專題2.7等邊三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.7等邊三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）一、解答題1．（2022秋·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE．(1)求證：DE∥(2)在線段DE的延長線上取點(diǎn)F，G，使FG=DE，直線AF，CG交于點(diǎn)H．求證：△ADF≌【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，∠BAC=∠B=60°，證出△ADE是等邊三角形，可得∠ADE=∠B，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的判定即可證明△ADF≌【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴AD=DB，AE=EC，∴AD=AE=EC，∵∠BAC=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADE=∠B，∴DE∥（2）證明：∵DE=FG，∴DE+EF=EF+FG，∴DF=EG，∵∠CEG=∠AED，△ADE是等邊三角形，∴∠ADF=∠CEG，在△ADF和△CEG中，AD=CE∠ADF=∠CEG∴△ADF≌【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)D、A、C在同一直線上，延長BA交邊DE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE、BD．(1)試說明△ADB≌△FAE的理由；(2)延長EA交BD于點(diǎn)H，求∠DHE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】（1）證△ADF是等邊三角形，得AD=FA=DF，∠DFA=60°，再證CD=BF，則AB=FE，然后證∠BAD=∠EFA，進(jìn)而證△ADB≌△FAE；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠FEA，再證∠DHE=∠FEA+∠FAE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB=AC，∠DAF=∠BAC=60°，∠CDE=60°，CD=DE，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=FA=DF，∠DFA=60°，∴AC+AD=AB+FA，即CD=BF，∴BF-FA=DE-DF，即AB=FE，∵∠BAD=180°-∠DAF=180°-60°=120°，∠EFA=180°-∠DFA=180°-60°=120°，∴∠BAD=∠EFA，在△ADB和△FAE中，AD=FA∠BAD=∠EFA∴△ADB≌△FAE（（2）解：由（1）得：△ADB≌△FAE，∴∠ABD=∠FEA，∵∠DHE=∠ABD+∠BAH，∠FAE=∠BAH，∴∠DHE=∠FEA+∠FAE，∵∠DFA=∠FEA+∠FAE，∴∠DHE=∠DFA=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東日照·九年級校考階段練習(xí)）△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD、BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B、C、D在同一條直線上時，則∠BCE=______度；（2）將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求證：AD=BE．【答案】（1）120；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)△CDE是等邊三角形及點(diǎn)B、C、D在同一條直線上即可求解；（2）證明ΔBCE≌ΔACD即可求解．【詳解】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴∠DCE=60°，∵點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∴∠BCE+∠DCE=180°，∴∠BCE=180°-∠DCE=120°（2）∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE與△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD∴ΔBCE≌ΔACDSAS∴BE=AD．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．4．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．（1）求證：BD=CE；（2）若AD=BD=DE=CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）90°【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB=AC，AD=AE，∴BF=CF，DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．（2）∵AD=DE=AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=∠ADE=60∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=1∴∠BAE=∠DAB+∠DAE=60答：∠BAE的度數(shù)為：90°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC為任意三角形，以邊AB、AC為邊分別向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD、BE并且相交于點(diǎn)P．求證：（1）CD＝（2）∠BPC=120°．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．【詳解】證明：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD=BE；（2）∵△DAC≌△BAE，∴∠BEA=∠ACD，∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC=∠BEA+∠ACE+∠PEC=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DAC≌△BAE．6．（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．(1)若AB=10，求BE的長；(2)求∠E的度數(shù)．【答案】(1)15；(2)30°．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三邊相等的性質(zhì)及中線性質(zhì)，可得AD=CD=12AC=12AB=5，再由題意（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=60°，結(jié)合CE=CD可得∠CDE=∠E，再根據(jù)“三角形的一個外角等于其不相鄰兩個內(nèi)角的和”可得∠ACB=∠CDE+∠E，即可求解．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∵BD是中線，AB=10∴AD=CD=1∵CE=CD∴CE=5，∴BE=BC+CE=15；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E+∠CDE=2∠E=60°，∴∠E=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)角的和、以及等邊對等角；熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．7．（2021秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，B、C、D在同一直線上，△ABC，△ADE是等邊三角形，求證：CE＝AB+CD．【答案】見解析【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAE，由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CE，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】證明：∵△ABC，△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD=BC+CD∴CE＝AB+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2018秋·四川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，ΔABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AM//BC，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E,DE的反向延長線交AM于點(diǎn)F．（1）求證：AF+BE=AB；（2）求證：AC垂直平分BM．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先證明ΔADF≌ΔCDE得到AF=CE，再根據(jù)等邊三角形即可求解；（2）根據(jù)AM//BC得到∠ABM=∠MBC=∠M，得到△ABM是等腰三角形，根據(jù)三線合一即可求解．【詳解】證明：（1）∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)∴AD=CD∵AM//BC∴∠DAF=∠C在ΔADF和ΔCDE中∠DAF=∠C∴ΔADF≌ΔCDE∴AF=CE∴AF+BE=CE+BE=AB∴AF+BE=AB（2）∵點(diǎn)D是等邊ΔABC中AC∴BD⊥AC且BD平分∠ABC∴AD⊥BM,∠ABD=∵AM//BC∴∠ABM=∠M∴AB=AM∴ΔABM是等腰三角形又∵AD⊥BM∴AD是ΔABM中BM邊的中線又AD⊥BM∴AC垂直平分BM．【點(diǎn)睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)及垂直平分線的判定．9．（2019秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）已知:等邊△ABC,E,F分別是AC,AB上的動點(diǎn)，且EC=AF,BE,CF交于點(diǎn)P．1如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段AC和線段AB上時，求∠CPE的度數(shù);

