專題2.5等腰三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）-2023-2024學年八年級數學上學期復習備考高分秘籍【人教版】（解析版）VIP

2023-2024學年八年級數學上學期復習備考高分秘籍【人教版】專題2.5等腰三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）班級：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答題1．（2023秋·山東菏澤·八年級校聯考期末）如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一點，且AD=BE，∠1=∠2．求證：DE⊥CE．

【答案】見解析【分析】先根據平行線的性質可得∠B=90°，從而可得△ADE和△BEC都是直角三角形，再根據等腰三角形的判定可得DE=EC，然后根據直角三角形全等的判定定理即可得證．【詳解】∵AD∥BC,∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=90°，∴△ADE和△BEC都是直角三角形，∵∠1=∠2，∴DE=EC，在△ADE和△BEC中，DE=ECAD=BE∴△ADE?△BEC(HL)．∴∠ADE=∠BEC∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BEC+∠AED=90°∴∠DEC=90°∴DE⊥CE【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識點，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題關鍵．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．

(1)求證：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度數．【答案】(1)見解析(2)70度【分析】（1）要求證：BD=DE可以先根據角角邊定理證明△ABD≌△AED，再根據全等三角形性質得出結論；（2）根據AB=AC，得∠C=∠B=40°【詳解】（1）（1）證明：∵AD平分∠BAE∴∠BAD=∵AD=AD，∵∠B=∴△ABD≌△AED（AAS∴BD=ED；（2）解：∵AB=AC，∴∠C=∵∠CAD=180°-∴∠CAD=180°-40°-40°-30°=70°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定，掌握相關定理，靈活運用是解題關鍵．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使得BD=AC，連接AD，再延長AB至E，使得BE=CD，連接DE．求證：△BED≌△CDA．

