畫法幾何課件

第二章

點(diǎn)的投影主要內(nèi)容

1、點(diǎn)的兩面投影

2、點(diǎn)的三面投影3、兩點(diǎn)的投影§２－１點(diǎn)的兩面投影ABaA點(diǎn)的單面投影點(diǎn)的單面投影無“可逆性”四分角ⅠⅡⅢⅣnew兩投影面體系a’ax=Aaaax=Aa’Aa′aaxa’ax=Aaaax=Aa’兩投影面體系的展開OXVHaa′ax點(diǎn)的投影連線a’a垂直于ＯＸ軸a′aXO點(diǎn)的兩面投影圖點(diǎn)的投影連線垂直于ＯＸ軸點(diǎn)的兩面投影具備可逆性Aa′anew點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：(1)點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX軸(2)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到Ｖ面的距離；點(diǎn)的正面投影到ＯＸ軸的距離等于空間點(diǎn)到Ｈ面的距離，即：

aax=Aa′axa′=Aanew特殊位置點(diǎn)的兩面投影ABCOXaa’b’bcc’aa’bcc’b’§２－2點(diǎn)的三面投影OⅡⅢⅠⅤⅧⅥⅣXYZnew三投影面體系點(diǎn)的三面投影ＶWＨＺYHYWX三投影面體系的展開Oaa′⊥OX軸(長對(duì)正)a′a?⊥OZ軸（高平齊）

aax=a?az（寬相等）點(diǎn)的三面投影圖長對(duì)正高平齊寬相等點(diǎn)的三面投影規(guī)律：(1)點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸,即aa′⊥

OX軸(2)點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸,即a′a〞⊥OZ軸(3)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aax=a?az例2－1：已知A點(diǎn)的兩面投影a和a’，求其W面投影a〞特殊位置點(diǎn)的三面投影BC作出A、B、C三點(diǎn)的三面投影A(x,y,z)A點(diǎn)的水平投影a(x,y)A點(diǎn)的正面投影a’(x,z)A點(diǎn)的側(cè)面投影a”(y,z)ＶWＨO點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系§２－3

兩點(diǎn)的投影

newBaa′a″b″bb′一、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置，是指空間兩點(diǎn)的上下、左右和前后的相對(duì)關(guān)系。兩點(diǎn)的相對(duì)位置可由兩點(diǎn)的同面投影反映出來。ZZb’bb”a’aa”O(jiān)XYWYH兩點(diǎn)的相對(duì)位置V投影反映出它們的上下、左右關(guān)系；H投影反映出它們的左右、前后關(guān)系；W投影反映出它們的上下、前后關(guān)系。Aa(b)BCDc(d)二、重影點(diǎn)及可見性當(dāng)空間的兩點(diǎn)位于某一投影面的同一條投影線上時(shí)，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队爸睾蠟橐稽c(diǎn)，稱這樣的兩點(diǎn)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。b〞XZZb’b”a’a(b)a”O(jiān)YWA、B點(diǎn)為H面的重影點(diǎn)A、B點(diǎn)在H面上的可見性，應(yīng)根據(jù)它們?cè)赩面和W面上的投影來判斷C、D點(diǎn)為V面的重影點(diǎn)c〞d″YWXZZc’(d’)d”O(jiān)dcc”C、D點(diǎn)在V面上的可見性，應(yīng)根據(jù)它們?cè)贖面和W面上的投影來判斷E、F點(diǎn)為W面的重影點(diǎn)fe″(f″)f′eEFe′E、F點(diǎn)在W面上的可見性，應(yīng)根據(jù)它們?cè)贖面和V面上的投影來判斷ZZe’e”(f”)Oeff’XY例2－2：在以下無軸投影圖中，已知A點(diǎn)的a’、a”，求a；并知B點(diǎn)的b、b’,求b”aa”a’bb’b”注意45°斜線的確定長對(duì)正高平齊寬相等XObacdb’20a’30cd例2－3：已知點(diǎn)A和點(diǎn)B的H投影，B點(diǎn)的Z坐標(biāo)為20mm,且A點(diǎn)和B點(diǎn)是正面投影重影點(diǎn)；已知點(diǎn)C和點(diǎn)D的V投影，C點(diǎn)的Y坐標(biāo)為30mm,且C點(diǎn)和D點(diǎn)是水平投影重影點(diǎn)；（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的正面投影。（2）求點(diǎn)C和點(diǎn)D的水平投影。第三章直線主要內(nèi)容1、直線的投影

