高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（空間向量與立體幾何+直線與圓的方程+橢圓）（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測(cè)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分范圍：選修一第一、二章+橢圓）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】等價(jià)于.若，則方程表示單位圓.若方程表示橢圓，則橢圓方程可化為，則且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.2．直線，若，則實(shí)數(shù)的值不可能是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行列式，求得的值，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】由于，所以，，，解得或或.當(dāng)時(shí)，，即，兩直線平行，符合題意.當(dāng)時(shí)，，即，兩直線平行，符合題意.當(dāng)時(shí)，，即，兩直線平行，符合題意.所以的值不可能是.故選：A3．如圖，在四面體中，．點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接，利用空間向量基本定理可得答案.【詳解】連接．故選：B.4．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，若，，，若，則面積的最小值為（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】由題意知點(diǎn)M在平面內(nèi)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，取AB的中點(diǎn)N，連接，則點(diǎn)M的軌跡為線段，過點(diǎn)B作，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，知點(diǎn)M在平面內(nèi)，以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，即，取AB的中點(diǎn)N，連接，則點(diǎn)M的軌跡為線段，過點(diǎn)B作，則，又平面，故，所以的最小值為.故選：C.5．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，將軍從點(diǎn)出發(fā)，河岸線所在直線方程為，假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求出到圓上的點(diǎn)的最短距離即可.【詳解】若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，圓：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖如下：

設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則即，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.故選：B.6．在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，則的長(zhǎng)度等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出各頂點(diǎn)以及重心的坐標(biāo)，設(shè)，.求出直線的方程，根據(jù)光的反射原理得出點(diǎn)關(guān)于以及軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的方程，代入重心坐標(biāo)，求出的值，得出的方程.進(jìn)而求出的坐標(biāo)，即可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出答案.【詳解】

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，的重心坐標(biāo)為，方程為，設(shè)，.根據(jù)光的反射原理以及已知可知，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，即四點(diǎn)共線.由已知可得點(diǎn)滿足，解得，所以.易知.因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以有直線的斜率為，所以，直線的方程為.由于直線過重心，所以有，整理可得，解得或（舍去），所以直線的方程為，整理可得.所以，點(diǎn)坐標(biāo)為.聯(lián)立與的方程，解得，即，所以，.故選：B.7．正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長(zhǎng)，再化簡(jiǎn)可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)最長(zhǎng)，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)，的最大值為，所以的最大值為.

故選：C8．已知M為橢圓：上一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，設(shè)，，若，則離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，結(jié)合三角恒等變換以及正余弦定理將化為，繼而推出的關(guān)系，求得答案.【詳解】設(shè)，，則，

由得，即，在中，由正弦定理得，故，又，故，即，即，即或，結(jié)合橢圓定義可知且，故，即，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是橢圓的離心率的求解問題，即求之間的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是對(duì)于已知等式的化簡(jiǎn)，即利用三角恒等變換結(jié)合正余弦定理將轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系式，進(jìn)而化簡(jiǎn)可得的關(guān)系，即可求解答案.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積可能是（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出線段長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離范圍，再利用三角形面積公式求解即得.【詳解】依題意，點(diǎn)，則，圓的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線的距離，的面積，顯然BC滿足，AD不滿足.故選：BC10．已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則B．若，則圓的公共弦所在的直線方程是C．若圓外切，則D．過點(diǎn)作圓的切線，則的方程是或【答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式即可判斷A錯(cuò)誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則圓，將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是，故B正確；對(duì)于C，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，若圓外切，則，即，解得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程是，圓心到的距離，滿足要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，圓心到的距離，解得，所以的方程是，故D正確.故選：BCD.11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，P為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使B．存在點(diǎn)P，使C．四面體的體積為定值D．二面角的余弦值的取值范圍是【答案】AB【分析】利用向量法，根據(jù)線面垂直，兩點(diǎn)間的距離，幾何體的體積，二面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故A正確.由知，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故B正確.為定值，故C錯(cuò)誤.又，，設(shè)平面的法向量，由，令則，，，又平面的法向量，，又，，故D錯(cuò)誤.故選：AB12．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，設(shè)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．橢圓C的離心率為C．直線l的方程為 D．的周長(zhǎng)為【答案】AC【分析】先由題意求出即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點(diǎn)差法可以求出直線l的斜率，由直線的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可判斷C；由焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)公式即可判斷D.【詳解】如圖所示：

