與方程一課時

第2章圓與方程INNOVATIVEDESIGN2.1圓的方程第一課時圓的標準方程成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期課標要求1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程.2.會根據(jù)已知條件求圓的標準方程.3.能準確判斷點與圓的位置關(guān)系.素養(yǎng)要求通過探索圓的標準方程并運用方程解決問題，培養(yǎng)數(shù)學抽象及數(shù)學運算素養(yǎng).問題導學預習教材必備知識探究內(nèi)容索引互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導學預習教材必備知識探究1一、圓的定義及標準方程1.思考

(1)圓是怎樣定義的？確定它的要素是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？

提示

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.

確定圓的要素：圓心和半徑，

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.(2)已知圓的圓心為A(a，b)，半徑為r，你能推導出該圓的方程嗎？2.填空

(1)圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓.其中定點就是圓心，定長就是半徑.(2)圓的標準方程

圓特殊情況一般情況圓心(0，0)(a，b)半徑r(r>0)r(r>0)標準方程_______________________________x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2溫馨提醒

(1)確定圓的標準方程的關(guān)鍵是確定圓心和半徑.(2)下列情況比較適用圓的標準方程：①在已知圓心、圓的半徑時，可以直接使用公式；②在已知圓心，圓經(jīng)過一個定點時，可以先利用兩點間的距離公式，求解半徑.B3.做一做經(jīng)過點(2，2)，圓心為C(1，1)的圓的方程是(

)二、點與圓的位置關(guān)系1.思考點M0(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的條件是什么？在圓x2＋y2＝r2外的條件又是什么？

提示

點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑；點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑.位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標的特點點在圓外d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2>>在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2點在圓內(nèi)d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2＝<<溫馨提醒

點與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：根據(jù)點到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：根據(jù)點的坐標與圓的方程的關(guān)系判斷.3.做一做點P(1，3)與以A(2，－1)為圓心，半徑為5的圓的位置關(guān)系為(

)A.在圓上

B.在圓內(nèi)C.在圓外

D.無法確定BHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升2角度1直接法求圓的標準方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為____________________.題型一求圓的標準方程(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x－2)2＋y2＝9角度2待定系數(shù)法求圓的標準方程例2

求經(jīng)過點P(1，1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.解法一(待定系數(shù)法)設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，法二(直接法)由題意知，OP是圓的弦，其垂直平分線方程為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，1.用直接法求圓的標準方程的策略(1)確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，因此用直接法求圓的標準方程時，要首先求出圓心坐標和半徑，然后直接寫出圓的標準方程.(2)確定圓心和半徑時，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點為圓心”等.思維升華2.待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟訓練1

求下列圓的標準方程：(1)圓心是(4，－1)，且過點(5，2)；(2)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；解(1)∵圓心為(4，－1)，且過點(5，2)，∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)求過兩點C(－1，1)和D(1，3)，圓心在x軸上的圓的標準方程.解設圓心為M(a，0)，∵MC＝MD，∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，例3

已知點A(1，2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值

范圍.題型二點與圓的位置關(guān)系的判斷解由題意，得點A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用點到圓心的距離d與半徑r比較大小.(2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程來判斷：點P(x0，y0)在圓C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；點P(x0，y0)在圓C內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；點P(x0，y0)在圓C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.思維升華A題型三圓的標準方程的實際應用例4

如圖所示是一座圓拱橋，當水面距拱頂2m時，水面寬12m，當水面下降1m后，水面寬多少米？(結(jié)果保留兩位小數(shù))解以拱頂為坐標原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸建立直角坐標系如圖，設圓拱所在圓的圓心為C，當水面距拱頂2m時，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，－2).設圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，將A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當水面下降1m后，可設點A′(x0，－3)·(x0>0)，解決圓的標準方程的實際應用題時應注意以下幾個方面思維升華訓練3

一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的蓬頂距地面的高度不得超過多少米？(結(jié)果保留一位小數(shù))解

建立如圖所示的平面直角坐標系.設蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)，半圓所在圓的方程為x2＋(y＋3.6)2＝3.62.因此這輛卡車的蓬頂距地面的高度不得超過3.5米.課堂小結(jié)1.牢記2個知識點(1)圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).(2)點與圓的位置關(guān)系.2.重點掌握2種方法(1)求圓的標準方程的方法.(2)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法.3.注意1個易錯點本節(jié)課的易錯點是求圓的標準方程時易漏解.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成3C2.圓心是C(－3，4)，半徑長為5的圓的方程為(

)A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25D3.已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程是(

) A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0 C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0D解析圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標為(0，3)，又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點斜式，得直線l的方程為y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.4.若直線y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于(

) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)解析

圓的圓心為(－a，－b).∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圓心在第四象限.5.(多選)已知圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是(

)A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M的圓心為(－4，3)C.圓M的半徑為5D.圓M被y軸截得的線段長為6ACD解析由圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，得圓心為(4，－3)，半徑為5，則A，C正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圓M被y軸截得的線段長為6，故D正確.6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，則以AB為直徑的圓的標準方程是

________________.(x－2)2＋y2＝257.與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圓心，且過點P(－1，1)的圓的標準方程是____________________.(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析

圓心為(2，－3)，設所求圓的半徑為r，則r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.8.圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________.9.求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的標準方程.∵點C在直線x－2y－3＝0上，∴可設點C的坐標為(2a＋3，a).法二設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，10.已知圓過點A(1，－2)，B(－1，4).(1)求周長最小的圓的方程；(2)求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程.12712.已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與兩坐標軸都相切，則圓C的標準方程為__________________；與圓C關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的圓的方程為____________.(x＋2)2＋(y－2)2＝4

x2＋y2＝4解析由題意可得圓心為C(－2，2)，半徑為2，所以圓C的標準方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝4.故所求圓