高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)四年級含詳解答案第20講 幻方與數(shù)陣圖擴展部分

第20講幻方與數(shù)陣圖擴展

興趣篇

1、把1,2,9填入圖中9個空白圓圈內(nèi)，使得三個圓周及三條線段上3個數(shù)之和都相

等。

2、(1)如圖1,在3X3的方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得每行、每列、每條對角

線上所填數(shù)之和都相等。

(2)如圖2,在4X4的方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得每行、每列、每條對角

線上所填數(shù)之和都相等。

圖2

3、在圖所示的3X4方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)后，可以使各行所填的數(shù)之和相等,

各列所填的數(shù)之和也相等?，F(xiàn)在一些數(shù)已經(jīng)填出，標(biāo)有符號“*”的方格內(nèi)所填的數(shù)是

多少？

E□

□二N

□□

4、如圖，請在空格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，組成一個三階幻方。

5、請將圖所示的5X5方格表補充完整，使得每個方格內(nèi)都有一個數(shù)字，并且具有如下的性

質(zhì)：方格表中每行，每列和每條對角線的5個方格內(nèi)所填的5個數(shù)中，1、2、3、4、5

恰好各出現(xiàn)一次。請問：標(biāo)有符號“▽”和“O”的方格中所填的數(shù)分別是什

么？

O1

52

V4

△4

3

6、請將1至9這9個數(shù)填入圖中的方框內(nèi)，使得所有不等號都成立。所有滿足要求的填法

共有多少種？

□<□>□

VVV

□>□>□

VVV

□>□>□

7、請在圖所示的8個小圓圈內(nèi)，分別填入1至8這8個數(shù)字，使得圖中用線段連接的兩個

小圓圈內(nèi)所填的數(shù)的差（大減小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

8、將1至5這5個數(shù)字填入圖中的圓圈內(nèi)，使得橫線、豎線、大圓周上所填數(shù)之和都相等。

9、請在圖中的六塊區(qū)域內(nèi)填入1、2、3、4、5、6,使得對每一個小圓圈來說，與它相鄰的

區(qū)域內(nèi)的數(shù)之和都相等。

10、將0至9填入圖的10塊區(qū)域中（陰影區(qū)域除外），使得每個圓內(nèi)的三個數(shù)之和都是相等

的。請問：這個和最小是多少？最大是多少？

拓展篇

1、將1,2,3,…，24,25分別填入圖的各個方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的

2、請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù),使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中

的各數(shù)之和都相等。

3、（1）在圖的每個空格內(nèi)填入一個數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中的各

數(shù)之和都等于19.95。那么，標(biāo)有“*”的方格內(nèi)所填的數(shù)是多少？

（2）請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個空

格中的各數(shù)之和都相等。

Si

4、如圖，大正方形的4個角上已填入4個數(shù)，4個數(shù)之和是264。奇妙的是，把這個圖倒過

來看，大正方形4個角上的數(shù)之和仍然是264。請你在中間的小正方形的4個角的圓圈

里，填入另外4個數(shù)，使得每條對角線上的4個數(shù)正看和倒看時，其和都是264；而且

小正方形角上的4個數(shù)正看和倒看時，其和也都是264。

5、將1、2、3、5、6、7、9、10、11填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每條直線上各數(shù)之和都相

等。

6、請將1至10填入圖中的10個圓圈中（9已經(jīng)填好），使得除了第一行外每個圓圈內(nèi)的數(shù)

