第3章投資組合

第三章資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與收益分析第二部分資產(chǎn)組合實(shí)際cc凹函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)厭惡型凸函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)偏好型U(c)U(c)例：假設(shè)有兩種彩票A和B，彩票A到期可以得到100元，彩票B到期可得500元，但能夠?yàn)橹冻?00元的代價(jià)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者:A風(fēng)險(xiǎn)偏好者：B理性投資者將衡量B方案的概率再進(jìn)展決策A方案能獲得成效U〔100〕B方案，假設(shè)獲得500元收益的概率為P=1/3，那么成效那么選A方案的投資者符合凹函數(shù)特征選B方案的投資者符合凸函數(shù)特征cc凹函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)厭惡型凸函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)偏好型U(c)U(c)這里有一個(gè)金融界廣泛運(yùn)用的一個(gè)投資成效計(jì)算公式，資產(chǎn)組合的期望收益為E(r)，其收益方差為2，其成效值為：

U=E(r)-0.005A2

其中A為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡指數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度不同的投資者可以有不同的指數(shù)值，A值越大，即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越強(qiáng)，成效就越小。在指數(shù)值不變的情況下，期望收益越高，成效越大；收益的方差越大，成效越小。成效公式假設(shè)股票的期望收益率為10%，規(guī)范差為21.21%，國(guó)庫(kù)券的收益率為4%，雖然股票有6%的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，一個(gè)厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者也許會(huì)選擇全部購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券的投資戰(zhàn)略。投資者A=300時(shí)，股票成效值為：10%-(0.005×300×21.21%2)=3.25%，比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率稍低，在這種情況下，投資者會(huì)放棄股票而選擇國(guó)庫(kù)券。假設(shè)投資者的A為200，股票成效值為：10%-(0.005×200×21.21%2)=5.5%，高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率，投資者就會(huì)接受這個(gè)期望收益，情愿投資于股票。所以，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度非常關(guān)鍵。成效數(shù)值運(yùn)用舉例第二節(jié)均值-方差分析風(fēng)險(xiǎn)-收益的數(shù)學(xué)度量〔一〕歷史資產(chǎn)收益率的計(jì)算方法1、持有期收益率2、算數(shù)平均收益率3、幾何收益率〔二〕期望收益率的計(jì)算方法1、期望值〔平均值〕及方差、規(guī)范差2、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)歷史收益率的計(jì)算方法1、持有其收益率的計(jì)算方法對(duì)于一項(xiàng)資產(chǎn)，期末價(jià)錢(qián)為P1，購(gòu)買(mǎi)時(shí)的期初價(jià)錢(qián)為P0，那么該資產(chǎn)的收益率為：存在問(wèn)題：1、忽略了時(shí)間的價(jià)值2、忽視了期中的收益及時(shí)間價(jià)值2、算數(shù)平均收益率3、幾何收益率〔二〕期望收益率的計(jì)算相關(guān)概率論知識(shí)的回想隨機(jī)變量及其概率分布期望值〔平均值〕及方差、規(guī)范差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1、隨機(jī)變量及其概率分布1、離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)或至多可列個(gè)，或者說(shuō)能將它的可取值按一定次序一一列出。我們用其分布列來(lái)描畫(huà)它：X的取值為x1,x2,…其對(duì)應(yīng)的概率為P1,P2,…這里，P1,P2,…>=0；P1+P2+…=1延續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X的取值為不可列無(wú)限大。分布函數(shù)的定義：〔離散和延續(xù)都適用〕F(x)=Pr(X<=x)在延續(xù)的情形，假設(shè)存在非負(fù)的f(x)滿(mǎn)足那么，f(x)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。

