高考數(shù)學(xué)核心考點必備4-4 三角函數(shù)與解三角形大題歸類-（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)

專題4-4三角函數(shù)與解三角形大題歸類

目錄

一、熱點題型歸納............1

【題型一】|.眄像與性質(zhì)1：給圖求解析式和值域（最值）............................1

【題型二】或圖像與性質(zhì)2:二倍角降累公式恒等變形................................5

【題型三】同一國像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”、重組、輔助角）.....................7

【題型四】||圖像與性質(zhì)4:零點求參.............................................10

【題型五】解三角形基礎(chǔ)1：正弦定理、角與對邊.............................................13

【題型六】解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形...................................................14

【題型七】解三角形1：面積最值............................................................17

【題型八】解三角形2：周長最值............................................................19

【題型九】解三角形3：邊長最值............................................................22

【題型十】解三角形4：不對稱最值.........................................................23

【題型十一】解三角形5：中線型............................................................26

【題型十二】解三角形6：角平分線.........................................................28

【題型十三】三角形存在個數(shù)33

【題型十四】四邊形轉(zhuǎn)化為三角形...........................................................35

【題型十五】解三角形：四邊形求最值.......................................................38

【題型十六】三角形中證明題...............................................................43

【題型十七】解三角形綜合.................................................................47

【題型十八】建模應(yīng)用......................................................................50

二、最新?？碱}組練............................................................................54

【題型一】臼圖像與性質(zhì)1:給圖求解析式和值域（最值）

【典例分析】

1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

⑴求［豆

(2)將函數(shù)|9|圖象向左平移5個單位，得到函數(shù)|M|的圖象,求|岡|在尸""!上

的最小值.一

【答案】(1)岡o⑵|岡

【分析】(1)由圖象可得R［孑則可得E再將點I岡卜入解析式中可求出產(chǎn)勺值,

從而可求得函數(shù)ai的解析式;此)先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出國二再由即范

圍得耳~1的范圍,可得答案.

⑴由最大值可確定與i.因為岡，所以國一，

此時?岡代入最高點|因可得：啊,

從而兇，結(jié)合1日“卜是當(dāng)可時，回］，所以岡

(2)由題意，岡，

當(dāng)岡時，岡，則有岡

所以巨I在區(qū)間岡上的值域為后二.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.注意正余弦“第一零點”和“第二零點”的區(qū)別和聯(lián)系。

2.對稱軸在最大值最小值處的區(qū)別和聯(lián)系

【變式演練】

1.已知函數(shù)囚的部分圖象如圖.

(1)求函數(shù)國二|的解析式；

(2)將函數(shù)宜|的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目诿?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左

平移儕單位，得到函數(shù)巨I的圖象，當(dāng)時，求I網(wǎng)I值域.

【答案】⑴岡

【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得口卜由函數(shù)周期求得易由特殊點求得［王即可求得

解析式：

（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得巨|的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.

（I）由圖象可知，的最大值為"最小值為口I乂國二］,故尋，周期

-IF7］1＞則IV|I'從而IF］-1，代入點|一!,

可，0

，可，乂［岡,帆］

，則問，可,即岡

a

（2）將函數(shù)|岡|的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜諆?縱坐標(biāo)不變，故可得

sL

再將所得圖象向左平移忤單位，得到函數(shù)巨|的圖象?故可得岡

岡國I,la

2.已知函數(shù)岡的部分圖象如圖所示.

（1）求耳I的解析式及對稱中心坐標(biāo)：

（2）先把4］的圖象向左平移仔單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)互|的圖象，若當(dāng)

岡時，求叵|的值域.

【答案】⑴回，岡（響I）。⑵巨］

【分析】⑴先根據(jù)圖象得到伊數(shù)的最大值和最小值,由此列方程組求得目的值，根據(jù)周

期求得瑜勺值，根據(jù)岡求得學(xué)值，由此求得向的解析式,進(jìn)而求出國的對稱

中心；

（2）根據(jù)二角變換法則求得函數(shù)向一|的解析式,再換元即可求出向的值域.