都等于與它相連的上方兩個圓圈內(nèi)的兩數(shù)之差。

9

7、在圖的7個圓圈內(nèi)各填一個數(shù)，要求對于每一條直線上的3個數(shù)，居中的數(shù)是旁邊兩個

數(shù)的平均數(shù)?，F(xiàn)在已經(jīng)填好了兩個數(shù)，請把剩下的圓圈填好。

8、請將1個1,2個2,3個3,…，8個8,9個9填入圖中，使得相同的數(shù)所在的方格都

連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個方格中的數(shù)，并且

知道A、B、C、。、E、F、G各不相同；那么，七位數(shù)ABCOEFG是多少？

9、將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個圓周上的3個數(shù)之和與每

條直線上的3個數(shù)之和都相等。

10、將1至9填入圖中的9個圓圈內(nèi)，使4個大圓圈上的4個數(shù)之和都等于16。

11、圖中一共有10個方格，現(xiàn)在把2至11這10個自然數(shù)填到里面，每個方格各填一個。

如果要求圖中的3個2X2的正方形中的4個數(shù)之和都相等，那么這個和最小可能是多

少？請給出一種填法。

12、如圖，大三角形被分成了9個小三角形。試將1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入這

9個小三角形內(nèi)，每個小三角形內(nèi)填一個數(shù)，要求靠近大三角形三條邊的每5個數(shù)相加

的和相等。這5個數(shù)的和最大可能是多少？請給出一種填法。

超越篇

1、請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中

的各數(shù)之和都相等。

2、圖是有名的“六角幻方”：將1至19這19個自然數(shù)填入圖中的圓圈中，使得每一條直線

上圓圈中的各數(shù)之和相等。美國的數(shù)學(xué)愛好者阿當(dāng)斯從1910年開始，到1962年，用了

52年的時間才找到了解答。我們給大家填入了6個自然數(shù)，請你完成這個“六角幻方”。

3、在圖中有6個正方形，請你將I至9填入圖中，使得每個正方形的4個頂點上的數(shù)字之

和都相等。

4、在圖的七個圓圈中填入一些自然數(shù)，要求所填的自然數(shù)中最小的一個數(shù)是1,并且相鄰

兩個圓圈內(nèi)的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于這兩個圓圈之間標(biāo)出的數(shù)字。

3

4

5、將1至9分別填入圖中的9個圓圈內(nèi)，使圖中每條直線（圖中有7條直線）上的圓圈內(nèi)

所填數(shù)之和都相等，那么這個和是多少？

6、將0,1,2,9這10個數(shù)分別填入圖中的各個圓圈內(nèi)，使得各陰影三角形的3個頂

點上的數(shù)之和相等。這個和最大是多少？最小是多少？請分別給出使得和最大、最小的

填法。

7、在圖中有11個空的圓圈，要求把1至13這些數(shù)填入各圈內(nèi)（其中3、4已經(jīng)填好），使

得上面2個圓圈內(nèi)數(shù)的和，等于與它相連的下面的圓圈內(nèi)的數(shù)（例如，虛線框中上面2

個圈中的數(shù)相加，它們的和應(yīng)等于相連的下面1個圈中的數(shù)），并且最下面空著的4個圓

圈中的數(shù)之和等于43。

8、圖中共有10個圓圈，6條直線。請問：

(1)能否將1至10填入圖中，使得每條直線上各數(shù)之和都相等？

(2)能否將0至9填入圖中，使得每條直線上各數(shù)之和都相等？

(3)請從1至11中去掉一個數(shù)后,將剩下的數(shù)填入圖中使得每條直線上各數(shù)之和都相等。

第20講幻方與數(shù)陣圖擴展

興趣篇

1、把1,2,9填入圖中9個空白圓圈內(nèi)，使得三個圓周及三條線段上3個數(shù)之和都相

等。

【答案】

2、(1)如圖1,在3X3的方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得每行、每列、每條對角

線上所填數(shù)之和都相等。

(2)如圖2,在4X4的方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得每行、每列、每條對角

線上所填數(shù)之和都相等。

r

114/12

15496

105163

811013

3、在圖所示的3X4方格表的每個方格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)后，可以使各行所填的數(shù)之和相等,

各列所填的數(shù)之和也相等?，F(xiàn)在一些數(shù)已經(jīng)填出，標(biāo)有符號“*”的方格內(nèi)所填的數(shù)是

多少？

□□Z□

□□□EJ

【答案】1

4、如圖，請在空格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，組成一個三階幻方。

回

M

【答案】答案不唯一，例如1

5、請將圖所示的5X5方格表補充完整，使得每個方格內(nèi)都有一個數(shù)字，并且具有如下的性

質(zhì)：方格表中每行，每列和每條對角線的5個方格內(nèi)所填的5個數(shù)中，1、2、3、4、5

恰好各出現(xiàn)一次。請問：標(biāo)有符號和“O”的方格中所填的數(shù)分別是什

么？

O1

50

V4

△4

3

【答案】△=§,V=5,0=4

6、請將1至9這9個數(shù)填入圖中的方框內(nèi)，使得所有不等號都成立。所有滿足要求的填法

共有多少種？

□<□>□

VVV

□>□>□

vvv

□>□>□

【答案】2種

7、請在圖所示的8個小圓圈內(nèi)，分別填入1至8這8個數(shù)字，使得圖中用線段連接的兩個

小圓圈內(nèi)所填的數(shù)的差（大減小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

CM

bo

8、將1至5這5個數(shù)字填入圖中的圓圈內(nèi),使得橫線、豎線、大圓周上所填數(shù)之和都相等。

【答案】中間的小圓圈填5,和是10

9、請在圖中的六塊區(qū)域內(nèi)填入1、2、3、45、6,使得對每一個小圓圈來說，與它相鄰的

區(qū)域內(nèi)的數(shù)之和都相等。

10、將0至9填入圖的10塊區(qū)域中（陰影區(qū)域除外），使得每個圓內(nèi)的三個數(shù)之和都是相等

的。請問：這個和最小是多少？最大是多少？

【答案】最小是11,最大是16

拓展篇

1、將1,2,3,…，24,25分別填入圖的各個方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的

【答案】4

2、請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù),使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中