2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段CA和線段AB的延長線上時，求∠CPE的度數(shù)．

【答案】（1）∠CPE＝60°；（2）60°【分析】1根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，根據(jù)SAS證△AFC≌△CEB，推出∠ACF＝∠CBE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可;2同理證明△AFC≌△CEB，推出∠F＝∠E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵在AFC和△CEB中AC＝∴AFC≌△CEB（SAS），∴∠ACF＝∠CBE，∴∠CPE=∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°;（2）同理在AFC和△CEB中AC＝∴AFC≌△CEB（SAS），∴∠F＝∠E，，∴∠CPE=∠FBP+∠F=∠EBA+∠E=∠BAC=60°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．10．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別為AB、AC上一點(diǎn)，且BE=AD，CE、BD相交于點(diǎn)O，求∠EOB的度數(shù)．【答案】60°【分析】根據(jù)條件證明△ABD≌△BCE，得出∠ABD=∠BCE，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠BOE=∠BCE+∠CBD，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵Δ∴AB=BC，∠BAD=∠CBA=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠BAD=∠ABC∴△ABD≌△BCE(SAS∴∠ABD=∠BCE，∴∠BOE=∠BCE+∠CBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．11．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等邊三角形，BQ和CP交于點(diǎn)H，求證：BQ⊥CP．【答案】見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得出∠CAP=∠CBQ=60°，求出∠BCP=30°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠BHC=90°，則可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵△CAP和△CBQ都是等邊三角形，∴∠ACP=∠CBQ=60°，∵∠ACB=90°，∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=30°，在△BCH中，∠BHC=180°-∠BCH-∠CBH=180°-30°-60°=90°，∴BQ⊥CP．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·全國·七年級課堂例題）如圖，等邊△ABC中，DE∥BA分別交BC，AC于點(diǎn)D、求證：△CDE是等邊三角形．【答案】證明見詳解【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠C=60°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠CED，∠B=∠CDE，從而證明△ADE是等邊三角形．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴

∠A=∠B=∠C=60°，∵

DE∥∴

∠A=∠CED=60°，∠B=∠CDE=60°，∴∠CED=∠CDE=∠A=60°，∴

△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC邊上求作一點(diǎn)N，使得AN＝BN；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，求證：CN＝2BN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出∠C的度數(shù)，再計算出∠CAN的度數(shù)，然后根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得CN＝2AN，進(jìn)而得到CN＝2BN．【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)N即為所求；（2）證明：連接AN．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．∵AN＝BN，∴∠BAN=∠B＝30°∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．∵∠C＝30°，∴CN＝2AN．∴CN＝2BN．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．14．（2021秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°．作邊AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接CD，已知BD=4，求∠BCD的度數(shù)及AD的長．【答案】30°，8【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠ACB＝180°-∠B-∠A＝60°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，則∠DCA＝∠A＝30°，然后計算∠ACB-∠DCA即可求∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝180°-∠B-∠A＝60°．∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∵∠DCA＝∠A＝30°，∴∠BCD＝∠ACB-∠DCA＝60°-30°＝30°．∵∠B＝90°，∴CD=2BD，∴AD＝CD=2BD=8．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，掌握上述知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，若△ABC是等邊三角形，AB=6,BD是∠ABC的平分線，延長BC到點(diǎn)E，使CE=CD，求BE的長度．【答案】9【分析】首先由等邊三角形的定義可得AB=BC=6，然后利用“三線合一”的性質(zhì)求出CD=3，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=6，∵BD是∠ABC的平分線，∴AD=CD=1∵CE=CD，∴CE=3，∴BE=BC+CE=6+3=9．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，理解等邊三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，AC＝BC，AE⊥CD于點(diǎn)A，BD⊥CE于點(diǎn)B．（1）求證：CD＝CE；（2）若點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，求∠C的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【分析】（1）證明△CAE≌△CBD（ASA），可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得出△CDE為等邊三角形，進(jìn)而得出∠C的度數(shù)．【詳解】（1）∵AE⊥CD于點(diǎn)A，BD⊥CE于點(diǎn)B，∴∠CAE＝∠CBD＝90°，在△CAE和△CBD中，∠C＝∠C∴△CAE≌△CBD（ASA）．∴CD＝CE；（2）連接DE，∵由（1）可得CE＝CD，∵點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，AE⊥CD，∴CE＝DE，∴CE＝DE＝CD，∴△CDE為等邊三角形．∴∠C＝60°．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定方法及等邊三角形的判定定理．17．（2018秋·吉林·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，ΔABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE=CD,AD和BE相交于點(diǎn)M,BN⊥AD于N．（1）求證：BE=AD；（2）求∠BMN的度數(shù)；（3）若MN=3cm，ME=1cm，則AD=______cm．【答案】（1）詳見解析；（2）60°；（3）7．【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS可證明ΔABE≌ΔCAD，由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠BMN的度數(shù)；（3）結(jié)合（2）可得∠NBM=30°，由直角三角形30度角的性質(zhì)可得BM長，易知BE，由（1）可知AD長.【詳解】（1）證明：∵ΔABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=CA．在ΔABE和ΔCAD中，AB=CA,∴ΔABE≌ΔCAD．∴BE=AD．（2）如圖∵ΔABE≌ΔCAD，∴∠1=∠2．∴∠BMN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAE=60°．（3）∵BN⊥AD∴∠BNM=90°由（2）得∠BMN=60°，∴∠NBM=30°∴BM=2MN=2×3=6∴BE=BM+ME=6+1=7由（1）得AD=BE=7【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，涉及的知識點(diǎn)有全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：∠BCD=∠CAE．【答案】見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS可證ΔDBC≌ΔECA，由全等的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】證明：∵等邊三角形ABC∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB,∴∠DBC=∠ACE在ΔABC和ΔABD中，BC=AC∴ΔDBC≌ΔECA∴∠BCD=【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19．（2020秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC與△ADE為等邊三角形，D為BC延長線上的一點(diǎn)．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求證：CE平分∠ACD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)由等邊三角形可知AB=AC，AD=AE，(2)在(1)的結(jié)論下，可得∠ACE=60°，而∠ACB=60°，結(jié)論顯然．【詳解】解：(1)∵△ABC為等邊三角形，△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∵∠ACB=∠ACE=60°，∴∠ECD=180°-∠ACE-∠ACB=180°-60°-60°=60°，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴CE平分∠ACD．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對于等量代換進(jìn)而得出判定全等的條件即可.20．（2023秋·廣東東莞·八年級東莞市東華初級中學(xué)校考階段練習(xí)）△ABC和△DEF都是等邊三角形．即∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠DEF=∠EFD=∠FDE=60°，DE=EF=FD．求證：△BDE≌△CEF．

【答案】見解析【分析】根據(jù)AAS證明△BDE≌△CEF即可．【詳解】證明：∵∠C=60°，∠DEF=60°，∴∠CEF+∠CFE=∠CEF+∠BED=120°，∴∠CFE=∠BED，在△BDE和△CEF中∠B=∠C∠BED=∠CFE∴△BDE≌△CEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．21．（2022秋·江西宜春·八年級校考階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，將線段AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)36°，得到線段CD，連接BD．

(1)求∠BDC的度數(shù)；(2)求∠ABD的度數(shù)．【答案】(1)42°(2)18°【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD=36°,AC=CD=BC，由等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)便可求得結(jié)果；（2）由∠ABD=∠ABC-∠CBD便可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,∵將AC邊繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)36°，∴∠ACD=36°,AC=CD=BC,∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=60°+36°=96°,∴∠CBD=∠D=180°-∠BCD（2）解：∵∠ABC=60°∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-42°=18°.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.22．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE=CD．

(1)求∠E的度數(shù)．(2)求證：△DBE是等腰三角形．【答案】(1)30°(2)見解析【分析】（1）由等邊△ABC的性質(zhì)可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根據(jù)等邊對等角可得：∠E=∠CDE，最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；（2）由等邊三角形的三線合一的性質(zhì)可得：∠DBC=12∠ABC=30°，結(jié)合（1）的結(jié)論可得：∠DBC=∠E【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，又∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=1（2）證明：∵等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC=由（1）知∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴DB=DE，即△DBE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等邊三角形的三線合一的性質(zhì)．23．（2022秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，延長△ABC的各邊，使得BE=AC，CF=AD=BC，連接DE，