⑴由圖象可知：因，解得：|國—］,又由于岡，可得：與D,所以

a

（1）求函數(shù)I網(wǎng)|的解析式;

（2）首先將函數(shù)巨|的圖象上每一點橫坐標(biāo)縮短為原來的林然后將所得函數(shù)圖象向右平移

值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

（1）解：由圖象得I卬J,a.所以I叼I,由,所以

|.aa

上每一點橫坐標(biāo)縮短為原來的住得到a

,再將

向右平移曲、單位得到

a,最后再向

a

上平移Qt單位得到囚,即

⑶當(dāng)時，所以岡，所以岡

【題型二】臼圖像與性質(zhì)2:二倍角降七公式恒等變形

［典例分析］

已知函數(shù)岡的最小正周期是江.

⑴求。值：

(2)求/(x)的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)將/(x)的圖象向右平移回、單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)尸g(x)的圖象，求若囚，|g(x)-機(jī)|<2恒成立，求相的

取值范圍.

【答案】(1)2⑵對稱中心為—，單調(diào)遞增區(qū)間為:國

(3)0<m<2

【分析】(1)先將解析式進(jìn)行化簡，根據(jù)最小正周期可求得3

(2)根據(jù)解析式可求得對稱中心和單調(diào)區(qū)間；

(?)先求出g(X)解析式，再求出在給定區(qū)間的取值范圍,可得，〃的范圍.

⑴國司—囚

因為最小正周期為乃，故S,

⑵由(1)知：回，令岡，解得：岡，

所以對稱中心為岡，令國，

解得：岡，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：岡

(3)將/(x)的圖象向右平移回、單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,

縱坐標(biāo)不變，

得到岡，

當(dāng)國時，岡,所以0Sg(x)S2,若|g(x)-,川<2恒成立，

則,〃-2<g(x)<ni+2,所以團(tuán),解得：0<m<2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對于文科學(xué)生而言，所謂“見平方就降事”。要注意最終目標(biāo)是角度一致

2.二倍角、降寨目的都是“化一”，最終是輔助角

【變式膏練】

1.已知函數(shù)岡，在瓦一|中,角鼻鼻四對的邊分別為母

母民

【寸稱.

(1)求直I的最小正周期；

(2)在△ABC中，角4,8,C所對的邊分別為a,b,c,若叵—2,c=|臼|，求△ABC面

積的最大值.一

【答案】(1已(2)同

【分析】

(1)利用三角恒等變換化簡巨］,根據(jù)題意求得與再求其最小正周期即可；

(2)根據(jù)(1)中所求，結(jié)合題意求得「由再利用余弦定理和基本不等式，即可求得結(jié)果.

⑴因為回

》=呼寸稱，則可

，即后

乂0V母＜4,故可得國J,則岡,則扃的最小正周期S

,故可得岡

(2)因為a

，解得目二|或仔1

則岡或0,又|岡，故國

乂c=|五由余弦定理則岡,則向］,解得與二I,

當(dāng)且僅當(dāng)回［時取得等號；則囚

故△ABC面積的最大值為巨］.

【題型三】圖像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”-重組-輔助角）

【典例分析】

己知函數(shù)a

（1）求函數(shù)I目I的最小正周期:

（2）在銳角耳二I中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若3＞且II，試

判斷a~i的形狀.一

【答功（1球2）|叼?是正三角形.

【分析】（1）運(yùn)用主角恒等變換公式化簡函數(shù)向，利用正弦函數(shù)的周期公式可求得答案;

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.“打散”：角度不一致，可以拆開

2.“重組”：系數(shù)次幕一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”

【變式演練】

1.已知函數(shù)回.在下列條件①、條件②、條件③這三個條

件中，選擇可以確定展口邱的兩個條件作為已知.（1）求|囚卜勺值;

（2）若函數(shù)在區(qū)間國］上是增函數(shù)，求實數(shù)單最大值.