【答案】見詳解【分析】先證明∠EBD=∠ACD,再根據SAS判定證明即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBD=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB,∴∠EBD=∠ACD,∵BE=CD，BD=AC，△BED≌△CDA(SAS【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．4．（2023秋·福建福州·八年級福州日升中學?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E都在邊BC上，且BE=CD，求證：AD=AE．【答案】見詳解【分析】利用等腰三角形的性質可得∠B=∠C，再由SAS證明△ABE≌△ACDSAS，從而得AD=AE【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠C∴△ABE≌△ACDSAS∴AD=AE．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，點P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D，E，已知DC=2．(1)試說明△ACD≌△CBE；(2)求BE多長？【答案】(1)見解析，(2)2．【分析】（1）根據已知易得∠ACB=90°,AC=BC，再由AD⊥CP，BE⊥CP，利用同角的余角相等易得∠DAC=∠ECB，進而證明△ADC≌△CEBAAS（2）由全等三角形性質可知BE=CD．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°,AC=BC．∵∠DAC+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEBAAS（2）由（1）得△ADC≌△CEB，∴BE=CD=【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，根據利用同角的余角相等證明角相等是證明關鍵．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD=BD，點H是BC邊的中點，連接DH，交BE于點G，連接CG．(1)求證：△ADC≌△FDB；(2)求證：CE=1(3)求∠FGD的度數．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)67.5°．【分析】（1）由等腰三角形的性質得BE⊥AC，再證∠ACD=∠ABE=∠FBD，然后利用ASA證明△ADC≌△FDB即可；（2）由等腰三角形的性質得AE=CE，得CE=12AC（3）由等腰三角形的性質得ABC=45°，DH⊥BC，則∠BHG=90°，再由直角三角形的性質得∠FGD的度數．【詳解】（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠ABE=90°，∴∠ACD=∠ABE=∠FBD，在△ADC和△FDB中，∠ADC=∠FDBCD=BD∴△ADC≌△FDB(（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴AE=CE，∴CE=1由（1）知：△ADC≌△FDB，∴AC=FB，∴CE=（3）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵CD=BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠ABC=45°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=1∵CD=BD，點H是BC邊的中點，∴DH⊥BC，∴∠BHG=90°，∴∠BGH=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°，∴∠FGD=∠BGH=67.5°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質等知識，熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．7．（2023春·全國·八年級期中）在△ABC中，AB=AC，點D、點E在邊BC上，BD=CE，連接AD、AE．(1)如圖1，求證：AD=AE；(2)如圖2，當∠DAE=∠C=45°時，過點B作BF∥AC交AD的延長線于點F．在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖2中的等腰三角形（△ABC除外）．【答案】(1)證明過程見詳解(2)圖2中的等腰三角形有△ADE，△BDF，△CAD，△BAE【分析】（1）證明△ABD≌△ACE即可求解；（2）根據等腰三角形的性質，平行線的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴AD=AE．（2）解：由（1）可知，AD=AE，∠BAD=∠CAE∴三角形ADE是等腰三角形，則∠ADE=∠AED，∵∠DAE=∠C=45°，∴∠B=45°，∠BAC=90°，∠ADE=∠AED=12(180°-45°)=67.5°∵BF∥AC，∴∠F=∠FAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°，∵∠BDF=∠ADE=67.5°，∴∠F=∠BDF=67.5°，∴三角形BDF是等腰三角形，∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°=∠ADE，∴三角形CAD是等腰三角形，同理可得三角形BAE是等腰三角形，∴等腰三角形有：△ADE，△BDF，△CAD，△BAE．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，三角形全的的判定和性質，平行線的性質，掌握等腰三角形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．8．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N，連接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度數．(2)若AB=8cm，△NBC的周長是14cm．求【答案】(1)15°(2)6【分析】（1）根據等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，三角形內角和定理即可求解；（2）有垂直平行線性質可知AN=BN，△NBC的周長是14cm，AB=8【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-(∠ABC+∠C)=180°-65°×2=50°，∵AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N，∴AN=BN，∠A=∠ABN=50°，∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=65°-50°=15°，故答案是：15°．（2）解：AB=8cm，△NBC的周長是14∴NB+BC+NC=14，AB=AC=8由（1）得，AN=BN，∴BC+AN+NC=14，且AN+NC=AC=8，∴BC=14-AC=14-8=6，故答案是：6．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質和垂直平分線的性質，解題的關鍵是找到等腰三角形中等邊，垂直平分線中的等邊關系．9．（2020秋·浙江溫州·八年級校考期中）在正方形網格中，已知格點（即小正方形的頂點）A、B組成的線段AB，請分別按下列要求作圖：(1)在圖1中作一個面積為2的△ABC（點C在格點上），且有一個內角為鈍角；(2)在圖2中作一個等腰△ABC（點C在格點上）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先找到一個滿足面積是2的△ABC，比如點C在點A往后兩格，然后在過這個點作一條平行線可找到符合條件的點C，從而作出這樣的鈍角△ABC；（2）可通過找到點A或點B的距離是5的點即點C來找這樣的三角形．【詳解】（1）解：如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（2）如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（以下5圖答其一正確）【點睛】本題考查網格中的作圖，涉及等腰三角形的判定，三角形的面積公式等知識，掌握平行線間的距離相等和網格中找5長度的線段是解題的關鍵．10．（2022秋·湖南邵陽·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．

(1)求∠A的度數；(2)若BD⊥AC，垂足為D，BD交EC于點F，求∠1的度數．【答案】(1)∠A=36°(2)54°【分析】（1）根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論；（2）根據垂直的定義和三角形的內角和即可得到結論．【詳解】（1）解：∵EA=EC，∴設∠A=∠2=x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x，在△ABC中，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°；（2）解：∵∠A=∠2，∴∠2=36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC=90°-36°=54°，∴∠1=∠DFC=54°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，三角形的內角和，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．11．（2022秋·湖北隨州·八年級?？计谥校┤鐖D，B、C分別在AD、AE的垂直平分線上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：

