電工電子技術(shù)3

第三章電路的暫態(tài)分析第一節(jié)暫態(tài)分析的根本概念與換路定律第二節(jié)RC電路的暫態(tài)過程第三節(jié)一階電路暫態(tài)分析的三要素法第四節(jié)RL電路的暫態(tài)過程前往第一節(jié)暫態(tài)分析的根本概念與

換路定律暫態(tài)過程產(chǎn)生暫態(tài)過程的緣由換路定律一、暫態(tài)過程前往穩(wěn)態(tài)：電路中的電流，電壓穩(wěn)定不變或者是時間上的周期函數(shù)，稱為電路處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)一個穩(wěn)態(tài)電路的構(gòu)造或元件參數(shù)發(fā)生改動時，電路原穩(wěn)態(tài)被破壞而轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)態(tài)所閱歷的過程，稱為電路中的過渡過程。由于過渡過程閱歷的時間很短，所以又稱為暫態(tài)過程或暫態(tài)。假設(shè)開關(guān)在t=0時接通，電路中的電流逐漸添加，最終到達I=U/R,這是一種穩(wěn)態(tài)。+－t=0SRLULUSURS翻開時，電路中的電流等于零，這是一種穩(wěn)態(tài)。在圖示的RL電路中前往二、產(chǎn)生暫態(tài)過程的緣由內(nèi)因：電路中存在儲能元件〔C、L〕電容與電感上存儲的能量不能躍變，所以，在含有C、L的電路中，從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)，要有一個過渡過程。前往外因：換路換路是指電路的構(gòu)造或參數(shù)發(fā)生變化。如開關(guān)的通斷、短路、信號忽然接入、電源電路參數(shù)的改動等。換路時電路的形狀會發(fā)生改動。三、換路定律通常我們把換路瞬間作為計時起點。即在t＝0時換路。把換路前的終結(jié)時辰記為t＝0-，把換路后的初始時辰記為t＝0+。在電感元件中，儲存的磁場能量為WL=1/2LiL2,電感中的能量不能躍變，表現(xiàn)為電感中的電流iL不能躍變。在電容元件中，儲存的電場能量為WC=1/2CUC2,電容中的能量不能躍變，表現(xiàn)為電容兩端的電壓不能躍變。前往iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uC(0－)電感中的電流和電容兩端的電壓不能躍變稱為換路定律，表示為：換路定律適用于換路瞬間，用它來確定暫態(tài)過程的初始值。前往假設(shè)iL(0+)=iL(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，換路瞬間，電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于斷路。假設(shè)iL(0+)=iL(0－)≠0，uC(0+)=uC(0－)≠0，換路瞬間，電容相當(dāng)于恒壓源，電感相當(dāng)于恒流源。電路中其它電壓電流在換路瞬間，用換路定律、KVL、KCL定律結(jié)合求解。元件特征CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－)=U0uC(0+)=U0+-開路短路iL(0+)=I0 iL(0－)=I0iL(0-)=0iL(0+)=0前往例、在圖示電路中，知：R=1KΩUS=10V，L=1H,求開封鎖合后的初始值。+－SiuLRUS前往解：∵S閉合前，電路已處于穩(wěn)態(tài)。iL(0－)=0在S閉合的瞬間，根據(jù)換路定律有：iL(0+)＝iL(0－)=0uR(0+)=i(0+)·R=0uR(0+)+uL(0+)=US∴uL(0+)=10VR1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0時，S斷開后電壓電流的初始值.例、知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1前往請慎重作出選擇：換路瞬間C相當(dāng)于短路換路瞬間C相當(dāng)于恒壓源換路瞬間i1＝i2換路瞬間i1＝iC他的選擇是錯誤的?。?！哼哼，地府又多了一個小鬼…通往天堂的班車已到站，請抓緊時間上車。R1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0時，S斷開后電壓電流的初始值.例、知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1前往解：∵t＝0－，電路穩(wěn)態(tài)。C相當(dāng)于開路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－)·R2=6V在S斷開的瞬間，根據(jù)換路定律有：uC(0－)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1(0+)=iC(0+)=[US－uC(0+)]/R1=2mAUC+－前往R1USSCiLiCuC+－R2解：∵t=0－，電路穩(wěn)態(tài)C開路，L短路,iL(0－)=US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－)·R2例、t=0時S斷開，求uC(0+)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。