2023學年北京市東城區(qū)初三(第1次)模擬考試數(shù)學試卷含答案解析

2022-2023學年北京市東城區(qū)初三（第1次）模擬考試數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列四個幾何體中，主視圖為三角形的是(

)A. B. C. D.2.年月日，國家統(tǒng)計局發(fā)布的中華人民共和國年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報中報道：年全年研究與試驗發(fā)展經費支出億元，比上年增長，將數(shù)字用科學記數(shù)法表示應為(

)A. B. C. D.3.下面四個圖案均由北京年冬奧會比賽項目圖標組成，其中可看作軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.若實數(shù)，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則的值可能是(

)A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為(

)A. B. C. D.6.下圖是甲、乙兩名同學五次數(shù)學測試成績的折線圖比較甲、乙兩名同學的成績，下列說法正確的是(

)A.甲同學平均分高，成績波動較小 B.甲同學平均分高，成績波動較大

C.乙同學平均分高，成績波動較小 D.乙同學平均分高，成績波動較大7.如圖，，按下列步驟作圖：在

邊上取一點，以點為圓心、

長為半徑畫弧，交

于點，連接

；以點為圓心、

長為半徑畫弧，交

于點，連接

，則的度數(shù)為(

)A. B. C. D.8.如圖，動點在線段

上不與點，重合，分別以，，為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為，線段

的長為當點從點移動到點時，隨的變化而變化，則表示與之間關系的圖象大致是(

)A. B. C. D.填空題（本大題共8小題，共16.0分）9.若分式的值為，則實數(shù)的值為

．10.分解因式：

．11.如圖，已知，用直尺測量中

邊上的高約為

結果保留一位小數(shù)．12.已知點，在一次函數(shù)的圖象上，則

填“”“”或“”．13.在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長都是，點，，是網格線交點，則的外角的度數(shù)等于

14.拋擲一枚質地均勻的硬幣次，次拋擲的結果都是正面朝上的概率是

．15.如圖，樹在路燈的照射下形成投影，已知路燈高，樹影，樹與路燈的水平距離，則樹的高度長是

米．16.一枚質地均勻的骰子放在棋盤上，骰子的六個面上分別刻有到的點數(shù)，相對兩個面上的點數(shù)之和為骰子擺放的初始位置如圖所示，骰子由初始位置翻滾一次，點數(shù)為的面落在號格內；再從號格翻滾一次，點數(shù)為的面落在號格內；繼續(xù)這樣翻滾當骰子翻滾到

號格時，朝上一面的點數(shù)為

；依次翻滾

次到

號格，每次翻滾后骰子朝上一面的點數(shù)之和為

．計算題（本大題共2小題，共10.0分）17.計算．18.解不等式組解答題（本大題共10小題，共58.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.本小題分已知，求代數(shù)式的值．20.本小題分下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點，分別是的邊，的中點．求證：，且．方法一證明：如圖，過點作，交

的延長線于點．方法二證明：如圖，延長

到點，使得，連接，，．21.本小題分在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象經過點．求這個反比例函數(shù)的解析式；當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．22.本小題分如圖，在平行四邊形中，平分．求證：四邊形

是菱形；連接

交

于點，延長

到點，在的內部作射線

，使得，過點作于點若

，，求的度數(shù)及

的長．23.本小題分某校開展了“學習二十大”的知識競賽百分制，七、八年級學生參加了本次活動．為了解兩個年級的答題情況，該校從每個年級各隨機抽取了名學生的成績，并對數(shù)據(jù)成績進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．七年級成績的頻數(shù)分布直方圖如下數(shù)據(jù)分成五組：，，，，；七年級成績在的數(shù)據(jù)如下單位：分：

七、八年級各抽取的名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級八年級根據(jù)以上信息，回答下列問題：表中______，______；下列推斷合理的是______；樣本中兩個年級數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校八年級學生成績的波動程度較??；若八年級小明同學的成績是分，可以推斷他的成績超過了該校八年級一半以上學生的成績．競賽成績分及以上記為優(yōu)秀，該校七年級有名學生，估計七年級成績優(yōu)秀的學生人數(shù)．24.本小題分如圖，是的直徑，點，在上，點為的中點，的切線

交

的延長線于點，連接，，．求證：；若的半徑長為，，求

和

的長．25.本小題分已知乒乓球桌的長度為，某人從球桌邊緣正上方高處將乒乓球向正前方拋向對面桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度

單位：

與水平距離

單位：

近似滿足函數(shù)關系．乒乓球的水平距離

與豎直高度

的幾組數(shù)據(jù)如下表所示根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關系式；水平距離

豎直高度

乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關系，判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．26.本小題分已知拋物線．求該拋物線的頂點坐標用含的式子表示；當時，拋物線上有兩點，，若時，直接寫出的取值范圍；若，，都在拋物線上，是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．27.本小題分如圖，在中，，，點在

