿足兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量的均值的求法。過程與方法：進(jìn)一步體會從特殊到一般的歸納思想，類比思想；培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，并感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美。教學(xué)重點(diǎn)理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義，掌握滿足兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量的均值計(jì)算公式，并能應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值的概念的理解，滿足二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算公式的推導(dǎo)。教學(xué)過程創(chuàng)境引入某商場為滿足市場需求要將單價(jià)分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對混合糖果定價(jià)才合理？(動畫演示三堆糖果混合過程)學(xué)生：由于每1kg的混合糖果中，3種糖果的質(zhì)量分別為-kg、1kg、1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 3 6111kg,所以混合糖果的合理價(jià)格為：18X—+24X—+36X—=23(兀/kg)2 3 6老師：權(quán)數(shù)就是所占比重。如：上式的-、-、-；2 3 6加權(quán)平均指在計(jì)算若干數(shù)量的平均數(shù)時(shí)，按照各個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，對各個(gè)數(shù)據(jù)分別給予不同的權(quán)數(shù)，從而求平均數(shù)的方法。問題1：如果從上面的混合糖果中任取一顆，它的實(shí)際價(jià)格為多少(元/k)？實(shí)際價(jià)格可能為18元/kg、24元/kg或36元/kg。問題2：如果用X(元/kg)表示這顆糖果的價(jià)格，你能寫出它的分布列嗎？此時(shí)權(quán)數(shù)對這顆糖而言的實(shí)際意義是什么？X的可能取值有：18、24、36,且P(X=18)=-P(X=24)=-2 3P(X=36)=- 則X的分布列如下:6X182436P111r236此時(shí)權(quán)數(shù)是隨機(jī)變量X取每種價(jià)格的概率。問題3：每千克混合糖果的合理價(jià)格用概率可以怎樣表示？買上述混合糖果1千克，需付多少元？它的實(shí)際價(jià)格也是這樣嗎？18XP(X=18)+24XP(X=24)+36XP(X=36)問題4：如果混合糖果中不同糖果共有n種，價(jià)格分別為x、x…x，取12n每種價(jià)格的權(quán)數(shù)即概率依次為p、p…p，則這種混合糖果的價(jià)格可定為多12n少？價(jià)格可定為：xp+xpH Hxp1122nn構(gòu)建定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xxx???x???xnPp1p2???p.???pn則稱：E(X)=xp+xp+???+xp為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期1122nn望。它反應(yīng)了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。簡單應(yīng)用例1：某射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列如下:g678910P0.080.090.290.320.22求E(g)并指出其含義學(xué)生解答：E(g)=6X0.08+7X0.09+8X0.29+9X0.32+10X0.22=8.51其表示該射手多次射擊的平均水平變式：如果這次射擊的環(huán)數(shù)與獎(jiǎng)金掛鉤，獎(jiǎng)金變量n與射擊環(huán)數(shù)g的關(guān)系如下：n=2g+i。問題1：獎(jiǎng)金變量n的均值為多少？給出表格：(學(xué)生填表格)n的可能取值有：13、15、17、19、21,其分布列如下g678910n=2g+11315171921p0.080.090.290.320.22E(n)=13X0.08+15X0.09+17X0.29+19X0.32+21X0.22=17.02

問題2：通過上面求n的均值，你認(rèn)為求離散型隨機(jī)變量的均值的一般步驟是什么？一般步驟：①理解變量e的意義，寫出e的全部取值；②求e取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出E(g).問題3：已知一組數(shù)據(jù)x的平均數(shù)是X，那么另一組數(shù)據(jù)ax+b的平均ii數(shù)為aX+b，隨機(jī)變量的均值是否具有相同的性質(zhì)？(先通過上例驗(yàn)證)你能夠證明嗎？結(jié)論1：E(aX+b)=aE(X)+b例2：在NBA比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，姚明罰球命中的概率為0.85，那么他罰球一次得分設(shè)為X，X的均值是多少？(姚明投籃動畫，球出手后籃球空中停止)學(xué)生分析：X服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下:X10P0.850.15E(X)=1XP(X=1)+OXP(X=0)=0.85結(jié)論2：若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=P變式：如果姚明罰球5次，設(shè)五次罰球的得分為變量Y,則如何求Y的均值？師生分析：???Y的取值有：0、1、2、3、4、5且Y?B(5,0.85) P(Y=k)=C；0-85k0.155-k.Y的分布列如下：Y012345PCoO.85oO.155C10.8510.154C20.8520.153C30.8530.152C40.8540.151C50.8550.15o555555.E(Y)=0XC00.8500.155+1XC10.8510.154+2XC20.8520.153+…+5X555C50.8550.1505問題：運(yùn)算比較復(fù)雜，你能夠猜想出運(yùn)算結(jié)果嗎？(學(xué)生討論)求證：若X?B(n,p)，則E(X)=np證明：tX?B(n,p)則P(X=k)=Ckpkqn-k(q=1-p)(k=0、1、2、…、n)n.X的分布列為：X01???k???nPCop0qnnC1p1qn-1n???Ckpkqn-kn???Cnpnq0nkCk=nCk-1n n-1E(X)=0XCopoqn+1XCipiqn-1+…+kCkpkqn-k+…+

nnnnCnpnqo=nCop1qn-1+nC1p2qn-2…+nCk-1pkqn-k+…+nn-1n-1n-1nCn-1pnqo=np(Copoqn-1+C1p1qn-2…+Ck-1pk-1qn-k+…+n-1n-1n-1n-1Cn-ipn-1q0)=np(p+q)n-i=npn-1結(jié)論3：若X?B(n,p)，則E(X)=np練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：P(Y=k)=C3k000.25k0.75300-k(k=0、12、…、300),則E(Y)= 歸納小結(jié)一個(gè)概念：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xxx???x???xnPpip2???p.???pn則稱：E(X)=xp+xp+???+xp為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期1 1 2 2 nn望。它反應(yīng)了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：E(aX+b)=aE(X)+b性質(zhì)2：若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=P性質(zhì)3：若X?B(n,p)，則E(X)=np求離散型隨機(jī)變量e的期望的一般步驟：①理解e的意義，寫出e的全部取值；②求e取各個(gè)值的概率，寫出分布列；