2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學試題

絕密★啟用前2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.3.已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是（）A.1B.2C.3D.6

4.已知為第二象限角，且終邊與單位圓的交點的橫坐標為，則（）A.B.C.D.5.已知是拋物線上一點，它在拋物線的準線上的射影為點是拋物線的焦點，若是邊長為2的等邊三角形，則拋物線的準線的方程為（）A.B.C.D.6.某班舉辦趣味數(shù)學活動，規(guī)則是：某同學從分別寫有1至9這9個整數(shù)的9張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上較大的數(shù)作為十位數(shù)字，較小的數(shù)作為個位數(shù)字組成一個兩位數(shù).若這個兩位數(shù)與將它的個位數(shù)字與十位數(shù)字調換后得到的兩位數(shù)的差為45，就視為該同學獲獎.若該班同學A參加這項活動，則他獲獎的概率為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且2，則（）A.B.C.D.8.某校為慶祝建校60周年，有獎征集同學們設計的文創(chuàng)作品.王同學設計的一款文創(chuàng)水杯獲獎，其上部分是圓臺（多功能蓋），下部分是正六棱臺（水杯），圓臺與棱臺的高之比為0.382：0.618，寓意建校60周年，學校發(fā)展步入黃金期.這款水杯下部分的三視圖如圖所示，則這款水杯下部分的容（體）積約為（）A.B.C.D.9.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（）A.B.C.D.10.在中，內角的對邊分別為，已知，且的面積為，則的最小值為（）A.2B.C.4D.11.已知雙曲線，過點的兩條直線分別與雙曲線的上支?下支相切于點.若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.12.已知，則的大小關系是（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量.若，則實數(shù)的值為__________.14.在三棱錐中，平面，則三棱錐的內切球的表面積等于__________.15.已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為__________.16.設函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，都有.當時，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個零點.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）某社區(qū)為了解居民生活垃圾分類的投放情況，對本社區(qū)10000戶居民進行問卷調查（滿分：100分），并從這10000份居民的調查問卷中，隨機抽取100份進行統(tǒng)計，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計該社區(qū)10000份調查問卷得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和這10000戶居民中調查問卷得分不低于85分的居民戶數(shù)；（2）該社區(qū)從調查問卷得分為滿分的居民中隨機挑選了6戶，其中兩戶為，并將這6戶居民隨機分配到社區(qū)兩個宣傳點，每個宣傳點3戶，且每戶居民只能去一個宣傳點，幫助社區(qū)工作人員開展宣傳活動，求兩戶居民分在不同宣傳點的概率.18.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.19.（12分）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20.（12分）已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，且滿足軸，.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右頂點為，左頂點為，是否存在異于點的定點，使過定點的任一條直線均與橢圓交于（異于兩點）兩點，且使得直線的斜率為直線的斜率的2倍？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21.（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，求函數(shù)的最值；（2）當時，討論函數(shù)的極值點個數(shù).（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的極坐標方程；（2）設直線與曲線交于兩點，求的面積.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學·全解全析及評分標準一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.123456789101112AACDBDBADBDB1.A【解析】因為全集，集合，所以.又，所以.故選A.2.A【解析】設，則，所以，解得，所以，故選A.3.C【解析】作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示.，即.當直線自左上向右下平移時，逐漸減小，逐漸增大，所以當直線經過直線與直線的交點時，取得最小值，最小值為.故選.4.D【解析】由題意，得，所以，故選D.5.B【解析】不妨設點的坐標為，依題意，得，即①.又②，聯(lián)立①②，解得.由，得，所以拋物線的準線的方程為，故選.6.D【解析】設同學隨機抽取得到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為.依題意，若，則，有1種情況；若，則，有2種情況若，則，有8種情況，共計有種情況，其中滿足獲獎的情況是，即，也即獲獎情況只有，這4種情況，所以該班同學參加這項活動獲獎的概率為.故選D.7.B【解析】因為在區(qū)間上單調遞減，且，所以的最小正周期，所以，所以.又，所以，故選B.8.A【解析】由三視圖，知這款水杯的下部分是上底邊長為4，下底邊長為3，高為6的正六棱臺，，所以這款水杯下部分的容（體）積約為.故選A.9.D【解析】令，則或，解得或或.令，則或，解得或.畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖），得滿足的的取值范圍為.故選D.

