研究案例介紹-實證研究二數(shù)學(xué)解題遷移研究概要

關(guān)于遷移的思想，可追溯到古希臘的柏拉圖、亞里士多德時代。柏拉圖學(xué)園重視幾何的學(xué)習(xí)并非因為幾何的實用價值，而是因為幾何學(xué)可以訓(xùn)練學(xué)生的思考力，這事實上就是后來遷移學(xué)說中著名的理論—形式訓(xùn)練說的雛形。而第一次提出遷移概念，是英國學(xué)者JohnLocke(1632一1704)。他認為要使一個人有良好的推理能力，一定要讓他及早習(xí)慣于推理方法，藉以訓(xùn)練他的心智，以后一旦有機會，他們就可以把推理的方法遷移到其他知識中去。1

遷移的一般理論第一頁第二頁，共43頁。

經(jīng)過漫長的研究，歷史上形成了幾種經(jīng)典的遷移學(xué)說。(l)形式訓(xùn)練說。形式訓(xùn)練說主張遷移要經(jīng)歷一個“形式訓(xùn)練”過程才能產(chǎn)生。形式訓(xùn)練說的心理基礎(chǔ)是官能心理學(xué)。官能心理學(xué)認為，人的心是由意志、記憶、思維等官能組成，各種官能可以像肌肉一樣，通過練習(xí)增強力量(能力)，這些能力在各種活動中都能發(fā)揮效用，遷移正是通過對組成心的各種官能的訓(xùn)練，以提高各種能力而實現(xiàn)的。(2)相同要素說。20世紀初，美國心理學(xué)家詹姆士(James)和桑代克等通過實驗否定了形式訓(xùn)練說，提出遷移的相同要素說理論。該學(xué)說認為只有當學(xué)習(xí)情境與遷移測驗情境存在相同要素時，才能產(chǎn)生遷移。桑代克認為學(xué)習(xí)即形成一種情境與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，學(xué)習(xí)的遷移就是相同聯(lián)結(jié)的轉(zhuǎn)移。1

遷移的一般理論第二頁第三頁，共43頁。

(3)概括說。賈德(Judd)通過“水下?lián)舭小睂嶒?，在批判相同要素說的基礎(chǔ)上提出了遷移的概括化理論。賈德認為，在先期學(xué)習(xí)A中所獲得的東西之所以能遷移到后期的學(xué)習(xí)B中，是因為在學(xué)習(xí)A時獲得了一般原理，這種一般原理可以部分或全部運用于A、B之中。根據(jù)這一理論，兩個學(xué)習(xí)活動之間存在的共同成分，只是遷移產(chǎn)生的必要條件，而產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵是，學(xué)習(xí)者在兩種活動中概括出它們之間的共同原理。(4)關(guān)系轉(zhuǎn)換說。這種理論認為，遷移的關(guān)鍵不在于掌握原理和經(jīng)驗的概括化，而在于對情境中各種關(guān)系的頓悟，特別是對手段—目的之間關(guān)系的覺察，所以頓悟情境中的一切關(guān)系是獲得遷移的根本。遷移是由于學(xué)習(xí)者突然發(fā)現(xiàn)兩個學(xué)習(xí)經(jīng)驗之間存在的關(guān)系的結(jié)果，人所遷移的是頓悟一一兩個情境突然被聯(lián)系起來的意識。1

遷移的一般理論第三頁第四頁，共43頁。

(5)認知結(jié)構(gòu)遷移理論。奧蘇伯爾根據(jù)他的有意義學(xué)習(xí)理論，對遷移作了新的解釋。其一，遷移不是在孤立的兩個課題A、B之間產(chǎn)生，先前學(xué)習(xí)的不只是A，還包括過去的經(jīng)驗，即累積獲得的，按一定層次組織的，適合當前學(xué)習(xí)任務(wù)的知識體系。其二，在有意義的學(xué)習(xí)與遷移中，過去經(jīng)驗的特征，不是指前后兩個學(xué)習(xí)課題在刺激和反應(yīng)方面的相似程度，而是指學(xué)生在一定知識領(lǐng)域內(nèi)的認知結(jié)構(gòu)的組織特征，諸如清晰性、穩(wěn)定性、概括性、包容性等。在學(xué)習(xí)課題A時所得到的最新經(jīng)驗，并不是直接同課題B的刺激—反應(yīng)成分發(fā)生相互作用，而只是由于它影響原有的認知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征，從而間接影響新的學(xué)習(xí)或遷移。其三，遷移的效果主要不是派生類學(xué)習(xí)情境，而是指提高了相關(guān)類屬學(xué)習(xí)、總括學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)的能力。因此，無論在接受學(xué)習(xí)或解決問題中，凡是己形成的認知結(jié)構(gòu)影響新的認知功能的地方都存在著遷移。1