根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以，則，故選項(xiàng)A正確；橢圓C的離心率為，故選項(xiàng)B不正確；不妨設(shè)，則，，兩式相減得，變形得，又注意到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€l過，所以的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在三棱錐中，底面，則點(diǎn)到平面的距離是.【答案】/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由點(diǎn)到平面的距離為求解.【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：14．若非零實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則．【答案】或【分析】化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，利用直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由，可得，可以看成點(diǎn)到直線的距離，可以看成點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)，在直線同側(cè)時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)點(diǎn)，在直線異側(cè)時(shí)，，關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率為，所以或，所以或.故答案為：或.15．過橢圓的右焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為.【答案】/【分析】利用點(diǎn)差法可求基本量的關(guān)系，再結(jié)合通徑的長(zhǎng)可求基本量，故可求焦半徑的最大值.我們也可以聯(lián)立直線方程和橢圓方程，從而可用基本量表示中點(diǎn)，從而得到基本量的一個(gè)關(guān)系式，同樣結(jié)合通徑長(zhǎng)可取基本量，故可求焦半徑的最大值.【詳解】法一：將代入橢圓的方程得，所以①，設(shè)，，則，兩式相減得，又，，所以②，解①②得，所以，所以上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.法二：將代入橢圓的方程得，所以①，直線的方程是，即，代入橢圓的方程并消去整理得，則，設(shè)，，則，即②，解①②得，滿足，所以，所以上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.故答案為：.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，圓，在直線上存在異于的定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有為常數(shù)），則的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)距離公式得到對(duì)圓上任意點(diǎn)恒成立，從而得到對(duì)任意恒成立，從而得到，即可求出與，從而得解.【詳解】設(shè)，，則，.若在直線上存在異于的定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有為常數(shù)，等價(jià)于對(duì)圓上任意點(diǎn)恒成立，即，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，由于在圓上，所以，故恒成立，其中點(diǎn)在圓上，令，則，所以直線與圓有交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，即，解得，即，所以，顯然，所以，故，因?yàn)?，解得?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，舍去.當(dāng)時(shí)，，綜上，存在滿足條件的定點(diǎn)，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件，結(jié)合與化簡(jiǎn)得恒成立，從而得到關(guān)于的方程組，由此得解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：.(2)已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)即可證明.（2）設(shè)，根據(jù)平面PCB得到，，即可得到答案.【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

設(shè)，則，，，，，，所以，，所以，所以.（2）因?yàn)槠矫鍼AD，設(shè)，所以.由（1），知，.因?yàn)槠矫鍼CB，所以，，所以，，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).18．（12分）已知直線．(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸下方，求的取值范圍；(3)若直線與軸、軸形成的三角形面積為1，求直線的方程．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或【分析】（1）由直線方程觀察得定點(diǎn)坐標(biāo)即證；（2）由時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不小于0可得；（3）求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算三角形面積從而得直線的斜率，即得直線方程．【詳解】（1）由，得．由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過定點(diǎn)；（2）若當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸下方，則解得，所以k的取值范圍是；（3）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，得|，當(dāng)時(shí)，得，所以，即，解得或，所以直線的方程為或．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為2v，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn)．

(1)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一點(diǎn)，若電子狗在線段FP上都能逃脫，問：P點(diǎn)應(yīng)在何處？【答案】(1)(2)的橫坐標(biāo)范圍為即可逃脫.【分析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.（2）利用三角函數(shù)得到極端情況時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】（1）分別以AD，AB為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)成功點(diǎn)，可得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)M需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以，故所求軌跡方程為．

（2）當(dāng)線段FP與（1）中圓相切時(shí)，則，所以，所以，若電子狗在線段FP上都能逃脫，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是．20．（12分）．如圖，且且且平面．(1)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）取GD中點(diǎn)為Q，連接NQ，MQ，通過證明平面平面，可得平面；（2）如圖，建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面夾角的法向量，即可得答案；（3）由（2），設(shè)，直線與平面所成的角為可得點(diǎn)P坐標(biāo)，可得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取GD中點(diǎn)為Q，連接NQ，MQ.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，Q為GD中點(diǎn)，由三角形及梯形中位線定理，可得.又注意到，平面EDC，平面EDC，平面MNQ，，則平面平面.又平面MQN，則平面.（2）因平面ABCD，平面ABCD，則，又，則如圖建立以D為原點(diǎn)的空間坐標(biāo)系.則..設(shè)平面和平面的法向量分別為.則，??；，取.設(shè)平面和平面夾角為，則.則平面和平面夾角的正弦值為.（3）由（2），設(shè)，其中，則又由題可得，平面的一個(gè)法向量可取.結(jié)合直線與平面所成的角為，則.則，.設(shè)平面法向量為，則.取，則點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B是圓O：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是弦AB的中點(diǎn)，且；(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線τ，若C，D是曲線τ與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線τ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系得到，得到軌跡方程.（2）設(shè)，分別計(jì)算，的直線方程，聯(lián)