的各數(shù)之和都相等。

【答案】

3、（1）在圖的每個空格內(nèi)填入一個數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中的各

數(shù)之和都等于19.95。那么，標(biāo)有“*”的方格內(nèi)所填的數(shù)是多少？

（2）請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個空

格中的各數(shù)之和都相等。

圖1圖2

4、如圖，大正方形的4個角上已填入4個數(shù)，4個數(shù)之和是264。奇妙的是，把這個圖倒過

來看，大正方形4個角上的數(shù)之和仍然是264。請你在中間的小正方形的4個角的圓圈

里，填入另外4個數(shù)，使得每條對角線上的4個數(shù)正看和倒看時，其和都是264；而且

小正方形角上的4個數(shù)正看和倒看時，其和也都是264。

1991

5、將1、2、3、5、6、7、9、10、11填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每條直線上各數(shù)之和都相

等。

6、請將1至10填入圖中的10個圓圈中（9已經(jīng)填好），使得除了第一行外每個圓圈內(nèi)的數(shù)

都等于與它相連的上方兩個圓圈內(nèi)的兩數(shù)之差。

9

7、在圖的7個圓圈內(nèi)各填一個數(shù)，要求對于每一條直線上的3個數(shù)，居中的數(shù)是旁邊兩個

數(shù)的平均數(shù)。現(xiàn)在已經(jīng)填好了兩個數(shù)，請把剩下的圓圈填好。

8、請將1個1,2個2,3個3,…，8個8,9個9填入圖中，使得相同的數(shù)所在的方格都

連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個方格中的數(shù)，并且

知道4、B、C、D、E、尸、G各不相同：那么，七位數(shù)ABCOEFG是多少？

9、將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個圓周上的3個數(shù)之和與每

條直線上的3個數(shù)之和都相等。

［分析］設(shè)中心數(shù)為各條直線和各個圓周上的三數(shù)之和均為h因為a屬于三條直線公

有，其余數(shù)各屬于一條直線和一個圓周，于是得到2xQ+2++7)+a=5k,化簡

為a+56=5?.因為14a47,a+56又是5的倍數(shù)，所以a=4,k=\2.填數(shù)方

法見右上圖.

10、將1至9填入圖中的9個圓圈內(nèi)，使4個大圓圈上的4個數(shù)之和都等于16。

11、圖中一共有10個方格，現(xiàn)在把2至11這10個自然數(shù)填到里面，每個方格各填一個。

如果要求圖中的3個2義2的正方形中的4個數(shù)之和都相等，那么這個和最小可能是多

少？請給出一種填法。

［分析］由題意，9是其中第三大的數(shù)，所以這10個連續(xù)自然數(shù)是2、3、4、5、、9、

10、11,計算三個正方形中四個數(shù)的和，這個和能被3整除，但是其中a和b被

重復(fù)計算了一次，所以有：2+3++11+〃+8=65+a+b=3s,當(dāng)a+b=l,4,

7,時，65+。+/＞可以被3整除，因為要取最小值，所以〃+/7的值越小越好，

但是不可能取1與4,所以，。+匕=7時，這個和取得最小值，每個正方形中的和

也取得最小值：（65+7）+3=24.

12、如圖，大三角形被分成了9個小三角形。試將1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入這

9個小三角形內(nèi)，每個小三角形內(nèi)填一個數(shù)，要求靠近大三角形三條邊的每5個數(shù)相加

的和相等。這5個數(shù)的和最大可能是多少？請給出一種填法。

［分析］1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,用s表示靠近大三角形三條邊的五個數(shù)的和.因

為有三個小三角形所填的數(shù)在求和時只用了一次（用a,b,c來表示這三個教），

其余均用了兩;欠.于是，45x2-（a+6+8=3s.要彳吏s盡可能大，只要a+6+c盡

可能小.所以〃+匕+c=l+2+3=6,于是90-6=3s,s=28.剩下的六個數(shù)分

成三組，并且每組中兩數(shù)的和是三個連續(xù)自然數(shù)，那么：4+8=12；6+7=13；

5+9=14.經(jīng)過調(diào)配可得到幾十種填法，右上圖是填法之一.

超越篇

1、請在圖的每個空格內(nèi)填入一個合適的數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中

的各數(shù)之和都相等。

2、圖是有名的'‘六角幻方"：將1至19這19個自然數(shù)填入圖中的圓圈中，使得每一條直線

上圓圈中的各數(shù)之和相等。美國的數(shù)學(xué)愛好者阿當(dāng)斯從1910年開始，到1962年，用了

52年的時間才找到了解答。我們給