條件①：的最小前期為號

條件②：的最大值與最小值之和為0；

條件③：

【答案】⑴見解析（2）岡

,若選擇①和②，則阿

【分析】（1）先對函數(shù)化簡得0

a,求出耳?的值，從而可得目的解析式，從而可求出F~|,若

兇，且岡，這樣的與b存在,

(2)由(1)可知，若選擇①和②，岡，由

兇，所以國I的增區(qū)間為岡

因為函數(shù)目在區(qū)間耳上是增函數(shù)，所以實數(shù)即最大值為回

若選擇①和③，則囚，

M一得網(wǎng)

所以耳I的增區(qū)間為岡，因為函數(shù)同在區(qū)間同上是增函數(shù),

所以實數(shù)即最大值為區(qū)，

2.已知函數(shù)W

(1)求函數(shù)Ig|的最小正周期，及對稱軸方程.

(2)先將函數(shù)目|的圖象向右平移自個單位長度,再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為

原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)n的圖象,求?臼?在上的值域.

【答案】(1)最小正周期為國對稱軸為尸⑵|岡葉

【分析】(1)化筒巨I解析式，由此求［岡I的最小正/期,利用整體代入法求得巨］的

對稱軸.

(2)先利用三角恒等變換求得后j"|的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得互|在區(qū)

間岡上的值域.

⑴岡

再將所得圖象匕各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的a僧，縱坐標(biāo)不變，得到岡

s,所以岡

3.已知國二設(shè)函數(shù)|網(wǎng)一

(1)若火x)是偶函數(shù)，求日的取值集合；

(2)若方程|岡|有實數(shù)解,求第I的取值范圍.

【答案】⑴岡：(2)岡

【分析】(1)用二倍角的正弦公式變形函數(shù)式，再利用偶函數(shù)的定義結(jié)合和差角的正弦化筒

即可求解作答.

(2)由(1)及已知,利用三角恒等變換公式化簡變形，求出百的范圍,再把I引1用

國二|表示出求解作答.

⑴因函數(shù)閃是偶函數(shù)，即|司/IfI成立,

則0化筒整理得：向

而5~1不恒為0,于是得|閆1,解得岡，即岡

所以日的取值集合回

(2)由(1)及已知得：岡

即s....,化簡整理得：后

顯然IFI，則可

依題意，原方程有實數(shù)解等價于回一,解得a

岡，解得岡，所以If的取值

范圍是岡

【題型四】回_________圖像與性質(zhì)4:零點求參

【典例分析】

已知岡.⑴求函數(shù)I岡I的對稱中心和

單調(diào)增區(qū)間；

(2)將函數(shù)|岡|的圖象上的各點得到函數(shù)|7]的圖像,當(dāng)岡

時，方程|岡|有解,求實數(shù)〃的取值范圍.

在以下①、②中選擇一個，補(bǔ)在(2)的橫線上，并加以解答，如果①、②都做，則按①給分.

①向左平移回個單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；②縱坐標(biāo)保持不變，

橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移甘卜單位.

【答案】⑴對稱中心是因，國二]單調(diào)增區(qū)間為岡，

(2)選①②答案相同，均為3

【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積定義計算出田|，再求解對稱中心和遞增區(qū)間;(2)根據(jù)

伸縮變換和平移變換得到|岡一|的解析式,再求解岡的值域，進(jìn)而求出數(shù)。的

取值強(qiáng)圍.

⑴；岡，

故函數(shù)|w|的對稱中心是岡，If卜

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可以直接求解：五點畫圖法思維

2,可以換元求解

【變式演練】

1.已知函數(shù)回

度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于由對稱.

(1)求函數(shù)巨)的解析式；

(2)若關(guān)于即方程|岡|在岡上恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)即取值范圍.

【答案】⑴岡。(2,同

【分析】(1)利用輔助角公式結(jié)合圖象的變換得出囚，再根據(jù)對稱性得

出岡，從而得出函數(shù)直|的解析式；

(2)由岡得出岡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合方程［岡|在

岡一上恰有兩個實數(shù)根，得出實數(shù)聊取值范圍.

⑴解：岡將函數(shù)目的圖象向左平移日

個單位長度后，所得函數(shù)為

岡.?,岡。

可

又F卜日~:產(chǎn)

(2)V岡.?.岡當(dāng)岡，即國時，目單調(diào)遞增;

當(dāng)囚，即區(qū)T時，國|單調(diào)遞減.且岡，岡

?.?方程I岡I在岡上恰有兩個實數(shù)根.二|臼|

.,.實數(shù)。的取值范圍為IG

2.已知函數(shù)，其中常數(shù)回］.