遷移的一般理論第四頁第五頁，共43頁。

(6)產(chǎn)生式遷移理論。這一理論主要用于解釋基本技能的遷移。其基本思想是:先后兩項技能學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移的原因是兩項技能之間產(chǎn)生式的重疊，重疊越多，遷移量越大。安德森1989提出這一學(xué)說，并認為這一遷移理論是“相同要素說”的現(xiàn)代化，因為這一理論對相同要素說提出的遷移產(chǎn)生的原因作了修正，即導(dǎo)致先后兩項技能學(xué)習(xí)時產(chǎn)生遷移的原因，不應(yīng)用它們共有S一R聯(lián)結(jié)的數(shù)量來解釋，而應(yīng)該用它們之間共有的產(chǎn)生式數(shù)量來解釋。

此外，遷移理論還有學(xué)習(xí)定勢說(哈洛，Harfow，1949)，三維遷移模式(奧斯古德，Osgood，1949)以及新近發(fā)展起來的認知策略遷移理論(Ghatala，1958)等等。1

遷移的一般理論第五頁第六頁，共43頁。上述各種遷移理論，從遷移過程的不同側(cè)面去揭示遷移的規(guī)律，去探索學(xué)習(xí)者、最初的學(xué)習(xí)任務(wù)和要遷移的任務(wù)三者之間的復(fù)雜關(guān)系和相互作用，因而都有其合理的一面，都有重要的理論價值。1

遷移的一般理論第六頁第七頁，共43頁。近年來，問題解決中的遷移成為關(guān)注的熱點，在數(shù)學(xué)問題解決中的遷移研究己有了諸多成果。我們提出的問題是:解答數(shù)學(xué)問題，其產(chǎn)生遷移的現(xiàn)象是否具有特殊性?如果存在特殊性，能否揭示它?

2數(shù)學(xué)解題中的遷移第七頁第八頁，共43頁。首先，數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)存在特殊性。解答數(shù)學(xué)問題是一個化歸過程，化歸前后的問題之間必存在某種關(guān)系，這些關(guān)系可以用數(shù)學(xué)關(guān)系去刻畫，包括強抽象、弱抽象、等置抽象和廣義抽象等幾種情形。這幾個抽象關(guān)系，與奧蘇伯爾提出的命題學(xué)習(xí)形式有如下關(guān)系:強抽象對應(yīng)下位學(xué)習(xí)(包括派生類屬過程與相關(guān)類屬過程);弱抽象對應(yīng)上位學(xué)習(xí);廣義抽象對應(yīng)并列學(xué)習(xí)。等置抽象對應(yīng)同位學(xué)習(xí)。我們設(shè)想，數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)中數(shù)學(xué)問題之間的這些關(guān)系，是數(shù)學(xué)解題遷移產(chǎn)生的一個重要因素。從理論上說，具有強抽象、弱抽象及等置抽象的兩個問題之間不僅具有諸多“相同要素”，而且還存在統(tǒng)攝兩者的“共同原理”，這是產(chǎn)生遷移的必要條件。對于具有廣義抽象的兩個問題，同樣有“相同要素”和“共同原理”作為聯(lián)系兩者的紐帶，只是“相同要素”較少或“共同原理”表現(xiàn)得更隱蔽。2數(shù)學(xué)解題中的遷移第八頁第九頁，共43頁。

其次，從解答數(shù)學(xué)問題的知識基礎(chǔ)來看，個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的特殊表現(xiàn)，心理學(xué)家的研究表明，合理、完善的認知結(jié)構(gòu)有利于知識的遷移，因而，個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)必將會影響解題的遷移。于是，數(shù)學(xué)解題中遷移的特殊性也就顯露出來，個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)影響解題遷移的程度如何?優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是否更有利解題遷移?綜上所述，我們提出假設(shè):如果兩個(或多個)數(shù)學(xué)問題之間存在數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，那么一個問題的結(jié)構(gòu)、解決方法、解題策略會影響到別的問題中去。個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)是影響遷移產(chǎn)生和實現(xiàn)的重要因素，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)和具有較高自我監(jiān)控能力的學(xué)生有較強的遷移能力。2數(shù)學(xué)解題中的遷移第九頁第十頁，共43頁。我們將對如下問題進行實證研究：

(1)在具有強抽象或弱抽象或廣義抽象的兩問題之間，哪一種抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。(2)個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)與解題遷移的相關(guān)性。(3)個體的數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力、CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)解題的相關(guān)性。3問題的提出第十頁第十一頁，共43頁。（1）研究目的：驗證具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題之間能夠產(chǎn)生遷移，在此基礎(chǔ)上，探討兩問題之間的兩種抽象關(guān)系(強抽象、弱抽象)哪一種更容易產(chǎn)生遷移。（2）被試選?。荷綎|省臨沂市一中高二年級兩個平行班(7班、17班)，其中7班63人，男生40人，女生23人。17班62人，男生35人，女生27人。臨沂市六中初二年級兩個平行班(11班，12班)，其中11班54人，男生27人，女生27人。12班81人，男生37人，女生44人。4具有強抽象、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究第十一頁第十二頁，共43頁。