(1)△ABC的周長；(2)∠DAE的度數.【答案】(1)12(2)120°【分析】（1）根據垂直平分線的性質可得BD=BA,CE=CA，進而得出△ABC的周長等于DE的長，即可求解；（2）根據三角形內角和定理得出∠BAC，根據三角形的外角的性質，以及等邊對等角得出∠DAB,∠CAE，即可求解．【詳解】（1）解：∵B、C分別在AD、AE的垂直平分線上，∴BD=BA,CE=CA，又DE=12，∴△ABC的周長為AB+BC+AC=DB+BC+EC=DE=12，（2）解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，又BD=BA,CE=CA，∠ABC=∠BAD+∠BDA,∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠DAB=∠BDA=12∠ABC=25°∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+60°+35°=120°．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形的外角的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．12．（2022秋·山西晉中·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、

(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，則△ADE的周長為________．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據角平分線的定義以及平行線的性質可得DB=DF，EF=EC，即可得出結論；（2）由（1）知DB=DF，EF=EC，則△ADE的周長=AB+AC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∵DE∥∴∠CBF=∠DFB，∴∠DBF=∠DFB，∴BD=DF，同理FE=EC，∵DE=DF+EF，∴DE=DB+EC；（2）解：由（1）知DB=DF，EF=EC，∴△ADE的周長=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=AD+BD∵AB=3，AC=2，∴△ADE的周長為：AB+AC=5，故答案為：5．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質及角平分線的性質．正確地進行線段的等量代換是解決問題的關鍵．13．（2021秋·湖北宜昌·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分線交于點M，過M作DE∥AC，分別交AB、BC于點D、E．求證：

【答案】見解析【分析】根據角平分線的定義及平行線的性質即可證明MD=AD，根據角平分線的定義及平行線的性質即可證明ME=CE，根據線段的和差即可得到結論．【詳解】證明：∵AM平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAM，∵DE∥∴∠DMA=∠CAM，∴∠DMA=∠DAM，∴MD=AD，∵MC平分∠ACB，∴∠ECM=∠ACM，∵DE∥∴∠EMC=∠ACM，∴∠EMC=∠ECM，∴ME=CE，∵MD=AD，∴DE=MD+ME=AD+CE，即AD+CE=DE．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、平行線的性質、角平分線，解題的關鍵是掌握等腰三角形中的相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．14．（2022秋·湖北隨州·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，點C、D在△ABE的邊BE上，①BC=ED，②AB=AE，③AC=AD，④∠ACB=∠ADE．在其中任選兩個當作條件、一個作結論組成一個正確的命題（只寫一組）.

【答案】①②為條件，③為結論（答案不唯一）【分析】選?、佗?，通過證明△ADE≌△ACB．可得③AD=AC．【詳解】解：證明：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ADE和△ACB中，AE=AB∴△ADE≌△ACB．

∴AD=AC．故答案為：①②為條件，③為結論（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查全等三角形判定與性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．15．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分別是AE、

(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證△ABE≌△DBC，根據斜中半定理即可求證；（2）∠MBN=∠MBE+∠NBD，根據等邊對等角和全等三角形的性質進行等量代換即可求證．【詳解】（1）證明：∵∠ABD+∠DBC=180°,∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=90°，∵AB=DB，EB=CB，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∵M，N分別是AE、∴BM=1∴BM=BN（2）證明：∵△ABE≌△DBC，∠CDB=∠EAB，∵BM=1∴∠MBE=∠MEB,∠NBD=∠NDB，∵∠MBN=∠MBE+∠NBD，∴∠MBN=∠MEB+∠NDB=∠MEB+∠EAB=90°，∴BM⊥BN．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質、斜中半定理等知識點．熟記相關結論進行幾何推理是解題關鍵．16．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州屏東中學校考開學考試）如圖，點C是AB上一點，AC=BE，AD=BC，∠ADE=∠BED．