邊上，以點為中心，將線段

順時針旋轉得到線段

，連接

．求證：

平分；連接

交

于點，過點作，交

的延長線于點補全圖形，用等式表示線段

與

之間的數(shù)量關系，并證明．28.本小題分在平面直角坐標系中，已知點，將點向左或向右平移個單位長度，再向下或向上平移個單位長度，得到點，再將點關于直線對稱得到點，稱點為點的倍“對應點”特別地，當與重合時，點為點關于點的中心對稱點．已知點，．若點的坐標為，畫出點，并直接寫出點的倍“對應點”的坐標；若，直線上存在點的倍“對應點”，直接寫出的取值范圍；半徑為的上有不重合的兩點，，若半徑為的上存在點的倍“對應點”，直接寫出的取值范圍．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進行求解即可．【詳解】解：、球的主視圖為圓，不符合題意；B、圓柱的主視圖為長方形，不符合題意；C、圓錐的主視圖為三角形，符合題意；D、正方體的主視圖為正方形，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，熟知主視圖是從正面看到的圖形是解題的關鍵．

2.【答案】

【解析】【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為

，其中

，

為整數(shù)．【詳解】解：

．故選：．【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為

的形式，其中

，

為整數(shù)．確定

的值時，要看把原來的數(shù)，變成

時，小數(shù)點移動了多少位，

的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值

時，

是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值

時，

是負數(shù)，確定

與

的值是解題的關鍵．

3.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．【詳解】解：、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．

4.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到

，再根據(jù)不等式的性質得到

，由此即可得到答案．【詳解】解：由題意得，

，

，

的值可能是

，故選B．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，不等式的性質，正確推出

是解題的關鍵．

5.【答案】

【解析】【分析】由

，配方可得

，進而可得

的值，然后代入

，計算求解即可．【詳解】解：

，

，

，

，

，

，故選：．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，代數(shù)式求值．解題的關鍵在于正確的配方求出

的值．

6.【答案】

【解析】【分析】分別計算甲、乙的平均分以及方差，然后比較即可．【詳解】解：

，

，

，

，

，乙的平均分較高，成績波動較大；甲的平均分較低，成績波動較小．故選：．

7.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)作圖步驟得到

，

，再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和計算出

，

，然后利用三角形外角性質可計算出

的度數(shù)．【詳解】解：由作法得

，

，

，

，

，

，

，

．故選：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質和尺規(guī)作圖的基本原理．也考查了三角形內角和定理以及三角形的外角性質．

8.【答案】

【解析】【分析】假設

，則

，然后根據(jù)

求出關于的函數(shù)關系式即可得到答案．【詳解】解：假設

，則

，

，故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在幾何圖形中的應用，正確求出關于的函數(shù)關系式是解題的關鍵．

9.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)分式值為的條件進行求解即可．【詳解】解：分式

的值為，

，

，故答案為：

．【點睛】本題主要考查了分式值為的條件，熟知分式值為的條件是分母不為，分子為是解題的關鍵．

10.【答案】

【解析】【分析】

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用．掌握因式分解的常見方法是解題的關鍵．

原式提取，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】

解：原式

．

故答案為：．

11.【答案】

【解析】【分析】直接用刻度尺進行測量即可得到答案．【詳解】解：經過測量可知

中

邊上的高約為

，故答案為：

．

12.【答案】

【解析】【分析】先由函數(shù)的解析式求得一次函數(shù)的增減性，然后得到與的大小關系．【詳解】解：

中

的系數(shù)

，一次函數(shù)的隨的增大而增大，

，

，故答案為：

．

13.【答案】

【解析】【分析】通過證明

可得

為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖：在

和

中，

，

，

，

，

，

，

．故答案為：．

14.【答案】

【解析】【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【詳解】共有正反，正正，反正，反反種可能，則次拋擲的結果都是正面朝上的概率為

．故答案為

．

15.【答案】

【解析】【分析】由題意知

，得出

，根據(jù)

求出

的值．【詳解】解：由題意知

在

和

中

解得

故答案為：

．

16.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的對面為

，的對面是

，的對面是

，然后根據(jù)圖示，分別求得落在格子內時的點數(shù)與朝上的點數(shù)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，

的對面為

，的對面是

，的對面是

，骰子由初始位置翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內；則朝上一面的點數(shù)為

，再從

號格翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內；則朝上一面的點數(shù)為

；故答案為

．再從

號格翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內，則朝上一面的點數(shù)為

；再從

號格翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內，則朝上一面的點數(shù)為

；再從

號格翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內，則朝上一面的點數(shù)為

；再從

號格翻滾一次，點數(shù)為

的面落在

號格內，則朝上一面的點數(shù)為

．每次翻滾后骰子朝上一面的點數(shù)之和為

．故答案為：

．

17.【答案】解：

．

【解析】先根據(jù)算術平方根、特殊角的三角函數(shù)值、零次冪、絕對值的意義逐項化簡，再合并同類項或同類二次根式即可．

18.【答案】

，由得：

由得：

，所以不等式組的解集為

．

【解析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．

19.【答案】解：

，

，原式

．

【解析】先直接利用乘法公式化簡，再結合整式的混合運算法則計算，把已知整體代入得出答案．

20.【答案】方法一，證明：點，分別是

的邊

的中點，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，四邊形

是平行四邊形，

，

，

，

．方法二，證明：點，分別是

的邊

的中點，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，四邊形

是平行四邊形，

，

，

，

，

．

【解析】【分析】方法一，證明

，則

，

，

，

，證明四邊形

是平行四邊形，則

，

，進而結論得證；方法二，證明

，則

，

，

，證明四邊形

是平行四邊形，則

，

，進而結論得證．

21.【答案】解：反比例函數(shù)

