八年級下 矩形、菱形與正方形19.2 菱形1. 菱形的性質(zhì)（全國一等獎）

菱形的性質(zhì)數(shù)學(xué)華師大版八年級下新知導(dǎo)入請觀察下列這些圖形有什么共同特征？都有一種特殊的平行四邊形——菱形新知講解在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，請仔細(xì)觀察和思考：在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？平行四邊形鄰邊相等菱形如果改變了邊的長度，使兩鄰邊相等，那么這個平行四邊形成為怎樣的四邊形？新知講解菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．新知講解將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個什么樣的圖形？菱形新知講解畫出菱形的兩條折痕，并通過折疊手中的圖形回答以下問題：2、菱形是軸對稱圖形嗎？菱形有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么關(guān)系？1、菱形是中心對稱圖形嗎？若是，對稱中心是什么？菱形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點．菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條是對角線所在的直線，兩條對稱軸互相垂直．菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，對稱軸是對角線所在的直線．新知講解具備平行四邊形所有的性質(zhì)對稱性：邊：角：對角線：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)．你能說出菱形有哪些特殊性質(zhì)嗎?新知講解畫出菱形的兩條對稱軸，從邊、角、對角線三個方面猜想菱形具有哪些特殊的性質(zhì)？如何證明？猜想：1、菱形的四條邊都相等．2、菱形的對角線互相垂直，且每條對角線對平分一組對角．如何驗證以上的猜想？新知講解命題：菱形的四條邊都相等．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形．求證：AB=BC=CD=AD．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AD=BC，

∴AB=BC=CD=AD．定理：菱形的四條邊都相等．新知講解命題：菱形的對角線互相垂直，且每條對角線對平分一組對角．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形．求證：AC⊥BD

；AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=AB，OB＝OD，在等腰△DAC中，∵AO=CO，∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三線合一）．同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．定理：菱形的對角線互相垂直，且每條對角線對平分一組對角．新知講解對稱性邊角對角線平行四邊形的一般性性質(zhì)矩形的特殊性質(zhì)菱形的特殊性質(zhì)對邊平行且相等鄰邊垂直四個角都是直角中心對稱圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形對角相等鄰角互補對角線互相平分對角線相等既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形四條邊相等對角線互相垂直平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)對比新知講解菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積嗎?思考：計算菱形的面積除了上式方法外，利用對角線能計算菱形的面積公式嗎?E【菱形的面積公式】

S菱形

=底×高=對角線乘積的一半．新知講解例1如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，試求出∠B的大小，并說明△ABC是等邊三角形．解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，∴∠B=60°．在菱形ABCD中，∵AB=BC（菱形的四條邊都相等），∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形．新知講解例2如圖，已知菱形ABCD的邊長為2cm，∠BAD=120°，對角線AC、BD相交于點O．試求這個菱形的兩條對角線AC與BD的長．（結(jié)果保留根號）解：∵四邊形是ABCD菱形，∴OB=OD，AB=AD（菱形的四條邊都相等），在△ABO和△ADO中，∵OB=OD，AO=AO，OB=OD，∴△ABO≌△ADO．∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°

．在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°

，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=2．在菱形ABCD中，∵AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴△AOB為直角三角形，∴BO=，∴BD=2BO=（cm）．新知講解例3如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AE垂直且平分CD，垂足為點E．求∠BCD的大?。猓骸咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA（菱形的四條邊都相等）．又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC與△ABC都為等邊三角形．∴∠ACD=∠ACB=60°，∠BCD=120°．課堂練習(xí)1、菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角相等B．對角線互相垂直C．對角線互相平分D．對角線相等2、下列說法錯誤的是（）A．菱形的四邊都相等B．菱形的對角線互相垂直C．菱形的對角線互相平分且平分一組對角D．菱形的對角線相等且互相平分BD課堂練習(xí)3、如圖在菱形ABCD中，對角線AC，BD交與點O，下列說法錯誤的是（）A．AB∥CD

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．OA=OC4、如圖在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（）A．3

B．2

C．9.6

D．4.8BD課堂練習(xí)5、如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．

解：在菱形ABCD中，∵AC=6m，BD=8cm，∴OC=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，∵AC⊥BD，∴BC=5cm，∴CD=BC=5cm，S菱形ABCD=CD?AE=AC?BD，即5AE=×6×8，解得AE=4.8cm．課堂練習(xí)6、如圖，在菱形ABCD中，過B作BE⊥AD于E，過B作BF⊥CD于F．求證：AE=CF．證明：∵菱形ABCD，∴BA=BC，∠A=∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE與△CBF中∠BEA＝∠BFC＝90°，∠A＝∠C，BA＝BC，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE=CF．拓展提高7、如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過C作CE⊥AC，交AB的延長線于點E．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠E=50°，求∠DAB的度數(shù)．拓展提高（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，又∵CE⊥AC，∴BD∥EC，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴DB∥CE，∴∠CEA=∠DBA=50°，∴∠ADB=50°，∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．中考鏈接1、【2018?大連】如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AB=5，AC=6，則BD的長是（）A．8B．7C．4D．32、【2018?淮安】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是（）A．20B．24C．40D．48AA課堂總結(jié)2．思想方法：S菱形=底×高=兩對角線積的一半．從知識和思想方法上談?wù)勀愕氖斋@？（2）探究問題的思維方法：觀察—猜想—實驗—驗證．1．知識上：特性＂特＂在“邊、對角線、對稱性”．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形．1個定義；2個公式；3個特