不定積分換元法

二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束換元積分法第四章編輯課件第二類換元法第一類換元法根本思路機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),那么有編輯課件一、第一類換元法定理1.那么有換元公式(也稱即湊微分法)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1求解〔一〕解〔二〕令原式編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解〔三〕令原式編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2求解一般地編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3求解編輯課件例.

求解:想到公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：熟悉第一類換元法之后，就沒有必要寫出中間變量的代換過程P160,公式(18)SCU編輯課件例3.

求想到解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P160,公式(21)SCU編輯課件例4.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似P160,公式(14,15)SCU編輯課件例5.

求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P160,公式(19,20)SCU編輯課件常用的幾種湊微分形式:萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例7.

求解:

原式例8.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例10.

求解法1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件解法2同樣可證或(P199例18)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P160,公式(16,17)SCU編輯課件例11.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例12.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例13.求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考：編輯課件例14.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15

求解編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解例14

設(shè)

求令編輯課件例15.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如ex13,P164,SCU編輯課件思考與練習(xí)1.以下各題求積方法有何不同?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件2.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件二、第二類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求假設(shè)所求積分易求,那么得第二類換元積分法.難求，編輯課件定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令那么機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束那么有換元公式編輯課件例16.

求解:

令那么∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件例17.

求解:

令那么∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P160,公式(22)SCU編輯課件例18.

求解:令那么∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束可以不管具體形式P160,公式(22)SCU編輯課件令于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束可以不管具體形式編輯課件原式例19.

求解:

令那么原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法一：三角代換解法二：倒代換編輯課件小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)講根式代換Ex21,P167,SCU編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用根本積分公式的補(bǔ)充(P205,P160(SCU))(7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束川大教材沒有公式(24)編輯課件解:

原式(P205公式(20))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例20.

求例21.

求解:(P206公式(23))編輯課件例22.

求解:

原式=(P206公式(22))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例23.

求解:

原式(P206公式(22))根式代換；三角代換編輯課件例24.

求解:令得原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三角代換編輯課件例25.

求解:

原式令例16目錄上頁下頁返回結(jié)束三角代換編輯課件1.求解:

兩邊求導(dǎo),得那么(代回原變量)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)編輯課件作業(yè)P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束編輯課件備用題1.求以下積分:機(jī)