離散型隨機(jī)變量用分布列來(lái)描畫(huà)；延續(xù)型隨機(jī)變量用密度函數(shù)來(lái)描畫(huà)；離散型的舉例：延續(xù)型的舉例：正態(tài)分布：平均為0，方差為1時(shí)，稱(chēng)為規(guī)范正態(tài)分布。均勻分布：U(a,b)假設(shè)a<=x<=b,有f(x)=1/(b-a)；其它時(shí)候f(x)=0。2、期望值〔平均值〕及方差、規(guī)范差隨機(jī)變量的期望值的定義：離散：延續(xù)：樣本〔歷史數(shù)據(jù)〕的平均：大數(shù)法那么的簡(jiǎn)單引見(jiàn)。例：股票的期望報(bào)酬率公司名稱(chēng)未來(lái)狀況發(fā)生概率可能報(bào)酬期望報(bào)酬聯(lián)通60050景氣0.40.180.12不景氣0.60.08中興000063景氣0.40.220.13不景氣0.60.07方差的定義：根據(jù)定義，離散的情形下有：例：股票收益的方差公司名稱(chēng)未來(lái)狀況發(fā)生概率可能報(bào)酬期望報(bào)酬方差標(biāo)準(zhǔn)差聯(lián)通60050景氣0.40.180.120.00240.04899不景氣0.60.08中興000063景氣0.40.220.130.00540.07348不景氣0.60.07假設(shè)如今只能在聯(lián)通和中興之間做出選擇，應(yīng)該選擇投資哪只股票較優(yōu)？規(guī)范差只反映出股票各自的風(fēng)險(xiǎn)大小，但假設(shè)預(yù)期報(bào)酬率不相等時(shí)，無(wú)法進(jìn)展比較。變異系數(shù)表示單位預(yù)期報(bào)酬所承當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)大小公司名稱(chēng)聯(lián)通600050中興00063假設(shè)中興預(yù)期收益0.120.130.19標(biāo)準(zhǔn)差0.048990.073480.07348變異系數(shù)0.40830.56520.3867例：股票收益的方差公司名稱(chēng)未來(lái)狀況發(fā)生概率可能報(bào)酬期望報(bào)酬方差聯(lián)通60050景氣0.40.180.120.0024不景氣0.60.08中興000063景氣0.40.220.130.0054不景氣0.60.07例題1風(fēng)險(xiǎn)(risk)是指未來(lái)收益的不確定性，不確定性的程度越高，風(fēng)險(xiǎn)就越大。某資產(chǎn)期初價(jià)錢(qián)10000元，未來(lái)的情況如下：情勢(shì)概率期末總價(jià)總收益率昌盛0.2513000元30%正常增長(zhǎng)0.5011000元10%蕭條0.259000元-10%計(jì)算期望收益率和方差等。解：E(r)=∑p(s)r(s)E(r)=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-0.025=0.10=10%σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2σ2=[0.25×(0.3-0.1)2+0.50×(0.1-0.1)2+0.25(-0.1-0.1)2=2%所以規(guī)范差為14.14%實(shí)例：美國(guó)99年金融資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)大股票長(zhǎng)期國(guó)債中期國(guó)債國(guó)庫(kù)券通貨膨脹收益12.505.315.163.763.22風(fēng)險(xiǎn)20.397.966.473.354.543、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}反映了隨機(jī)變量X和Y之間的線(xiàn)性關(guān)系。由于它受度量單位的影響，更完美的度量是如下的相關(guān)系數(shù)。樣本的協(xié)方差的定義：樣本的相關(guān)系數(shù)可以如上用樣本的方差和協(xié)方差來(lái)同樣的定義。思索：相關(guān)系數(shù)的大小范圍以及含義！〔三〕幾個(gè)簡(jiǎn)單的常用公式X,Y,Z是隨機(jī)變量，a,b是常數(shù)E(a)=a;Var(a)=0E(aX)=aE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(a+bX)=a+bE(X)Var(aX)=a2Var(X)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,aY)=aCov(X,Y)Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)+Cov(X,Z)第三節(jié)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與報(bào)酬的關(guān)系一、單一資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量收益率的概念：風(fēng)險(xiǎn)的定義：風(fēng)險(xiǎn)就是指未來(lái)收益的不確定性。我們將收益率看做隨機(jī)變量的話(huà)，由前面第二節(jié)的隨機(jī)變量的期望值和方差的定義，可以定義期望收益〔預(yù)期收益〕。我們用收益的方差或者規(guī)范差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)。歷史數(shù)據(jù)是母集團(tuán)從取出的樣本，所以歷史數(shù)據(jù)的平均值和方差以及規(guī)范差的定義可以參照前面的樣本的情形下各自的定義。二、資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量對(duì)于資產(chǎn)組合，組合的收益率：Wi是資產(chǎn)i的權(quán)重，即投資比例。根據(jù)上節(jié)最后的公式，可以總結(jié)期望收益和方差公式如下：其中，協(xié)方差定義如下：例題例：假設(shè)A、B兩種有價(jià)證券的收益率如下：年概率AB11/30.050.121/30.10.0531/30.150.300.100.150.001670.01167資產(chǎn)組合年概率12311/30.0750.090.0621/30.0750.060.0931/30.2250.270.180.1250.140.11資產(chǎn)組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)要計(jì)算資產(chǎn)組合的方差關(guān)鍵是要計(jì)算1、單個(gè)證券的方差2、證券間的協(xié)方差分別等于0.00167和0.01167Cov(A,B)=E[A-E(B)][B-E(B)](0.05-0.1)(0.1-0.15)×1/3+(0.1-0.1)(0.05-0.15)×1/3+(0.15-0.1)(