廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)2024屆高三上學(xué)期12月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

高三上學(xué)期12月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡爾把i稱為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．3．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想如下：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30=7+23，在不超過(guò)25的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)恰好含有這組數(shù)的中位數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．4．設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．5．是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的命題是（

）A．如果，，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，那么與所成的角和與所成的角相等6．設(shè)，，且，則（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．28．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸．B．函數(shù)在上單調(diào)遞減．C．將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最小值為，則m的最大值為．D．在上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．11．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的有（）A．點(diǎn)在平面的射影為的中心；B．直線∥平面；C．異面直線與所成角不可能為；D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍為．12．已知定義在上的函數(shù)可導(dǎo)，且不恒為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．的周期為4B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．D．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是.14．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問(wèn)物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：將到這個(gè)自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為．15．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B，且，若，則橢圓C的離心率是.16．在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是．

四?解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分期為a，b，c，已知點(diǎn)D在邊AC上，且，．(1)證明：是等腰三角形(2)若，求18．已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱、上·(1)若P是的中點(diǎn)，證明：；(2)若平面，且平面PQD與平面AQD的夾角的余弦值為，求四面體的體積．20．設(shè)有甲?乙?丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的5個(gè)球，其中甲箱有3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再?gòu)谋渲幸淮蚊?個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲幸淮蚊?個(gè)球.(1)若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.22．已知函數(shù)（……是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．1．B【解析】先解不等式化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，，因?故選：B.2．C【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)為0列出方程組求解作答.【詳解】設(shè)，因，則，即，而，則，解得，所以.故選：C3．C【分析】先確定不超過(guò)25的素?cái)?shù)，再確定中位數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率．【詳解】因?yàn)椴怀^(guò)25的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9個(gè)，這組數(shù)的中位數(shù)為11，所以所求概率．故選：C4．B【分析】根據(jù)，求出把兩邊平方，可求得，把所求展開(kāi)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以又，則所以，則，故選：5．A【分析】對(duì)于命題A，運(yùn)用長(zhǎng)方體舉反例證明其錯(cuò)誤：對(duì)于B中命題，作輔助平面，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到線線平行，再得到線線垂直；由平面與平面平行的性質(zhì)定理，可知C中命題正確；由平行的傳遞性及線面角的定義知D中命題正確.【詳解】對(duì)于A，可運(yùn)用長(zhǎng)方體舉反例證明其錯(cuò)誤：如圖，不妨設(shè)為直線，為直線，所在的平面為.所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立.對(duì)于B，證明如下：如圖：設(shè)過(guò)直線的平面與平面相交于直線，則，由，有，從而可知結(jié)論正確.由平面與平面平行的性質(zhì)定理，可知C中命題正確.由平行的傳遞性及線面角的定義知D中命題正確.故選：A6．A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式對(duì)題中條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：7．B【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用點(diǎn)差法即可求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以它的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，化簡(jiǎn)得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，所以①，②，①-②得，，化簡(jiǎn)得③，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B8．D【分析】構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，注意.【詳解】由題意可得，，，設(shè)，，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因?yàn)?，，，且，可得，，所?故選：D.9．ACD【分析】根據(jù)互斥事件的含義及概率計(jì)算公式逐項(xiàng)判定即可.【詳解】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，且，所以,即，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故C正確；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故D正確，故選：ACD.10．BC【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析判斷即可.【詳解】結(jié)合題意：，化簡(jiǎn)為：.對(duì)于A選項(xiàng)：令，解得易驗(yàn)證不是對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，要使在上的最小值為，則，即，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由，得，要使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ABC【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷①；利用面面平行的性質(zhì)可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)可判斷③；求出三棱錐的外接球表面積的取值范圍，可判斷④.【詳解】對(duì)于A，連接、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，因?yàn)?，平面，因?yàn)?，，故三棱錐為正三棱錐，因此，點(diǎn)在平面的射影為的中心，A對(duì)；對(duì)于B，連接、，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，因此，平面，B對(duì)；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，平面，，C對(duì)；對(duì)于D，設(shè)分別交平面、平面于點(diǎn)、，則平面，平面，，，，可得，同理可得，，則.、的外接圓半徑均為，易知、分別為、的中心，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，因?yàn)闉榈冗吶切?，且平面，垂足為的中心，所以，三棱錐的外接球球心在線段上，設(shè)，球的半徑為，則，（i）當(dāng)球心在線段上時(shí)，，因?yàn)椋?，，可得，可得，此時(shí)，；（ii）當(dāng)球心在線段上時(shí)，，因?yàn)椋?，，可得，可得，此時(shí)，；（iii）若球心在線段上時(shí)，，因?yàn)椋裕傻?，不合乎題意.所以，，故三棱錐的外接球的表面積，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.12．AC【分析】根據(jù)已知可得的圖象關(guān)于對(duì)稱、關(guān)于直線對(duì)稱，利用對(duì)稱性可得的周期可判斷A；對(duì)兩邊求導(dǎo)可判斷B；根據(jù)，可判斷CD.【詳解】為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于對(duì)稱.又為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，可得，則的周期為4，故A選項(xiàng)正確；又，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；又，所以，故選項(xiàng)C正確；由以上可知，，但是不知道等于多少，函數(shù)的周期為4，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13．【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，令的次數(shù)為即可.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，故常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：．14．【分析】先得到新數(shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，解不等式即能求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù).【詳解】由題知，滿足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：15．【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，.判斷出四邊形為矩形.在中，解三角形求出，，利用橢圓的定義得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，.因?yàn)?，即，可得四邊形為矩?在中，，.由橢圓的定義可得，所以，所以離心率.故答案為：.16．或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合條件，即可證明；（2）首先中，根據(jù)余弦定理求，再結(jié)合角的關(guān)系，求.【詳解】（1）由正弦定理可知，又，所以，又因?yàn)?，所以所以是等腰三角形?）設(shè)，，則，，，所以在中，由余弦定理，得：，在中，∵，∴∴18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）依題意，.又.故為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知.所以.

①

②①-②得，故.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即．（2）由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得．又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí)．設(shè)，而，由此得點(diǎn)，，∵PQ∥平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而．將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積．20．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）求出甲箱中摸出2個(gè)球顏色相同的概率，繼而求得最后摸出的2個(gè)球顏色不同的概率，再求出最后摸出的2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可得答案.（2）確定X的所有可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）從甲箱中摸出2個(gè)球顏色相同的概率為，記事件A為最后摸出的2個(gè)球顏色不同，事件B為這2個(gè)球是從丙箱中摸出的，則，，，所以；（2）X的所有可能取值為2，3，4，則，，，故X的分布列如表：X234P故.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于求分布列時(shí)，計(jì)算每個(gè)值相應(yīng)的概率，要弄清楚每個(gè)值對(duì)應(yīng)的情況，分類求解，注意計(jì)算量較大，要十分細(xì)心.21．(1)證明見(jiàn)解析；(2)，或，.【詳解】（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所