2、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置

3、直線上的點(diǎn)

4、兩直線的相對(duì)位置§3－1

直線的投影一、直線的投影特性EFGHABabghef1、直線的投影，一般情況下仍是直線。2、直線上任一點(diǎn)的投影，必在直線的投影上。Cc二、直線投影的作法bb’Bb”1、作出直線上任意兩點(diǎn)的投影2、連接這兩個(gè)點(diǎn)的同面投影aa”a’OXYWYHZa’abb’b”a”

例3-1:已知點(diǎn)A的V、H投影和點(diǎn)B的H投影，B點(diǎn)的Z坐標(biāo)為0，求線段AB的三面投影。注：直線的投影用粗實(shí)線表示

§3－2

直線對(duì)投影面的相對(duì)位置

一、一般位置直線二、投影面的平行線三、投影面的垂直線

一、一般位置直線與各投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。一般位置直線的投影和傾角αβγα為直線AB與投影面H的傾角β為直線AB與投影面V的傾角γ為直線AB與投影面W的傾角一般位置直線的投影特性：1、三個(gè)投影都傾斜于投影軸2、三個(gè)投影均不反映實(shí)長和傾角

二、投影面平行線

平行于某一個(gè)投影面的直線，稱為投影面平行線。

平行于H面的直線稱為水平線平行于V面的直線稱為正平線平行于W面的直線稱為側(cè)平線水平線的投影a′b′//OX軸a?b?//OY軸ab

反映AB的實(shí)長ABaba′b′a?b?βγβγ水平線的投影特性1、水平投影ab反映實(shí)長，并反映傾角β、γ2、正面投影a′b′//OX軸，側(cè)面投影a?b?//OYw軸aba′b′a?b?正平線的投影c′d′反映CD實(shí)長CDc′d′cdc?d?c?d?//OZ軸cd//OX軸正平線的投影特性1、正面投影c′d′反映實(shí)長，并反映傾角α,γ2、水平投影cd//OX軸，側(cè)面投影c?d?//OZ軸c′d′cdd?c?側(cè)平線的投影e?f?反映EF實(shí)長e′f′//OZ軸ef//OY軸EFefe′f′e?f?αββα側(cè)平線的投影特性：1、側(cè)面投影e?f?反映實(shí)長，并反映傾角α,β2、正面投影e′f′//OZ軸，水平投影ef//OYH軸efe?f?e′f′投影面平行線的投影特性1、直線在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長（即顯實(shí)性），并且這個(gè)投影與投影軸的夾角等于空間直線對(duì)相應(yīng)投影面的傾角。2、其他兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸，并且小于實(shí)長。三、投影面垂直線垂直于投影面的直線稱為投影面垂直線

垂直于H面的直線稱為鉛垂線垂直于V面的直線稱為正垂線垂直于W面的直線稱為側(cè)垂線鉛垂線的投影鉛垂線的投影特性1、水平投影積聚為一點(diǎn)a(b)2、正面投影a’b’垂直于ox軸，側(cè)面投影a”b”垂直于OYw軸，且都反映實(shí)長。正垂線的投影CDc’(d’)cdc”d”

正垂線的投影特性：1、正面投影積聚為一點(diǎn)c’(d’)2、水平投影cd垂直于ox軸，側(cè)面投影c”d”垂直于oz軸，且都反映實(shí)長。側(cè)垂線的投影feEFe′f′e?(f?)ef側(cè)垂線的投影特性：1、側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)e”(f”)2、正面投影e’f’垂直于OZ軸，水平投影ef垂直于OYH軸，且都反映實(shí)長投影面垂直線的投影特性1、直線在所垂直的投影面上積聚為一點(diǎn)（即有積聚性）2、其它兩個(gè)投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并且反映實(shí)長（即有顯實(shí)性）。鉛垂線正垂線正平線d’d”例3－2：判斷AB、CD、DE直線的空間位置，并找出其第三投影e”a’c’b’edca(b)e’a”b”c”

