測量誤差的基本知識

第五章測量誤差的根本知識本章重點：1、偶然誤差的特點2、評定精度的指標3、中誤差的計算4、誤差傳播定律本章難點：1、中誤差的計算2、誤差傳播定律1編輯課件一、概述1、誤差的概念測量誤差(△)=真值〔X〕-觀測值〔L〕從測量實踐中可以發(fā)現，測量結果不可防止的存在誤差，比方：1)對同一量屢次觀測，其觀測值不相同。2)觀測值不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180° 閉合水準∑h≠02編輯課件2、測量誤差的來源

測量工作是在一定條件下進行的，外界環(huán)境、觀測者的技術水平和感官鑒別能力的局限性及儀器本身構造的不完善等原因，都可能導致測量誤差的產生。

所以，測量誤差主要來自以下三個方面：(1)外界條件主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化，導致測量結果中帶有誤差。(2)儀器條件儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結構能滿足各種幾何關系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。(3)觀測者的自身條件由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產生誤差。

3編輯課件通常把測量儀器、觀測者的技術水平和外界環(huán)境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產生測量誤差的根本原因。

通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。4編輯課件1〕系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產生的主要原因之一，是由于儀器設備制造不完善。例如，用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經檢定鋼尺的實際長度為50.005m，那么每量一尺，就帶有+0.005m的誤差(“+〞表示在所量距離值中應加上)，丈量的尺段越多，所產生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。3、測量誤差的分類測量誤差按其對測量結果影響的性質，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。5編輯課件再如，在水準測量時，當視準軸與水準管軸不平行而產生夾角時，對水準尺的讀數所產生的誤差為，它與水準儀至水準尺之間的距離S成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。

系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對測量結果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。計算改正、觀測方法、儀器檢校6編輯課件2〕偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果單個誤差出現的大小和符號均不一定(無規(guī)律)，那么這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例如，用經緯儀測角時的照準誤差，鋼尺量距時的讀數誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預知其出現的大小和符號。但假設在一定的觀測條件下，對某量進行屢次觀測，誤差列卻呈現出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現得更加明顯。不可防止，無法消除，有互補性7編輯課件◆粗差與多余觀測1、粗差：因讀錯、記錯、測錯造成的錯誤，并非誤差。2、多余觀測：觀測某未知量時進行的多于必要觀測數外的觀測。目的：發(fā)現錯誤，剔除粗差；提高觀測質量，進行精度評定。多余觀測為什么不多余？〔為什么要進行多余觀測〕8編輯課件二、偶然誤差的統(tǒng)計特性在某測區(qū)，等精度觀測了217個三角形的內角之和，得到217個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i進行分析。分析結果說明：當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈現出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數越多，規(guī)律性越明顯。9編輯課件0.0000.00000.0020.0051２４“～２７＂0.1680.5031090.1660.5108總和0.0030.00920.0030.0092２１“～２４＂0.0090.02860.0080.0235１８“～２１＂0.0120.03780.0120.0398１５“～１８＂0.0150.046100.0180.05512１２“～１５＂0.0250.074160.0220.06514９“～１２＂0.0280.083180.0230.06915６“～９＂0.0310.092200.0320.09721３“～６＂0.0450.134290.0460.13830０“～３＂頻率個數頻率個數為負值為正值誤差的區(qū)間10編輯課件11

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24

◆在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值◆絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；◆絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同；◆偶然誤差的數學期望為零，即正態(tài)分布曲線偶然誤差具有正態(tài)分布的特性11編輯課件第一個特性說明偶然誤差的“有界性〞。它說明偶然誤差的絕對值有個限值，假設超過這個限值，說明觀測條件不正?；蛴写植畲嬖?；第二個特性反映了偶然誤差的“密集性〞，即越是靠近0″，誤差分布越密集；第三個特性反映了偶然誤差的對稱性，即在各個區(qū)間內，正負誤差個數相等或極為接近；第四個特性反映了偶然誤差的“抵償性〞，它可由第三特性導出，即在大量的偶然誤差中，正負誤差有相互抵消的特征。因此，當n無限增大時，偶然誤差的算術平均值應趨于零。本章的主要內容就是在觀測值具有大量偶然誤差的情況下如何求得最接近觀測對象真值的值及如何評定其精度上下的方法。12編輯課件◆測量成果中都不可防止地含有誤差，在測量工作中，是使用“精度〞來判斷觀測成果質量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。三、評定精度的標準xy精度較高精度較低13編輯課件1、中誤差中誤差的定義：〔n為有限個數時的標準差〕方差的定義：標準差的定義：+50+2-4-1-7+6乙組-3-1-2+2+5甲組真誤差例:問題：真值X不知道時怎么辦？如何計算m？14編輯課件◆算術平均值〔最或然值，最或是值〕設某量的真值為Ｘ，n個觀測值為，其相應的真誤差為：將等式兩端分別相加并除以n，那么：由偶然誤差的第四特性可得，當時，即：