(3)測試材料：將高中數(shù)學(xué)中的“乘法原理”及其乘法原理的特例作為學(xué)習(xí)樣例(被試均未學(xué)過這一內(nèi)容)，然后讓被試做遷移練習(xí)題。遷移題由10道填空題組成，其中有用原理或原理的特例去接解答的近移題4題，遠遷移題3題，另有3題為千擾題，即不能用乘法原理而只能用加法原理解答。

具有強、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測試材料第十二頁第十三頁，共43頁。練習(xí)題:

1.A地到B地要過3條河，第1條河上有2座橋，第2條河上有3座橋，第3條河上有6座橋?，F(xiàn)有一人要從B地到A地，則他一共有

種走法。2.在讀書活動中，一個學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本，共有

種不同的選法。具有強、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測試材料第十三頁第十四頁，共43頁。

3.多項式(x+y+z)(a+b)(m-n)(q-p)展開式中，一共有

項。

4.一名兒童做加法游戲，在一個紅口袋中裝著20張分別標有數(shù)1，2，……，19，20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù);在另一個黃口袋中裝有10張分別標有數(shù)1，2，……，9，10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)。這名兒童一共可以列出

個加法式子。5.組裝一臺機器，需要n道工序才能完成，其中第1道工序只有1個技術(shù)工人能做，第2道工序只有2個技術(shù)工人能做，第3道工序只有3個技術(shù)工人能做，以此類推，……，第n道工序只有n個技術(shù)工人能做?，F(xiàn)要組裝一臺這樣的機器，安排工人的方法共有

種。具有強、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測試材料第十四頁第十五頁，共43頁。

6.一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同。(l)從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有

種不同的取法。(2)從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有

種不同的取法。7.A地到B地有m條路，B地到C地有n條路，A地直接到C地有p條路。(l)從A地經(jīng)B地到C地一共有

種不同的走法。(2)從A地到C地一共有

種不同的走法。8.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字，任取4個互不相同的數(shù)組成一個電話號碼，一共可以組成

個電話號碼。具有強、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測試材料第十五頁第十六頁，共43頁。實驗設(shè)計模式第十六頁第十七頁，共43頁。(4)過程。初11班和高17班作為強抽象組，即先學(xué)習(xí)乘法原理及例題，然后做遷移題。

初12班與高7班作為弱抽象組，先學(xué)習(xí)乘法原理的兩個特例，然后做與強抽象組相同的遷移題。第十七頁第十八頁，共43頁。

實驗分組進行。由2名教師分別在強抽象組的高中班和初中班講解乘法原理，然后讓學(xué)生自己閱讀例題，使每個學(xué)生都理解原理和例題，之后，高中組用15分鐘解答遷移題，初中組用20分鐘解答遷移題。

同時，由2名教師在弱抽象組的高中班和初中班講解特例1，讓學(xué)生自己閱讀特例2，使所有學(xué)生都能理解兩個特例。然后高中組用15分鐘解答遷移題，初中組用20分鐘解答遷移題。在遷移題的解答中，答對一題得1分，不答或答錯，得0分。第十八頁第十九頁，共43頁。結(jié)果與分析第十九頁第二十頁，共43頁。結(jié)果與分析第二十頁第二十一頁，共43頁。

從表5一1中可以看到，高17班的平均分高于高7班的平均分，但兩者的差異不顯著，這種情形也反映出，強抽象命題比弱抽象命題更容易實現(xiàn)遷移。這一現(xiàn)象在初中組中表現(xiàn)得更加明顯，由于初中組的解題時間比高中組的解題時間多用了5分鐘，因而平均分比高中組的平均分略高。從表5一3中可以看到，強抽象組(11班)與弱抽象組(12班)的平均成績有非常顯著的差異，即強抽象命題更容易產(chǎn)生順向正遷移。結(jié)果與分析第二十一頁第二十二頁，共43頁。

表5一2反映出，對近遷移題，弱抽象組與強抽象組的遷移率分別為89.2%和93.9%，在遠遷移題上，兩組的遷移率分別為59.7%和61.2%，這表明，具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題能夠產(chǎn)生正遷移，而且強抽象方向的遷移量比弱抽象方向的遷移量大。另一方面，從表中可以看到，對于干擾題，兩組被試答錯率分別為32.2%和34.3%，說明干擾題產(chǎn)生了較大的負遷移。干擾題在問題的情節(jié)、表述形式、表述對象等方面與遷移題非常相似，即表面概貌相似，但兩者的內(nèi)在原理不同，于是，當新問題的內(nèi)在原理與樣例不相同時，兩者表面內(nèi)容相似會對新問題的解決產(chǎn)生負遷移作用。結(jié)果與分析第二十二頁第二十三頁，共43頁。