LuL在S閉合的瞬間，根據(jù)換路定律有：uC(0－)=uC(0+),iL(0－)=iL(0+)所以有等效電路：前往+－R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+)=－iL(0+)=－US/(R1+R2)uR2(0+)=iL(0+)·R2＝uC(0+)uL(0+)=uC(0+)－uR2(0+)=0第二節(jié)RC電路的暫態(tài)過程零輸入呼應(yīng)零形狀呼應(yīng)電路的全呼應(yīng)前往前往一、零輸入呼應(yīng)假設(shè)在換路瞬間儲能元件原來就有能量儲存，那么即使電路中并無外施電源存在，換路后電路中仍將有電壓電流。這是由于儲能元件要釋放能量。因此，將電路中無輸入信號作用時，由電路內(nèi)部在初始時辰的儲能所產(chǎn)生的呼應(yīng)稱為零輸入呼應(yīng)。1、換路后電路的微分方程前往S在1位置uC(0)=US(初始條件)S在2位置uR(t)+uC(t)=0∵uR(t)=i(t)Ri(t)=－Cduc(t)/dt∴得到一階常系數(shù)線性齊次微分方程+－SiuCRUS12uR2.解微分方程RCduC(t)／dt+uC(t)=0∴特征方程:RCP+1=0P=－1/RCuC(t)=Ae－t/RC∵uC(0)=US∴有A=Us∴通解為uC(t)=USe－t/RC令它的通解方式為:uC=Aept前往代入方程得:(RCP+1)Aept=0顯然uC、i、uR都是按同樣的指數(shù)規(guī)律變化的，且都是按指數(shù)規(guī)律衰減，最后趨于零。前往i(t)=Cduc(t)/dt=C·d(USe－t/RC)／dt=－(US/R)e－t/RCuR(t)=i(t)·R=－USe－t/RC令τ=RC，稱為R、C串聯(lián)電路的時間常數(shù)，單位S。變化曲線為:u.iUsuC(t)Us/Ri(t)－UsuR(t)t前往uC(t)=USe－t/RC2.時間常數(shù)從上面的變化規(guī)律可知,過渡過程的快慢與RC有關(guān),τ=RC

前往τ值越小,暫態(tài)過程進展得越快.τ值越大,暫態(tài)過程進展得越慢.當(dāng)t＝τ時uC(τ)=USe－τ/τ=USe－1=0.368US也就是說，零輸入呼應(yīng)的初始值經(jīng)過一個τ，衰減為原來的36.8％。普通在t＝(3～5)τ時uC(t)的值已很小,可以為暫態(tài)終了。UsuC0.368Usτ1tτ1＜τ2＜τ3τ2τ3前往二.零形狀呼應(yīng)前往與零輸入相反，假設(shè)在換路前儲能元件沒有能量儲存，這種形狀稱為零形狀。因此，將電路中輸入信號作用時，所產(chǎn)生的呼應(yīng)稱為零形狀呼應(yīng)。1.換路后的微分方程S在1位置uR(t)+uc(t)=UsuR(t)=i(t)Ri(t)=－C[duc(t)／dt]得到一階常系數(shù)線性非齊次微分方程前往+－SiuCRUS12uRS在2位置uC(0)=0(初始條件)2.解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t)=Usuc(∞)=Us∵uc(0)=0前往uC(t)=US(1－e)－t/RC令τ=RCuC(t)=US(1－e)－t/τi(t)=Cduc(t)/dt=(US/R)e－t/τuR(t)=i(t)·R=USe－t/τ顯然i、uR是按指數(shù)規(guī)律衰減，最后趨于零。uC隨t不斷添加，最后趨于US。u.iUsUs/RiuRuCtτ反映RC電路充電的速度。普通，經(jīng)過〔3～5)τ的時間，可以為暫態(tài)終了。前往uC(t)=US(1－e)－t/τuUs0.632UsuC(t)tτuC(t)=Us(1－e－1)＝0.632Us當(dāng)t=τ時前往前往+－uCRUS例、知R=103KΩ，US=100V，C=10μF,求開封鎖合后5、10、30秒時的uC值，并畫出uC曲線。解：uC(0)=0(初始條件)開封鎖合uC(t)=US(1－e)－t/RC=100(1－e－0.1t)t=5uC=39.4Vt=10uC=63.2Vt=30uC=95Vu(V)uC(t)t100換路前,儲能元件有儲能,即非零形狀,這種形狀下的電路與電源接通，儲能元件的初始儲能與外加電源共同引起的呼應(yīng)稱為全呼應(yīng)。三.電路的全呼應(yīng)前往對于線性電路，全呼應(yīng)為零輸入呼應(yīng)和零形狀呼應(yīng)的疊加。全呼應(yīng)=零輸入呼應(yīng)+零形狀呼應(yīng)1.換路后的微分方程t=0,S閉合uR(t)+uC(t)=Us初始條件為uC(0+)=uC(0－)=U0RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us前往+－UsSi(t=0)uRuCRC得到一階常系數(shù)線性非齊次微分方程2.