§3－3

一般位置直線的實(shí)長和傾角αβγDCE直線的實(shí)長與傾角的空間狀況直角△ABC中：一直角邊AC=ab；另一直角邊BC＝Bb－Aa，即A、B兩點(diǎn)離開H面的高度差△Z1、過A點(diǎn)作AC//ab2、過b點(diǎn)作bb0⊥ab,且bb0=BC3、連接ab0ABabCαHb0αXOa′b′abmmb0根據(jù)一般位置直線的投影求其實(shí)長和傾角（直角三角形法）αab0=ABα等于AB對(duì)投影面H的傾角a′b′V求一般位置直線ＡＢ的實(shí)長及其對(duì)Ｖ面的傾角βＡＢ實(shí)長XOboa′b′ab求一般位置直線ＡＢ的實(shí)長及其對(duì)Ｗ面的傾角γＡＢ實(shí)長boa′b′abb″a″在投影圖上求直線實(shí)長和傾角的方法以直線在某個(gè)投影面上的投影為一直角邊，以直線的兩端點(diǎn)到這個(gè)投影面的距離差為另一直角邊，作一直角三角形。此直角三角形的斜邊就是所求的實(shí)長，此斜邊和投影的夾角，就等于直線對(duì)該投影面的傾角。直角三角形法例3－3：已知直線CD對(duì)投影面H的傾角α＝30°，試補(bǔ)全c′d′OXdcc′30°△z△Z△Zd′d′do例3－4：在已知直線上截取AB等于定長LOXa′aLkk′mk0b0b′bmLα§3－4

直線上的點(diǎn)點(diǎn)Ｃ在直線ＡＢ上1、C點(diǎn)的投影在直線的同面投影上2、ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”=AC:CBC點(diǎn)在直線上，則Ｃ點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，并符合點(diǎn)的投影規(guī)律。直線上點(diǎn)的投影特性1.直線上一點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上。（從屬性）2.點(diǎn)分線段成某一比例，則該點(diǎn)的各個(gè)投影也分該線段的同面投影成相同的比例。（定比性）點(diǎn)在直線上的判定