］的圖象向左平■忤單位,得到的函數(shù)I司I的圖象,求［可;

(1)若回］，將函數(shù)反

(2)若目在詞,可上單調(diào)遞增，求日的取值范圍;

(3)對(1)中的|‘岡1,區(qū)間口？

；反］，I仁I口［71］I皺滿足：I在昌口土至少含有30

個零點，在所有滿足上述條件i|的最小新^一

。(2日仃

【答案】⑴岡⑶a

【分析】(I)由臼晌左平移於單位可得岡，化筒即可;

(2)由題意可得，從而求出電的取值范圍；

(3)令I(lǐng)目I，得岡耳3可得相鄰兩個零點之間的距離為件可知

岡，可求出國的最小值.

⑴若國二I，由題意得1回I，向左平移￡外單位，得到的函數(shù)

0.故叵1

(2)；|三］卜當(dāng)|"國］,同時,岡又：|gI在同;同胞調(diào)

遞增,

a,二中取值范圍為Q)自

,解得岡

(3)由函數(shù)|可知,,即因

???相鄰兩個零點之間的距離為于且周期向二

則?要使I臼出土口大至少含有30個零點，至少包含14.5個周期.

即日.故可的最小值為司.

3.已知函數(shù)岡為偶函數(shù)，且國|圖象的

相鄰兩對稱軸間的距離為

(1)求I臼I的解析式;

(2)將函數(shù)目的圖象向右平移儕單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變),

得到函數(shù)瓦|的圖象，若IFI在區(qū)一上有兩個不同的根，求，〃的取值范圍.

【答案］⑴臼

【分析】(1)：先利用輔助角公式化簡，然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)，和兩對稱軸的距離可求出顯

便可寫出國：

(2)：將囪研?移得到回求其在定義域內(nèi)的兩根轉(zhuǎn)為兩個函數(shù)由兩個交點，便可求出，”

的取值范我

⑴聞數(shù)岡岡

岡為偶函數(shù)

【典例分析】

已知耳ZI中，角國二］所對的邊分別為同

⑴求毋值;

⑵若的面積為I|國，求單值.

【答案】(J司:⑵斐|

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般大題規(guī)律：第一問正余弦定理求出角度，第二問借助角所對應(yīng)邊長。多用余弦定理。

此類題，特別是文科若考察解三角形，應(yīng)用較多。

【變式演練】

1?在氏口中，角與口?'對邊分別為QRDj已知反

⑴布飛I值;

（2）若|fI，求與二I的值

【答案】（1）1岡岡

【分析】（1）將山正弦定理轉(zhuǎn)化為向］，再

利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形，可求出國3|的叱

（2）先求出|.再利用三角函數(shù)恒等變換威而求出與二I的值

（1）因為I目；

所以由正弦定理S得回

所以|岡

，所以0

（2）因為在目二I中，岡,所以同

因為在T中,|g-|

二|的內(nèi)角A,'胃口的對邊分別為顯&Qr已知國

（1俅角^大??；一

（2）若|臼一可~1的面積為F1求國二］的周長.

【答案】（1困MI

【分析】

⑴由已知及正弦定軍,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和關(guān)系化簡已知可得

岡由I區(qū)1，可求國二］，結(jié)合角口的范圍即可得解；

（2）由二、形面積公式可求百利里余弦J理即可得解官］的值，從而可得專案.

（1）解：因為|岡所以|岡卜

整理得：|岡|，恫I，|岡―|，岡，

又舊一I，回；

（2）解：由余弦定理得岡臼~岡

I臼I，|臼~|，向I，I臼I的周長為反1

3耳U的內(nèi)角耳二|的對邊分別為耳!，已知岡

（1）求角C；

(2)若I，求耳口的面積.