15編輯課件◆觀測值的該正數觀測值的改正數v是算術平均值與觀測值之差，即將等式兩端分別相加，得：即一組等精度觀測值的改正值之和恒等于零用改正數計算中誤差公式〔白塞爾公式〕：16編輯課件各式相加平方求和17編輯課件課堂練習在相同的觀測條件下，對某直線進行了五次測量，測量結果分別為:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求該直線邊長的觀測值中誤差。次數觀測值(m)改正數V(mm)VV計算過程1117.2552117.2583117.2464117.2615117.250-1-48-74586.27011664491614618編輯課件2、容許誤差定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許〔極限〕誤差。區(qū)別誤差和錯誤的界限中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對誤差。19編輯課件3、相對誤差相對誤差K是中誤差的絕對值m與相應觀測值D之比，通常以分子為1的分式來表示，稱其為相對〔中〕誤差。即:

一般情況:角度、高差的誤差用m表示，

量距誤差用K表示。20編輯課件對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經過屢次觀測后，便可通過真誤差或改正數計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標準。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據一定的函數關系計算出來(間接觀測值〕，這些未知量即為觀測值的函數。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，那么h是直接觀測值a和b的函數；在角度測量中，水平角α=b-a，那么水平角α就是直接觀測值a和b的函數等等。本節(jié)所要討論的就是在直接觀測值中誤差為的情況下，如何求觀測值函數值〔間接觀測值〕中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數中誤差之間數學關系的定律，稱為誤差傳播定律。四、誤差傳播定律21編輯課件1、一般函數的中誤差令的系數為，(3)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(3)代入(2)得對(1)全微分：(2)設有函數：為獨立觀測值設有真誤差，函數也產生真誤差(1)22編輯課件對Z觀測了k次，有k個式(4)對(4)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(5)對K個(5)式取總和：(6)23編輯課件(6)(6)式兩邊除以K，得(7)式：(7)由偶然誤差的抵償性知：即(8)24編輯課件(8)考慮，代入上式，得中誤差關系式：上式為一般函數的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。25編輯課件

通過以上誤差傳播定律的推導，我們可以總結出求觀測值函數中誤差的步驟：

1.列出函數式；2.對函數式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。

26編輯課件

1）倍數函數的中誤差

設有函數式(x為觀測值，K為x的系數)全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度=168.5mm

0.2mm,計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數式求全微分中誤差式2、幾種常用函數的中誤差

27編輯課件2〕線性函數的中誤差設有函數式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數其中、、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

解：對上式全微分：由中誤差式得：28編輯課件由于等精度觀測時，，代入上式：得

由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

函數式全微分中誤差式

◆算術平均值的中誤差式

●對某觀測量進行屢次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。29編輯課件3〕和或差函數的中誤差

函數式：全微分：中誤差式：當等精度觀測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

30編輯課件觀測值函數中誤差公式匯總

觀測值函數中誤差公式匯總

函數式函數的中誤差一般函數倍數函數

和差函數

線性函數

算術平均值

31編輯課件下面讓我們來看幾個例題吧32編輯課件◆按三角形的閉合差求測角中誤差對某n個三角形的內角進行了同精度觀測，并求得它們的閉合差分別為，求觀測三角形內角時的測角中誤差三角形閉合差的中誤差：菲列羅公式33編輯課件◆水準測量中，每站高差的中誤差為，設每站高差均為等精度觀測，求每公里高差中誤差和水準路線為Ｓ公里的高差中誤差設每站水準路線長為s，那么Ｓ＝n．S，即n＝Ｓ／s，代入上式得：那么水準路線為Ｓkm的高差中誤差為：34編輯課件

例某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數v/mmvv

計算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251