(1)尺規(guī)作圖：作∠DCE的平分線CF，交DE于點F；(2)證明：CF⊥DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據角平分線的作圖方法作圖即可．（2）根據平行線的判定與性質得到∠A=∠B再證明△ADC≌△BCE(SAS【詳解】（1）解：如圖，CF即為所求．

（2）證明：∵∠ADE=∠BED，∴AD∥∴∠A=∠B．在△ADC和△BCE中，AC=BE∠A=∠B∴△ADC≌△BCE(SAS∴CD=CE．又∵CF是∠DCE的角平分線，∴CF⊥DE．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．17．（2022秋·河北唐山·八年級統考期中）如圖，BA⊥AF于點A，ED⊥DC于點D，點E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB=DC，BE=CF．

(1)求證：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求證：OP垂直平分EF．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明△BAF≌△CDE，即可；（2）全等三角形的性質和等角對等邊，得到OE=OF，再根據三線合一，即可得證．【詳解】（1）證明：∵BA⊥AF，ED⊥DC∴∠A=∠D=90°∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF∴BF=CE在Rt△ABF和RtBF=CEAB=DC∴Rt∴AF=DE；（2）∵△ABF≌△DCE∴∠AFB=∠DEC∴OE=OF∵OP平分∠EOF∴OP垂直平分EF．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理，證明三角形全等，是解題的關鍵．18．（2023秋·山東聊城·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點，以AD為邊在AD右側作△ADE，使AE=AD，連接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)試說明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度數．【答案】(1)見詳解(2)20°【分析】（1）根據∠BAC=∠DAE=100°，可得∠BAD=∠CAE，再證明△BAD≌△CAESAS（2）根據對等邊對等角以及三角形內角和定理可得∠B=∠ACB=12180°-100°=40°，根據（1）中的△BAD≌△CAESAS【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=100°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠ACB=1∵△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=40°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=80°，∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=80°，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=20°．【點睛】本題主要考查了等邊對等角，三角形內角和定理，全等三角形的判定與性質等知識，證明△BAD≌△CAESAS19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）已知：在△ABC中，AB=AC，點D、點E在邊BC上，AD=AE．(1)如圖1，求證：BD=CE；(2)如圖2，當∠BAC=90°,∠DAE=45°時，過點B作BF∥AC交AD的延長線于點F，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的所有頂角為45°的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)△ADE，△ACD,△DAE,△DBF【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，從而得到∠ADB=∠AEC，可證明△ABD≌（2）根據等腰三角形的性質和判定即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∵∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AD=AE，∴△ABD≌∴BD=CE；（2）解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠DAE=45°，∴△ADE是頂角為45°的等腰三角形；∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°，∵△ABD≌∴∠BAD=∠CAE，∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE=22.5°，∴∠CAD=∠BAE=∠BAD+∠DAE=67.5°，∠AEB=∠C+∠CAE=67.5°,∠BDF=∠ADE=∠ABC+∠BAD=67.5°，∴∠BAE=∠AEB=∠ADC=∠CAD，∠F=∠BDF=67.5°，∴△ACD,△DAE,△DBF是頂角為45°的等腰三角形．【點睛】考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與定理．20．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知△ABC,E是BA延長線上的點．

(1)過點A在射線BE右側作AD∥(2)在（1）的條件下，若AB=AC，求證：AD平分∠CAE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖所示，作∠EAD=∠B，從而利用同位角相等可得兩直線平行；（2）由平行線的性質先證明∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，再證明∠B=∠C，結合等量代換可得結論．【詳解】（1）解：如圖所示，AD為所求作的直線；

（2）∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD平分∠CAE．【點睛】本題考查的是作已知直線的平行線，平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的性質，熟記平行線的性質是解本題的關鍵．21．（2022春·河南焦作·八年級校考期中）已知命題：“等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半．”為了探究該命題是否正確，小明采用分類討論思想，從直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三個角度進行思考，先對前兩種情況畫出了圖形，寫出了已知、求證并給出了證明在探究在鈍角三角形中是否正確時遇到了困難，請你補全圖形，寫出已知、求證，并給出證明．