10.B【解析】由正弦定理和，得.因為，所以.因為，所以.又的面積為，即，所以.由余弦定理，得，當且僅當時取等號，所以，所以.因為函數(shù)在上單調遞增，所以當時，的最小值為.故選B.11.D【解析】如圖，設過點的直線，聯(lián)立，整理，得，依題意，得，所以.由雙曲線的對稱性，得，所以，整理，得雙曲線的離心率.故選D.

12.B【解析】方法一：因為在上單調遞增，所以.設，則，當時，，所以，所以，即，所以.綜上，得，故選.方法二：因為在上單調遞增，所以.又.綜上，得，故選B.

二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因為，所以.又，所以，解得.故填.14.【解析】如圖，由已知，得的面積為，三棱錐在底面上的高為，等腰三角形底邊上的高為2，所以三棱錐的表面積，體積.又三棱錐的體積（其中為三棱錐內切球的半徑），所以，所以三棱錐的內切球的表面積為.故填.15.【解析】方法一：當時，，解得.又，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.又，所以，解得，所以數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為.故填.方法二：恒成立，當時，，解得.當時，，且，解得.當時，①，又②，①-②，得③，所以④.④-③，得.因為，所以，即.又，所以數(shù)列是首項為-2，公差為-5的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.故填.16.6【解析】如圖，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且.又，即，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個周期，所以.易知函數(shù)在上單調遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個零點，且零點在區(qū)間上.由對稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點.因為是定義域為的奇函數(shù)且是4是它的一個周期，所以，所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點.因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.結合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個零點.故填6.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）【解析】（1）由頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)為，所以估計該社區(qū)10000份調查問卷得分的平均數(shù)為79.4.因為這10000戶居民中調查問卷得分不低于85分的頻率為，所以估計該社區(qū)這10000戶居民中調查問卷得分不低于85分的居民戶數(shù)為.（2）將6戶居民分別記為，依題意，6戶居民被隨機分到兩個宣傳點的所有情況有，，，，共20種，其中兩戶居民分在不同宣傳點的情況有，，共12種，所以兩戶居民分在不同宣傳點的概率.另解：若采用排列組合解答酌情給分：6戶居民均分到兩個宣傳點共有種情況，其中兩戶居民分在相同宣傳點有種情況，所以兩戶居民分在不同宣傳點的概率.18.（12分）【解析】（1）因為底面為矩形，所以.又平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面，所以.因為在中，為的中點，所以.又平面平面，所以平面.（2）如圖，取的中點，連接.因為為的中點，所以，且.又為的中點，底面為矩形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（3）如圖，因為，平面平面，所以點到平面的距離即為等邊三角形的高，所以點到平面的距離為.又為的中點，所以點到平面的距離為.又，所以，即三棱錐的體積為.19.（12分）【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為.由，得，解得.因為的各項均為正數(shù)，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，所以，，兩式相減，得所以.20.（12分）【解析】（1）因為軸，所以，解得所以.根據(jù)橢圓的定義，得，解得.又，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）假設存在滿足題意的定點.依題意，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理，得，由，得.由根與系數(shù)的關系，得.由，得，所以，即，所以，所以，所以，②-①，得，當時，解得，所以.又，所以.因為上式在變化時恒成立，所以.又，所以.此時點與點重合，不合題意，舍去；所以，即，此時點在橢圓的內部，滿足直線均與橢圓交于兩點，所以存在定點滿足題意，.21.（12分）【解析】（1）當時，，則.令，則在上單調遞增，且，所以當時，，即；當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，即有最小值，沒有最大值.（2）因為，其中，所以.令，則.因為，令，則，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.設，其中，則.令，解得.當時，，所以在上單調遞增，所以.所以當時，；當時，.①當時，，即，也即，所以在上單調遞增，所以沒有極值點.②當時，在上單調遞減.設，則當時，，所以，即當時，.又在上單調遞減，所以在上單調遞減，且在上單調遞減，所以當時，，所以在上沒有零點，且.又在上單調遞減，所以在內存在唯一，使，所以當時，；當時，，也即當時，；當時，，所以為的一個極大值點.又在上單調遞增，，所以當時，；當時，，即當時，；當時，，所以1為的一個極小值點，所以當時，有2個極值點.綜合①②，當時，有2個極值點；當時，沒有極值點.（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選