【答案】⑴干回

【分析】(1)對已知式子化簡后利用正弦定理得|岡一再利用余弦定理可求

出角c,一

(2)由|岡可得|,］,再由正弦定理得5~1，再利用三

角形《面積公式可求得結(jié)果

⑴由回，

耳____________，

得因，得I回：----I，

由正弦定理，得|國-----由余弦定理,得岡

0

⑵由|岡得I丑I，

得扃得|j7|I，由正弦定理,得耳3?又Lpq一二!,

I日I的面積岡

【題型六】解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形

【典例分揖】

在臼一|中，角目國重對邊分別為馬母口國二I的面積為目且

0

(1)求角

所以

所以

0

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.若式子含有耳］的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，''角化邊”

2.面積和目二］2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理

【變式演練】

（1）條件①②能否同時滿足，請說明理由；

（2）以上四個條件，請在滿足三角形有解的所有組合中任選一組，并求出對應(yīng)國二|的

面積.

【答案】（1）不能同時滿足①②（2）若|岡|滿足①③④時,則|平附面積為國

若I岡?滿足②§④時，則|后1I的面枳為囪?

I岡|------------------------

【詳解】（1）由①口得：且由余弦定理

能同時滿足①②.

,（2）山⑴知，|因一，|滿足①③④或②③④若「岡,瞞足①③④因為

咒I__

所以口，即|臼5n解得|岡閾岡----------（-舍----------------------

去）.

的。枳a另：若I岡|滿足②③④

a，所以國

a,即,則，所以回一

所以1岡I的面積a

3.已知|月［I的內(nèi)角I國的對邊分別為向,且

（1）I；

（2）若角耶平分線與國交于點臼|且國二］,求的值.

【答案】⑴，⑵

解析：（1）方法一：由?及余弦定理得a

整理得a,所以a

方法二：由Q］|及正弦定理得|岡

可

又0,所以

岡

（2）由（1）可知，且［國，所

以a

同理可得a,設(shè)?葉的面積分別為國

a

a,a

由目a,所以a

【題型七】解三角形1：面積最值

【典例分析】

如圖，在△昌二］中，。為2c邊上的點，連接AO,且滿足國

【答案】（1）證明見解析。（2）|B|

【分析】

（1）分別在△臼-1和A中運(yùn)用正%定理并結(jié)合已知條件即可證得;

（2）利用I臼I，列出等式|反］I，利用基本不等式即可求出△耳I的

面積的最小值.

⑴在△耳］中，利用正弦定理可知回，即I臼

同理，在△后二I中，利用正弦定理可知岡，

即?刁L］.

由祿口條件百」，可得|_口

即1g01°lg1；

（2）設(shè)I臼I，I可I，［岡’‘，

BI，

又；|底I,工岡.二|臼

又回，月I''（當(dāng)且僅當(dāng)r可時等號成立）

岡，即氏j~~|的最小值為岡.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

面積最值，一般符合“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，可以直接用余弦定理加均值不等式。

【變式演練】

1」日|三個內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,

⑴若|岡求C；

（2）求|的而S的取值范圍.

【答案】(1舊2)|岡］

【分析】(1)根據(jù)正弦定理由叵即可求出C；

(2)方法一：由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解；方法二：正弦定理邊化角，利用三角函

數(shù)最值求解即可.

■,?|B|.解得叵］.

岡，??岡

(2)(方法一)?..岡，F(xiàn)I，化簡得I叼-I.

又I國I，；?國一|,3月一|,當(dāng)且僅當(dāng)I因I時,等號成立.

.?.△A8C的面積岡，當(dāng)且僅當(dāng)|因時,等號成立，故

因，即△ABC的面積S的取值范圍為岡.

(方法二)?..岡，，由正弦定理得：岡，

.?.△A8C的面積囚

2.在三角形耳］中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,且滿足同

⑴求角A；

(2)若同"］，求三平形同~1面積的最大值.

【答案】(1)［岡］;(2)目.

【分析】(1)利用正弦定理，將已知條件中的邊化角，求得瓦］，即可求得號

(2)利用余弦定?結(jié)合基本不學(xué)式，求得⑼勺4大值，前司噪得面積的最矢值.

⑴由回，結(jié)合正弦定理飛——1,得岡，

所以|摩又因為IfI，所以岡

(2)由余弦定理|a］:得j曰-,一］

即月當(dāng)且權(quán)當(dāng)|日|等號麗Q

所以網(wǎng)，

即當(dāng)IF附，三角形國J面積巨］的最大值為國.