一點(diǎn)的各投影若在直線的同名投上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則在空間，該點(diǎn)必在該直線上。一般情況下，可由它們的任意兩個(gè)投影來決定。如直線平行于某投影面時(shí)，則還應(yīng)觀察直線所平行的那個(gè)投影面上的投影，才能判斷該點(diǎn)是否在直線上。例3－5：判斷點(diǎn)Ｍ是否在直線ＣＤ上m〞不在c〞d〞上，不符合點(diǎn)在直線上的投影特性（從屬性），故Ｍ點(diǎn)不在直線ＣＤ上。YWXZYH方法2：cm:md≠c’m’:m’d’，不符合點(diǎn)在直線上的投影特性（定比性），故Ｍ點(diǎn)不在直線ＣＤ上。YWXZYHXO例3－6：已知側(cè)平線CD上一點(diǎn)M的正面投影，要求作出M點(diǎn)的水平投影m解法一：利用直線上點(diǎn)的投影特性之從屬性YWXZYHXOnmnm解法二：利用直線上點(diǎn)的投影特性之定比性直線的跡點(diǎn)：直線與投影面的交點(diǎn)XVHOABa′b′baNnn′Mm′mn′m′n求直線的跡點(diǎn)及其投影1、作為投影面上的點(diǎn)，則它在該投影面上的投影與它本身重合，另一個(gè)投影落在投影軸上。2、作為直線上的點(diǎn)，則它各個(gè)投影必在該直線的同面投影上。mMN跡點(diǎn)投影的特性（兩重性）：§3－5兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1、兩直線平行2、兩直線相交3、兩直線交錯(cuò)ABCDabcda’b’c'd’VH一、兩直線平行2、反之，若兩直線各組同名投影相互平行，則兩直線在空間也必平行1、兩直線相互平行，則它們的同名投影也相互平行（平行性）若兩條一般位置直線的任意兩組同名投影互相平行，則可判定這兩條直線在空間互相平行。a′b′abc′d′cdAB//CDXYwa′b′aba?b?c′d′dcc?d?OYHZABaba′b′a?b?d′c′CDc?d?dc若兩直線為某一投影面平行線，則需作出該投影面上的同名投影才能判定。ABCDa(b)c(d)ac=AB和CD的距離兩條平行的投影面垂直線例3－7：已知直線AB平行直線CD，試完成直線AB和CD的三面投影acbb″da″c″d″d′a′c′b′二、兩直線相交ABa’b’baCDKkcdk’c’d’1、兩直線相交，則它們的同名投影必相交，并且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律2、反之，若兩直線的同名投影相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則兩直線在空間必相交。c′abcda′b′d′e′e兩條一般位置直線，只要任意兩組同名投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，即可判定其在空間相交。a′b′c′d′abdcd?c?b?a?兩直線中若有一條為投影面平行線，則需作出在該投影面上的同名投影才能判定。a′b′c′d′abcdd?c?b?a?AB和CD不相交AB和CD相交例3－8：已知三條直線A、B、C，作直線DE平行直線C，并與直線A、B交于D、E點(diǎn)a′ab′bc′ce′d′edVH?IIIIIIV1(2)3′(4′)ABDCabb′a′cdc′d′三、兩直線交叉空間既不平行又不相交的兩直線為交叉直線(異面直線)a′b′bad′c′dc1(2)OX3′(4′)3421兩交錯(cuò)直線的投影例3－9：判定下列圖中兩直線的相對(duì)位置a′b′c′d′abcda′b′d′c′abc(d)a′b′d′c′cbada′b′c′d′dcab交錯(cuò)相交平行交錯(cuò)§3－6一邊平行于投影面的直角投影HABCabcααa′b′c′abcα兩相交直線（或兩交叉直線）同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，其夾角在投影面上的投影反映夾角的真實(shí)大小相交（或交叉）成直角的兩直線，只要其中有一條直線平行于某投影面，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队叭苑从持苯?。ＡＢＣabc水平線反之，兩直線之一是某投影面平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則在空間兩直線互相垂直a′ab′c′bcm′n′e′f′efnma′b′c′bacff′ee′mnm′n′兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是水平線，則它們的水平投影互相垂直兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是正平線，則它們的正面投影互相垂直abb′a′例3－10：過Ｂ點(diǎn)作直線ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ為任意長度XOabcb′c′a′XOc′在H面上反映直角有無窮多解例3－11：確定點(diǎn)A到正平線CD的距離c′d′cda′ab′bb0ab0=所求距離例3－12：作一直線與AB和CD相交，并與它們垂直（即求兩直線的公垂線）a′b′abc′d′c(d)eff′e′第四章平面§4－１平面的投影一、平面的投影性質(zhì)一般情況下，平面圖形的投影仍是一個(gè)類似的圖形，但形狀、大小可能變化。PpQqDCBAdcbaH二、用幾何元素表示平面１.不在同一直線上的三點(diǎn)２.一直線及直線外一點(diǎn)３.相交兩直線４.平行兩直線5、平面圖形1.不在同一直線上的三點(diǎn)ＸＯa′ab′bcc′2.一直線及直線外一點(diǎn)ＸＯa′ab′bcc′３.相交兩直線ＸＯa′ab′bcc′4.平行兩直線ＸＯa′ab′bcc′5.平面圖形ＸＯa′ab′bcc′a′b′c′acbb?a?c?例4－1：已知平面的兩面投影，求第三面投影例4－2：已知平面的兩投影，求第三投影三、用跡線表示平面跡線：平面與投影面的交線水平跡線（H面跡線）：平面與H面的交線正面跡線（V面跡線）：平面與V面的交線側(cè)面跡線（W面跡線）：平面與W面的交線