解微分方程.通解方式為:uC(t)=Us+Ae－t/τ∵uC(0)=Uo∴Uo=Us+A,A=Uo－Us所以RC電路的全呼應(yīng)為uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ前往RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us2．對全呼應(yīng)的討論(1)此時電容將放電，最后到達穩(wěn)態(tài)值Us。全呼應(yīng)=穩(wěn)態(tài)解+暫態(tài)解。Uo<UsUo>Us此時電容將充電，最后到達穩(wěn)態(tài)值Us。前往uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τUoUoUsUo>UsUo<Us放電充電變化曲線tuC前往全呼應(yīng)=零輸入呼應(yīng)+零形狀呼應(yīng)前往(2)uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=Us－Use－t/τ+Uoe－t/τ=Us(1－e－t/τ)+Uoe－t/τ可分別求零輸入呼應(yīng)〔令電源為零〕；零形狀呼應(yīng)〔令初始值為零〕，然后求疊加。前往+－UsS1iuRuCR1C例、知R1=R2=10Ω，US=80V，C=10μF,t=0開關(guān)S1閉合，0.1ms后，再將S2斷開，求uC的變化規(guī)律.(C上初始能量為零)S2解：(1)0<t<0.1msR2uC(0+)=uC(0－)=0零形狀呼應(yīng)uC(t)=US(1－e)－t/R1C=80(1－e－10000t)t1=0.1msuC(t1)=50.56V(2)t>0.1msuC(t1+)=uC(t1－)=50.56V全呼應(yīng)uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=80+(50.56－80)e－t/ττ=(R1+R2)C=2×10－4uC(t)=80－29.44e－5000(t－t1)第三節(jié)一階電路暫態(tài)分析的

三要素法一階電路求解一階電路的三要素法三要素公式闡明例題前往只含有一個〔或者可以化為一個〕儲能元件的線性電路，無論是簡單的，還是復(fù)雜的，它的微分方程都是一階常系數(shù)微分方程,這種電路稱為一階電路。一、一階電路前往對于一階電路，它的時域呼應(yīng)是從初始值開場，按著指數(shù)規(guī)律變化，最終進入新的穩(wěn)態(tài)值。過渡過程的長短取決于時間常數(shù)τ。因此將初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)τ稱為一階電路的三要素。二、求解一階電路的三要素法用f(t)表示電路中的某一元件的電壓或電流,f(∞)表示穩(wěn)態(tài)值,f(0+)表示初始值，τ為時間常數(shù)。全呼應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e－t／τ只需求出f(0+),f(∞)和τ值,即可直接寫出暫態(tài)過程中電壓,或電流的表達式。前往f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用換路定律在換路前的電路求，其它電壓和電流要在換路后的電路中求得。f(∞)：進入穩(wěn)態(tài)后電容相當(dāng)于開路,電感相當(dāng)于短路，可運用電路的分析方法計算電壓或電流的穩(wěn)態(tài)值。三、三要素公式闡明.時間常數(shù)τ：在換路后的電路中求得τ=R0cR0是換路后的電路中,從C兩端看進去的將恒壓源短路，恒流源開路后的等效電阻。前往例、圖示電路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6KΩ,R2=1KΩ,R3=2KΩ，在t=0時將S閉合,試求uC(t)，畫出曲線。前往SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)Cτ=[(R1+R2)//R3]·C=0.155×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=8+(36－8)e－6430tV=8＋28e－6430tVuC(V)t368例、圖示電路中,IS=8mA,C=4μF,R1=2KΩ,R2=3KΩ,R3=1KΩ,R=5KΩ，E=10V，在t=0時將S由1打向2,試求uC(t)，畫出曲線。前往SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)Cτ=[(R1//R2)+R3]·C=8.8×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=6+(12－6)e－114tV=6+6e－114tV12uC(V)t126前往例、圖示電路中,U=30V,C=10μF,R1=R3=10KΩ,R2=20KΩ，在t=0時將S由1打向2,試求uC(t)、i(t)。