表5一2反映出，對近遷移題，弱抽象組與強抽象組的遷移率分別為89.2%和93.9%，在遠遷移題上，兩組的遷移率分別為59.7%和61.2%，這表明，具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題能夠產(chǎn)生正遷移，而且強抽象方向的遷移量比弱抽象方向的遷移量大。另一方面，從表中可以看到，對于干擾題，兩組被試答錯率分別為32.2%和34.3%，說明干擾題產(chǎn)生了較大的負遷移。干擾題在問題的情節(jié)、表述形式、表述對象等方面與遷移題非常相似，即表面概貌相似，但兩者的內(nèi)在原理不同，于是，當新問題的內(nèi)在原理與樣例不相同時，兩者表面內(nèi)容相似會對新問題的解決產(chǎn)生負遷移作用。結(jié)果與分析第二十三頁第二十四頁，共43頁。（1）研究目的：①進一步驗證強抽象比弱抽象更易實現(xiàn)遷移。②考察具有強抽象、弱抽象或廣義抽象關(guān)系的問題遷移中，哪種抽象形式的遷移量更大。③探討數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力對數(shù)學(xué)解題遷移的影響。（2）被試選?。荷綎|臨沂一中高二年級一個班，共59人，其中男生30人，女生29人。臨沂六中初二年級一個班，共43人，其中男生21人，女生22人。5數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力與具有抽象關(guān)系數(shù)學(xué)問題遷移的相關(guān)研究第二十四頁第二十五頁，共43頁。參照章建躍編制的《中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力問卷》，修訂后編制《數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控能力問卷》。第二十五頁第二十六頁，共43頁。第二十六頁第二十七頁，共43頁。第二十七頁第二十八頁，共43頁。第二十八頁第二十九頁，共43頁。第二十九頁第三十頁，共43頁。第三十頁第三十一頁，共43頁。編擬一套數(shù)學(xué)題目(見附錄3)。該組題由4道題目組成，其中一道為學(xué)習(xí)題，另外3道為遷移題，這3道題記為題A、題B、題C，學(xué)習(xí)題與遷移題的關(guān)系分別為:第三十一頁第三十二頁，共43頁。第三十二頁第三十三頁，共43頁。第三十三頁第三十四頁，共43頁。(3)過程。初中組的被試采用如下圖的實驗?zāi)Ｊ?。即被試先?分鐘時間自我閱讀學(xué)習(xí)題，然后再由主試講解學(xué)習(xí)題中的解題思想。主試收回學(xué)習(xí)題，同時發(fā)給被試題A和題B，讓被試用20分鐘解答這兩道題目。第三十四頁第三十五頁，共43頁。高中組的實驗采用如下方式進行。第一天，進行問卷測試，時間為15分鐘。第二天，主試發(fā)給被試學(xué)習(xí)題，被試自學(xué)，然后主試講解該題的解題思路。主試收回學(xué)習(xí)題，同時發(fā)給被試題A、題B和題C，讓被試用25分鐘解答這3道題。第三十五頁第三十六頁，共43頁。結(jié)果與分析第三十六頁第三十七頁，共43頁。結(jié)果與分析第三十七頁第三十八頁，共43頁。結(jié)果與分析

將高中組被試按問卷成績的得分分為兩組，成績高于平均分(101分)的稱為高監(jiān)控組，成績低于平均分的稱為低監(jiān)控組。表5一8是高監(jiān)控組與低監(jiān)控組在3道題目中的遷移率、平均分以及平均分的差異性檢驗情況統(tǒng)計。第三十八頁第三十九頁，共43頁。

從表5-4中可以看到，同一組被試在題A與題B的得分上有非常顯著的差異，先學(xué)習(xí)樣例再做題A，是強抽象關(guān)系，而先學(xué)習(xí)樣例再做題B，是弱抽象關(guān)系，這樣，就進一步驗證了第一個實驗的結(jié)論，即:樣例與靶題之間，強抽象關(guān)系比弱抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。這種差異在表5-5、表5-6中也反映出來。高中組在題A、題B、題C的平均成績存在顯著差異，從多重比較中可以看到，題A與題B、題A與題C的成績差異非常顯著，但題B與題C的成績差異不顯著。這說明，樣例和靶題之間，強抽象關(guān)系比弱抽象關(guān)系及廣義抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。對于樣例和靶題