的圖象經過點

，

，這個反比例函數(shù)的解析式為

．解：當

時，

，

，當

時，對于的每一個值，函數(shù)

的值大于反比例函數(shù)

的值，

．

【解析】【分析】利用待定系數(shù)法即可求解；求得直線經過點

時的解析式，求得此時直線與軸的交點，利用數(shù)形結合思想即可求解．

22.【答案】證明：四邊形

是平行四邊形，

，

．

平分

，

，

，

，平行四邊形

是菱形．解：四邊形

是菱形，

，

，

．

，

．四邊形

是菱形，

，

，又

，

，

．

【解析】【分析】由平行四邊形的性質和角平分線的定義證明

，得到

，即可證明平行四邊形

是菱形；由菱形的性質可得

，進而得到

，

；進一步求出

，則由角平分線的性質得到

，則

．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，角平分線的性質和定義，平行四邊形的性質，證明四邊形

是菱形是解題的關鍵．

23.【答案】；．．解：由題意知

名，估計七年級成績優(yōu)秀的學生人數(shù)為．

【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義進行求解即可；根據(jù)方差、中位數(shù)進行判斷即可；根據(jù)

，計算求解即可．

【解】解：由題意知，七年級成績的中位數(shù)為第、位數(shù)的平均數(shù)，

，

，中位數(shù)

為

，由題意知，出現(xiàn)次，次數(shù)最多，眾數(shù)

為，故答案為：，；解：由題意知樣本中兩個年級數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校八年級學生成績的波動程度較小；推斷合理，故符合要求；若八年級小明同學的成績是分，因為

，所以可以推斷他的成績超過了該校八年級一半以上學生的成績，推斷合理，故符合要求，故答案為：．見答案。

24.【答案】證明：如圖，連接交于點．

點為

的中點，

，

是

的切線，

，

，

．解：由得

，

，

的半徑長為，

，

，

，

，在

中，由勾股定理得

，點為

的中點，

．

，

，

，即

，

．

【解析】【分析】由垂徑定理和切線的性質得到

，即可證明

；由的結論，得到

，求得

，

，在

中，由勾股定理求得

的長，證明

，利用相似三角形的性質即可求解．

25.【答案】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可知

與

關于對稱軸

對稱，則當

時，

，即乒乓球豎直高度的最大值為

．

，將點

代入得，

，解得：

，

．解：乒乓球再次落下時仍落在球桌上，理由如下，由

，令

，即

，解得：

或

舍去依題意，

，將點

代入得，

解得：

或

舍去解析式為

當

時，

，解得：

舍去

，乒乓球再次落下時仍落在球桌上．

【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知

與

關于對稱軸

對稱，則

，利用待定系數(shù)法求解析式即可求解；根據(jù)的結論，令

，求得

，代入

，求得

，進而令

，求得

，與乒乓球桌的長度比較即可求解．

26.【答案】解：

，該拋物線的頂點坐標為

．解：

時，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線

，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，要使

，則

，此時的取值范圍是；綜上分析可知，的取值范圍是

．解：如圖，當

，

關于拋物線的對稱軸對稱時，

，解得：

，此時點

，

，

，根據(jù)圖形可知，當

時，

時，

恒成立．

【解析】【分析】先將拋物線的一般式化為頂點式，得出頂點坐標即可；根據(jù)

時，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線

，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，據(jù)此求解即可；由

可得拋物線開口向下時，才可能存在符合條件的值存在，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線

，結合圖象回答即可．

27.【答案】證明：由旋轉的性質可得

，

，

，即

，又

，

，

，

，

，

平分

．解：補全圖形如下所示，

，理由如下：如圖所示，在

上取一點，使得

，連接

，

，

，由知

，

．

，

．

，

，

，

，

，

．

【解析】【分析】由旋轉的性質得到

，先證明

，再利用

證明

，根據(jù)等邊對等角證明

，即可證明

，則

平分

；根據(jù)題意補全圖形即可；如圖所示，在

上取一點，使得

，連接

，由平行線的性質得到

，證明

，得到

，

，再證明

，得到

，即可證明

．

28.【答案】解：

，點

向下平移個單位長度得到點

，

，設直線

的解析式為

，

，

，直線

的解析式為

，在

中，當

時，

，即

，

，