SiuCR212R3R1UC解:S換路后:uC(0+)=uC(0－)uC(∞)=0i(∞)=0R0=R2∥(R1+R3)=10KΩτ=RC=0.1Suc(t)=uC(0+)e－t/τ=20e－10ti(t)=i(0+)e－t/τ=e－10t前往rUSCiKiCuC+－Rir例、圖中電路原已穩(wěn)定，求開封鎖合后的uC和iK。解：iC＝－uC(t)／R＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0uC(t)=USe－t/RCτ=RC例、圖示電路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,在t=0時閉合S1,在T=0.1秒時閉合S2,試求S2閉合后的uC(t),并畫出曲線,設(shè)S1閉合前uC=0.＋－US1S2CUc(t)RR解:S1閉合后:uC(0+)=uC(0-)=0uC(∞)=U=20Vτ1=RC=0.2S前往uC(t)=uc(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ=20(1－e－5t)當(dāng)t=0.1s時uC(0.1)=20(1－e－5t)≈7.87vτ2=(R//R)C=2.5×104×4×10－6=0.1suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ=20－12.13e－10(t－0.1)V前往＋－US1S2CUc(t)RRS2閉合后:uc(0+)=7.87VuC(∞)=U=20V變化曲線如圖uc(t)207.8700.1stτ1=0.2sτ2=0.1s前往例、知，U=10V,R1=10KΩ,R=15KΩ,C=50μF,在t=0時翻開S1,經(jīng)過1秒后翻開S2,試求uc(t),并畫出曲線。＋－US1S2CUc(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5VuC(∞)=0τ1=RC=0.75S前往uc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ=5e－1.3tR＋－US1S2CUc(t)R1RR當(dāng)t=1s時uC(1)=5e－1.3≈1.36V前往S2翻開后:uc(0+)=1.36VuC(∞)=0Vτ2=(R+R1)C=2.5×104×50×10－6=1.25suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=1.36e－0.8(t－1)V變化曲線如圖uc(t)51.3601stτ1=0.75sτ2=1.25s前往前往例、知，U=90V，R=60Ω，r=30Ω,C=10μF,在t=0時閉合S,試求uc(t)經(jīng)過0.4ms后又翻開S,試求uc(t).＋－USRRrrC解:S閉合前:uC(0+)=uC(0－)=U·R/(R+r)=60V=60－30=30V前往＋－USRRrrCuc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ=30+30e－2500t當(dāng)t1=0.4ms時uC(t1)=30+30e－2500t1≈41VuC(∞)=U·R/(R+r)=60Vuc(t)=60+(41－60)e－(t－t1)/τ′=60－19e－2000(t－t1)求解RL電路的暫態(tài)過程與求解RC電路的暫態(tài)過程的步驟一樣,所不同的是RL電路的時間常數(shù)為τ=L/R.L單位為〔H〕，R單位為〔Ω〕時,τ是秒。用列微分方程，解微分方程來求解暫態(tài)過程的方法稱為經(jīng)典法,經(jīng)過經(jīng)典法可歸納出求解一階電路的三要素法。第四節(jié)RL電路的暫態(tài)過程前往例、在圖示電路中,知L=1mH,R=10Ω,電壓表內(nèi)電阻Rv=1.5kΩ,電源電壓U=10V,在t=0時開關(guān)S斷開,S斷開前電路已處于穩(wěn)態(tài),求S斷開后電壓表兩端電壓的初始值及變化規(guī)律。VRvSabLRiLt=0U解：iL(0-)=U/R=1AiL(0+)=iL(0－)=1AS斷開的瞬間uab(0+)=－iL(0+)RV=－1500V前往uab(∞)=0τ=L/(R+Rv)=1×0.001/(10+1500)=0.66×10－8Suab(t)=uab(∞)+[uab(0+)－uab(∞)]e－t/τ=－1500e－1.51×1000000t前往闡明:換路的瞬間,電壓表兩端出現(xiàn)了1500V的高壓,雖然暫態(tài)時間很短也能夠使電壓表擊穿。通常在切斷電感電路時,在線圈兩端反并聯(lián)一個二極管,以限制斷開時的電壓，保證電路中電氣設(shè)備和操作人員的平安,電路如下圖。DSLRit=0U前往例3-5-5t=0，斷開S，求iL(t)。＋－6V10mH10ΩiL解:iL(0+)=iL(0－)=[6/(10+2.5)]×5/5+5=0.24A前往S5Ω5Ω5Ωτ=10×10－3／[10//(5+5)]+5