PV

PW

PH水平跡線PH正面跡線PV側(cè)面跡線PW平面跡線P

PZ

PX

PY跡線表示平面的投影圖OY1ZXY

PV

PW

PH

PZ

PX

PYVHPXM1M2N1N2PHPV作平面的跡線可歸結(jié)為作該平面上兩條直線的跡點(diǎn)如何作平面的跡線？§4－2平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)一點(diǎn)位于平面內(nèi)一直線上，則該點(diǎn)位于平面上。b′c′bcm′n′mna′a直線在平面上的判定規(guī)則1、一直線若通過一平面上的兩點(diǎn)，則此直線必位于該平面上。2、一直線若通過一平面上的一點(diǎn)，且平行于此平面上的一直線，則此直線必位于該平面上。a′b′c′a′b′c′abcabcm′n′mnm′m1、一直線通過平面上的兩點(diǎn)2、一直線通過平面上一點(diǎn)，且平行于平面上一直線

作平面上的點(diǎn)的投影方法1、先在已知平面內(nèi)作一條輔助直線2、再在此輔助直線上定點(diǎn)ＯYW

c′aＸYＨＺcb

a′

b′

a〞

b〞

c〞

m

m〞

m′

例4-3：已知點(diǎn)Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ點(diǎn)的三面投影

d′dd?a′c′b′abcf′

例4-4：已知△ＡＢＣ平面，并知該面上一點(diǎn)F的V面投影f′，求f

g′gf1′a′d′e′g′f′h′c′2′b′defc1ag2hb例4-5：求作平面梯形ABCD上的梯形EFGH的水平投影例4－6：已知平面四邊形ABCD的水平投影abcd和正面投影a

b

d

，試完成四邊形的正面投影?！?－3平面對(duì)投影面的相對(duì)位置一、一般位置平面二、投影面垂直面三、投影面平行面一、一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面cbaa′b′c′b″a″c″ACB一般位置平面的投影投影為空間平面的類似形ＯYW

c′

aＸYＨＺ一般位置平面的投影c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞二、投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面

垂直于水平投影面的平面叫做鉛垂面垂直于正立投影面的平面叫做正垂面垂直于側(cè)立投影面的平面叫做側(cè)垂面鉛垂面的投影p′p?pP鉛垂面的投影特性：1、水平投影p積聚成一直線，并反映傾角β、γ2、正面投影p′和側(cè)面投影p?不反映實(shí)形γβ正垂面的投影Ｑq′q″qqq″q′正垂面的投影特性：1、正面投影q′積聚成直線，并反映傾角α，γ2、水平投影q和側(cè)面投影q?不反映實(shí)形γα側(cè)垂面的投影Ｒr′r″rr?r′r側(cè)垂面的投影特性：1、側(cè)面投影r?

積聚成直線，并反映傾角α，β2、水平投影r和正面投影r′不反映實(shí)形αβ投影面垂直面的投影特性1、在它所垂直的投影面上的投影積聚為一直線（積聚性），此直線與投影軸的夾角等于空間平面與相應(yīng)投影面的夾角。2、在另外兩個(gè)投影面上的投影不反映實(shí)形，且變小。三、投影面平行面平行于一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面

平行于水平投影面的平面叫做水平面平行于正立投影面的平面叫做正平面平行于側(cè)立投影面的平面叫做側(cè)平面水平面的投影pPp″p′p′pp″水平面的投影特性：1、水平投影p反映實(shí)形2、正面投影p′有積聚性，且p′//OX軸側(cè)面投影p?有積聚性，且p?//OYW軸正平面的投影Qq′qq?q′q?q正平面的投影特性：1、正面投影q′反映實(shí)形2、水平投影q有積聚性，且q//OX軸側(cè)面投影q?有積聚性，且q?//OZ軸Rr′r″r側(cè)平面的投影r′r″r側(cè)平面的投影特性：1、側(cè)面投影r?反映實(shí)形2、正面投影r′有積聚性，且r′//OZ軸水平投影r有積聚性，且r//OYH軸投影面平行面的投影特性1、平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形（顯實(shí)性）2、平面在另外兩個(gè)投影面上的投影積聚成為直線（積聚性），并且分別平行于相應(yīng)的投影軸。OXPH