3.在|中,角A，B,C的對邊分別為a,b,c,同sin-C）=csinB.

（1）求殖C

（2）若r^~~i的外接圓半徑為2,求國二1面積的最大值.

［答嗓］（1）式2）國!

【分析】（1）利用正弦定理得到tanC=V3,從而得到C=:用2）利用正弦定理得到c=2g，

根據(jù)余弦定理和基本不等式求出ab<12,進(jìn)而求出國」面積的最大值.

（1）

因為.bsin（f—C）=csinB,所以gbcosC=csinB，由正弦定理得：值sinBcosC=sinCsinB，

因為叵二I，所嗎—故J5cosC=sinC,tanC=V3>因為C€（0,冗），所以。=勺

⑵根據(jù)正弦定理得：品=言=4,解得：c=2g，

2

根據(jù)余弦定理得：c2=a24-b2—2abcosC=a24-b2-ah=12,由基本不等式得:a2-Vb2>

2ab,EP12+ab>2ab,解得：abW12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立，此時S^BC=

gabsinC<3V3,所以|臼|面積的最大值為同

【題型八】解三角形2：周長最值

【典例分析】

在①］兔［刖岡的等差中項；在司—I；③

岡一!.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并

解答問題._

在臼~~I中,角度口口所對的邊分別為母母比且滿足條件（填寫所選條

件硫號）.

（1）求角巳

（2）若|媼I,求銳角三11的產(chǎn)長白?取值范圍.

【答案】（1）條件選擇見解析，|岡］；（2）叵1

【分析】

（1）選①，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出國二|的值，結(jié)合角口步取值范圍可求得角

用值；___

選&,利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得五|的值，結(jié)合角洋勺取值范圍可求得

角向勺值；3

選茴，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、正弦定理以及余弦定理求出反二|的值，結(jié)合角國勺

取值范圍可求得角即值：

（2）求出角中取植范圍，利用正弦定理以及三角恒等變換可得出|F］關(guān)于中三角

函數(shù)關(guān)系式，利用正弦型手?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可求得IyI的取值范甫

⑴解：選①，由已知可得岡，

因為因，則I目I，可得困

選③，

則國二I，即早:

由正弦定理可得目］,由余弦定理可得0

I故國

可

（2）解：因為國二|為銳角三角形，則，可得岡

由正弦定理可得岡

所以，岡

a

因為岡，則國,則a

故0

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“齊次對稱結(jié)構(gòu)“，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，計算量稍大

【變式演練】

1.在中，角目二］的對邊勺別為1其中?司|,且

-3---------------------------

（1）求角朋大小;

（2）求4］周長的取值范圍。

［答案］（曲2）|因一二

【分析】⑴利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到f1再由正弦定理得到

*1,即可得到耳|，即可得解；

（2）利用余弦定理及基本不等式得到|F|,再根據(jù)［叵］I求出

臼~|的取值范圍，即可得

（1）解：因為I岡即|司-1,所以

|岡即I』］，所以岡，又

,|臼I，所以岡，所以岡，因為|岡所

以忖I

(2)

解：因為可、SZI,由余弦定理國|,即I曰即

“一一當(dāng)且僅當(dāng)I岡I時取等號，身以向所以

茴［，所以I畝I，所以值I,所以

岡即三角形的周長的取值范圍為I回

2.在?中，角馬馬口所對的邊分別為吐◎區(qū)且|春.

⑴求國‘，1一

(2)若面積|丹|，求耳D周長的最小值.

［答案］(1J岡:(2)||,

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再結(jié)合同角公式計算作答.

(2)由(1)結(jié)合三角形面積定理求出be,再由余弦定理結(jié)合均值不等式計算作答.

(1)在目］中，由正弦定理及|因|得:

習(xí)：」,__________________

而I問I，即L^__I,則底，即岡，

因此，|臼「:「「乂目二□，即I司I，

于是得0，解得國，所以叵1.