(1)△CEF≌△AFD；(2)△ABC為等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證明AF=CE，再利用SSS證明△CEF≌△AFD即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠FCE，∠AFD=∠CEF，則可推出∠BAC=∠ACB，由等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)證明∠ACB=∠CEF+∠EFC=60°，即可證明△ABC為等邊三角形．【詳解】（1）證明：∵BE=AC，∴BE+BC=AC+CF，即AF=CE，∵△DEF是等邊三角形，∴EF=FD，在△CEF和△AFD中，CE=AFCF=AD∴△CEF≌△AFDSSS（2）證明：∵△CEF≌△AFD，∴∠DAF=∠FCE，∠AFD=∠CEF，∴180°-∠DAF=180°-∠FCE，即∠BAC=∠ACB，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DFE=60°，∴∠AFD+∠EFC=60°，∴∠CEF+∠EFC=60°，∴∠ACB=∠CEF+∠EFC=60°，∴△ABC為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，證明△CEF≌△AFD是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥BC．(1)如圖1，求證：△CDE是等腰三角形；(2)如圖2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF=DF，若BC=12，求DF的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定進(jìn)行推論即可；（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)，以及在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）證明：∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD=∠ACD，∵DE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∴∠EDC=∠ACD，∴ED=EC，即△CDE是等腰三角形；（2）解：∵DE∥BC，∠ABC=30°，∴∠ADE=∠ABC=30°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=30°，由（1）可知，∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，∵BF=DF，∴∠B=∠BDF=30°，∴∠DFC=30°+30°=60°，在Rt△DFC中，∠FDC=90°，∠FCD=30°∴DF=1又∵DF=BF，BC=12，∴DF=1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·福建廈門·八年級校考期中）已知：AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE．

(1)如圖1，求證：BD=CE；(2)如圖2，當(dāng)∠BAC=60°時，BD、CE交于點(diǎn)P，連接PA，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)∠BAC=∠DAE得∠BAD=∠CAE，利用SAS可證明△BAD≌△CAE，即可得；（2）設(shè)AC與PB交于點(diǎn)I，作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，在PE上截取PH=PA，則∠AFB=∠AGC=90°，由（1）知，△BAD≌△CAE得∠B=∠C，根據(jù)∠PIC=∠AIB得∠CPF=∠BAC=60°，利用AAS可證明△ABF≌△AGC，則AF=AG，可得∠APF=∠APG=60°，則△PAH是等邊三角形，∠AHC=60°，即可得∠AHC=∠APB，利用AAS可證明△ABP≌△ACH，可得【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE；（2）解：如圖所示，設(shè)AC與PB交于點(diǎn)I，作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，在PE上截取PH=PA，

則∠AFB=∠AGC=90°，由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠B=∠C，∵∠PIC=∠AIB，∴∠CPF=∠BAC=60在△ABF和△AGC中，∠AFB=∠AGC∴△ABF≌△AGC(AAS∴AF=AG，∴∠APF=∠APG=1∴△PAH是等邊三角形，∴∠AHC=60°，∴∠AHC=∠APB，在△ABP和△ACH中，∠APB=∠AHC∴△ABP≌△ACH(AAS∴PB=CH=PC+即PB-PC=PA．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)，添加輔助線．26．（2022秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP=2cm/s，VQ=1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)

(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？【答案】(1)當(dāng)t=127s(2)當(dāng)t為65s或2411【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP=BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當(dāng)∠BQP=90°時，BP=2BQ，則6-2t=3t，②當(dāng)∠BPQ=90°時，BQ=2BP，則1.5t=26-2t，分別求出t【詳解】（1）解：由題意可知AP=2t，BQ=1.5t，則當(dāng)△PBQ為等邊三角形時，則有BP=BQ，即6-2t=1.5t，解得t=12即當(dāng)t=127s（2）解：當(dāng)∠BQP=90°時，∵∠B=60°，∴∠BPQ=30°，∴在Rt△PBQ中，BP=2BQ即6-2t=3t，解得t=6當(dāng)∠BPQ=90°時，同理可得BQ=2BP，即1.5t=26-2t解得t=24綜上可知當(dāng)t為65s或2411【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)，利用t表示出BP和BQ，化“動”為“靜”，是解題的關(guān)鍵．27．（2022春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一點(diǎn)，BD=BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，連接CD、BE

(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若∠BAC=30°，求證：△CBD是等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBDHL，即可得出（2）證出∠CBD=60°，又根據(jù)DB=BC，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，且DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和RtBD=BCEB=EB∴Rt△EBC∴CE=DE．∵BC=BD，∴BE垂直平分CD．（2）證明：∵∠AC