任意角三角函數(shù)

任意角的三角函數(shù)唐山市豐潤區(qū)第二中學(xué)馬秀清

一、教材內(nèi)容分析

1、作用、地位

任意角的三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中都具有重要的作用。本節(jié)課先學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義，新教材改變了過去習(xí)慣用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義的做法，轉(zhuǎn)為利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)。新的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，也為后續(xù)學(xué)習(xí)帶來方便，例如從這個(gè)定義可以更加方便地推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數(shù)圖像與性質(zhì)提供了很好的直觀載體。因此學(xué)生理解和掌握任意角三角函數(shù)的定義是學(xué)好本章的基礎(chǔ)。2、教學(xué)目的：?知識(shí)目標(biāo)：

(1)掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

(2)已知角終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的正弦、余弦、正切三角函數(shù)值。?能力目標(biāo)：

（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）樹立函數(shù)觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；

(3)通過對(duì)定義域、值域的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。?情感目標(biāo)：

（1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；（2）學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神，引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程的樂趣。

3、教學(xué)重，難點(diǎn)?重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義。?難點(diǎn)：用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫三角函數(shù)。三角函數(shù)中角與比值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、教法、學(xué)法

?

教法：講授法、問題探究法、案例教學(xué)法、討論教學(xué)法。教具的運(yùn)用：多媒體

?學(xué)法：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，運(yùn)用循序漸進(jìn)，逐步深入，理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)規(guī)律，來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。

三、學(xué)生情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)的定義，對(duì)三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）有一定的了解，而且學(xué)生通過任意角與弧度制的學(xué)習(xí)，已經(jīng)會(huì)利用直角坐標(biāo)系來研究任意角。因此本課從初中銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，過渡到銳角三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的定義，再從銳角過渡到任意角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般的探究方法探究任意角三角函數(shù)的定義，體會(huì)在直角坐標(biāo)系中定義三角函數(shù)的優(yōu)越性，避免傳統(tǒng)教學(xué)中老師給出定義、詮釋定義的填鴨式教學(xué)方法。

四、教學(xué)過程

問題1：

回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)

在Rt△POM中(如圖1)當(dāng)角α不是銳角時(shí)，我們必須對(duì)sinα，cosα，tanα的值進(jìn)行推廣，以適應(yīng)任意角的需要.思考一個(gè)問題：為了研究方便我們將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，并使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.在角α的終邊上取一點(diǎn)，如何用角α的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？

ABxyoP(x,y)αrM對(duì)于確定的角α，上述三個(gè)比值是否隨點(diǎn)P在角α的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？問題2：為了使sinα，cosα的表示式更簡(jiǎn)單，你認(rèn)為點(diǎn)P的位置選在何處最好？此時(shí)，sinα，cosα分別等于什么？xyoP(x,y)α1單位圓中定義銳角三角函數(shù)：（如圖3），線段，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么銳角的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為：

問題3：上述定義是借助于單位圓，任意角的三角函數(shù)如何定義呢？設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,那么：（1）叫做的正弦（sine）,記作sin即

sin=,

（2）叫做的余弦（cosine）,記作cos即cos=,

（3）叫做的正切（tangent）,記作tan即tan=問題4：根據(jù)上述過程，你能寫出上述三角函數(shù)中的范圍嗎？

當(dāng) 時(shí)無意義。（）除此之外，對(duì)于確定的角,上述的三個(gè)值都是唯一確定的。正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。例1

求的正弦、余弦和正切值。

練習(xí)１（練習(xí)1、3）

Oxy例2

已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值。OxyP（－3，－4）練習(xí)2（練習(xí)2）你有什么收獲？知識(shí)方法思想多想想意味著少做做！課堂小結(jié)?知識(shí)技能：

1.任意角三角函數(shù)的定義（單位圓定義與一般定義）；

2.由角終邊上任意一點(diǎn)會(huì)求三個(gè)三角函數(shù)值；?思想方法：特殊一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想。課后思考：

3個(gè)數(shù)可以形成6個(gè)比值，為什么只對(duì)其中的三個(gè)比值進(jìn)行定義和研究，其他3個(gè)比值又能對(duì)應(yīng)什么函數(shù)呢？有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進(jìn)行研究。?布置作業(yè)：1．求的正弦、余弦和正切值;2．習(xí)題1.2A組2。3．（選作）已知，判斷終邊所在象限并求其終邊上任意一點(diǎn)坐標(biāo)。五、板書設(shè)計(jì)Rt△POM直角坐標(biāo)系單位圓中銳中銳角三角中銳角三角角三角函數(shù)函數(shù)定義函數(shù)定義定義

單位圓中任意角任意角三角函數(shù)

三角函數(shù)定義