【答案】見解析【分析】過A作AH⊥BC于H，根據等腰三角形的性質可得∠BAH=12∠BAC，∠ABC=∠C，再由BD⊥AC【詳解】解：已知：如圖，AB=AC,BD⊥AC交CA的延長線于D，求證：∠DBC=1證明：過A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，∴∠BAH=12∠BAC∵BD⊥AC，∴∠BDC=∠AHB=90°，∴∠DBC+∠C=90°,∠ABC+∠BAH=90°，∴∠DBC=∠BAH，∴∠DBC=1【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．22．（2023秋·吉林長春·八年級東北師大附中?？奸_學考試）在△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點F．

(1)如圖①，當AE⊥BC時，求證：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°0<x<60①如圖②，當DE⊥BC時，x的值為___________；②當△DEF是等腰三角形時，直接寫出x的值．【答案】(1)見解析(2)①15°；②存在，22.5或45【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CAF=∠B，由折疊的性質可得∠B=∠E，從而得到∠CAF=∠E，最后根據平行線的判定即可得證；（2）①根據三角形內角和定理分別求出∠C=60°，∠B=30°，根據折疊的性質進行計算即可；②分三種情況：當∠DFE=∠FDE時；當∠DFE=∠E=30°時；當∠EDF=∠E=30°，分別進行計算即可．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE；（2）解：①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，由翻折可知，x=∠BAD=1故答案為：15°；②∵∠BAD=x°，∠FDE=180°-∠E-∠FAD-∠ADF=180°-∠E-∠FAD-∠B-∠BAD=180°-30°-x°-30°-x°=120°-2x°，∠DFE=∠B+∠BAF=30°+2x°，∴當∠DFE=∠FDE時，即120°-2x°=30°+2x°，解得x=22.5，即x的值為22.5，當∠DFE=∠E=30°時，2x°+30°=30°，解得x=0，∵0<x<60，∴不合題意，故舍去；當∠EDF=∠E=30°，120°-2x°=30°，解得x=45，綜上可知，當△DEF是等腰三角形時，x的值為22.5或45．【點睛】本題主要考查的是折疊的性質、三角形內角和定理和外角性質、等腰三角形的性質、平行線的判定，熟練掌握折疊的性質、三角形內角和定理和外角性質、等腰三角形的性質、平行線的判定，是解題的關鍵．23．（2021秋·福建莆田·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，AD⊥BC，且BD=DE，連接AE．

(1)若∠BAE=44°，求∠C的度數．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周長．【答案】(1)34°(2)17cm【分析】（1）由條件可推AD垂直平分BE，得∠BAD=∠EAD；根據EF垂直平分AC，設∠EAC=∠C=x，求出∠EAD建立方程即可求解；（2）根據C△ABC=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC結合AB=AE=CE【詳解】（1）解：∵AD⊥BC，且BD=DE∴AD垂直平分BE∴AB=AE,∠BAD=∠EAD∵EF垂直平分AC∴EA=EC,∠EAC=∠C設∠EAC=∠C=x，則∠AED=2x∵∠BAE=44°，∠BAD=∠EAD∴∠EAD=即2x=68°，解得x=34故∠C=34°（2）解：由（1）可得：AB=AE=CE，BD=DE∵C∴C△ABC=CE+DE+DC+AC=2DC+AC=17【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、等邊對等角等知識點．熟記相關結論是解題關鍵．24．（2022秋·福建福州·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，點D是AB邊上一點，且CD=CB，過點B作BF⊥CD于點E，與AC交于點F，過點C作CG⊥BD，垂足為點G．

(1)求證：∠BCD=2∠ABF；(2)判斷△BCF的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)等腰三角形，見解析【分析】（1）過點C作CG⊥AB于點G，根據直角三角形的兩銳角互余及角平分線的定義即可得解；（2）由∠A=45°，CG⊥AB得出∠ACG=45°，即得∠ACB=45°+∠BCG，根據三角形外角定理得出∠BFC=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠ABF，可得∠BCF=∠BFC，由“等角對等邊”即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，