(2)由⑴及三角形面積定理得：岡,耳J,

由余弦定理得：I岡

則丘三周長扃當(dāng)且僅當(dāng)

晶周長的最小值為E―

總?cè)谙蛄坑?(a+c,b)與元=(c-a,b-c),且記上匯③

,三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析.在國二|中，內(nèi)角

J邊分別為國二|，已知______.

①錄角中J大小;

B⑵若r^［~i的面積為竟反,求耳n周長的取值范圍.

【答案】(1)［^|(2)(4V3,6V3］

【分析】(1)若選條件①或③，需要使用正弦定理進(jìn)行邊化角來處理，選擇條件②用余弦定

理即可；(2)先由面積的條件算出口此后利用余弦定理和基本不等式解決.

(1)

若選條件①，根據(jù)正弦定理得，2a=$嗎+sm：,整理得，sinAcosB+sin/lcosC=sinBeosA4-

cosAcosB+cosC

sinCcos/1,即______

sinAcosB-sinBeosA=sinCcos^—sin4cosC,也即sin(A—B)=sin(C—4),由于［臼是

三角形內(nèi)角，只可能是4-B=C-A,即24=B+C=TT-A,

若選條件②，則有記-n=0=(c+a)(c—a)+b{b-c),整理得川+c2-a2=be,由余

X岡］;

弦定理得0，又

若選條件③，由正弦定理，岡，即I臼|,又I臼|,則尸］

⑵

S^ABC-^bcsinA=^abc,故a=4sin4=4sing=2代，由三角形三邊關(guān)系，b+c>a=

2V3,故周長a+b+c>2a=4V5，另一方面，根據(jù)余弦定理，b2+c2-2bccos^=a2,

即(b+c)2-12=3bc,由基本不等式可得，

(b+c)2-12=3bcW組產(chǎn)，故(b+c)2w48,即b+cW4百，當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=2g取得等號，故腦長a+b+c<a+4V3=6V3,綜上可得，周長的取值范圍是：

(4百,6例

【題型九】解三角形3:邊長最值

【典例分析】

在①%os《-9=國CcosB;②2S-BC=卸?近；③ta"+tanC+鳳Aan^tan^'

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在底廠］中,內(nèi)角扇―I

的對邊分別為反二|，且_________.

(1)求角昂

(2)若五二|是銳角三角形，且c=4,求目的取值范圍?

注：如某選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【答案】(1)答案見解析(2)(2,8)

【分析】(1)選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同

角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及誘導(dǎo)公式求解.

(2)根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解

(1?選擇(p：條件即bsinC=y/3ccosB，由正弦定理可知，sinBsinC=x/3sinCcos^?

在耳:中，B,CG(0,n),所以5^8于O,sin。#0，

所以sinB=gcosB,且cosBH0,即岡,所以［岡］;

選擇②：條件即2xjacsinB=V3cacosF,即sinB=y/3cosB,

在I巨仲,岡，所以I叼I，則cosB工0,所以上，所以?/］

選擇③：條件即tan4+tanC=V3(tan/ltanC—1)?

所以tanB=Tan(A+G=-［：黑魯；=W，在I叼I中，8,。€(0,兀)，所以［岡］

(2)由(1)知，|BJ,所以4==

由正弦定理可知，。=畫竺=竺型￡0=包1+2，

sinCsinCtanC

,_____,(0<c<-,??

2

由臼口是銳角三角形得,2nn所以?<C<3

(0<A=--C<-,62

I32

所以tanC〉號，所以2<a<8,故聊取值范圍為(2,8).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

用正線定理，要注意角度的范圍。

【變式演練】

1.在|5"1中'a，b,c分別是角A,B,C的對邊，且2acosC-bcosC=ccosB.

⑴乘扁G

(2)若a+b：2,乎c的取值范圍.

［答案］(1J岡卜)|可

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出

結(jié)果；

(2)利用余弦定理以及已知條件，即可求出響勺取值范圍.

(1)由正弦定理得2sirn4cosc-sinFcosC=sinCcosB,即2sinAcosCsinFcosC+sinCcosF,

2sin4cosc=sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,因為區(qū)|,所以|~7]-1,所以cosC=|

又因為國.所以I區(qū)J;

(2)由a+b=2得b—