∵BC=DC，∴△BCD為等腰三角形，∵CG⊥BD，∴∠DCG=∠BCG=∠DCG+∠CDG=90°，∵BF⊥CD于點E，∴∠ABF+∠CDG=90°，∠ABF=∠DCG=1∠BCD=2∠ABF；（2）解：△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A=45°，CG⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠ACB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG，∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠DCG=∠ABF，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∴△BCF是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識是解題的關鍵．25．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，F為DE的中點，如圖②，求證：AF⊥BC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等腰三角形三線合一，得BG=CG，（2）先求證BF=CF，根據等腰三角形三線合一求證結論．【詳解】（1）證明：如圖①，過A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴BG=CG，∴BG-DG=CG-EG，∴BD=CE；（2）∵BD=CE，F為DE的中點，∴BD+DF=CE+EF，∴BF=CF∵AB=AC，∴AF⊥BC．【點睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質；熟練運用三線合一的性質是解題的關鍵．26．（2021春·上海松江·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知D是BC邊的中點，過點D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AC的延長線于點E，聯結EG．(1)說明BG與CF相等的理由；(2)說明∠BGD與∠DGE相等的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求出BD=DC，∠GBD=∠DCF，證出（2）根據線段垂直平分線性質得出EF=EG，求出∠DFE=∠DGE，【詳解】（1）解：∵D為BC中點，∴BD=DC（中點的定義），∵BG∥∴∠GBD=∠DCF（兩直線平行，內錯角相等），在△BDG和△CDF中，∠GBD=∠FCDBD=CD∴△BDG≌△CDFASA∴BG=CF（全等三角形對應邊相等）；（2）解：∵△BDG≌△CDF，∴∠DFE=∠BGD，DG=DF，即D是GF邊的中點，∵DE⊥GF，即DE為線段GF的中垂線，∴EF=EG，∴∠DFE=∠DGE（等邊對等角），∴∠BGD=∠DGE（等量代換）．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質．解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，證明三角形全等．、27．（江蘇省泰州市部分農村學校2023-2024學年八年級上學期10月月考數學試題（第一次月考））如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段

(1)當∠BDA=110°時，∠DEC=°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“(2)當DC為何值時，△ABD≌(3)在點D的運動過程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA【答案】(1)110°，小(2)DC=4，理由見解析(3)110°或80°【分析】（1）由平角的定義求出∠CDA，進而求出∠CDE的度數，最后根據三角形的內角和定理即可求出∠DEC，由三角形內角和定理可判斷∠BDA的變化；（2）當DC=4時，由“ASA”可證△ABD≌（3）根據題意進行分類討論：①當AD=AE時，不符合題意，舍去；②當AD=ED時，③當AE=DE時．【詳解】（1）解：∵∠BDA=110°∴∠CDA=180°-110°=70°，∵∠ADE=40°∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=70°-40°=30°，∵∠C=40°∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-30°-40°=110°；有圖可知，點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變大，∴在△ABD中，∠BDA故答案為：110°，小；（2）解：當DC=4時，△ABD≌理由如下：∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=40°∴∠BAD=∠CDE，∵AB=4，∴AB=DC，∵∠B=∠C，AB=DC∴△ABD≌（3）解：①當AD=AE時，∵∠ADE=40°，∴∠AED=40°，∵∠ACD=40°，∴點E和點C重合，不符合題意；②當AD=ED時，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=∠DEA=1∵∠B=∴∠BAC=180°-2×40°=100°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°，∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；③當AE=DE時，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=40°，∵∠C=40°，∴∠BDA=∠C+∠DAE=40°+40°=80°．綜上：∠BDA=110°或80°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．28．（2023秋·河南信陽·八年級校聯考階段練習）如圖，在△ABC中，AD是∠