人教版九年級(jí)上第二十二章 二次函數(shù)22.2 二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)與一元二次方程復(fù)習(xí)回顧：我們已經(jīng)知道，一元二次方程根的情況與“△=b2-4ac”有關(guān)：1.當(dāng)△＞0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,

2.當(dāng)△=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,

3.當(dāng)△＜0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.導(dǎo)入新課一、觀察思考ax2+bx+c=0和y=ax2+bx+c之間的關(guān)系和區(qū)別是怎么樣？關(guān)系：

當(dāng)函數(shù)y=ax2+bx+c的值為0時(shí)，就得到方程ax2+bx+c=0。區(qū)別：一個(gè)是方程，一個(gè)是二次函數(shù)。導(dǎo)入新課二、探究新知活動(dòng)1：小組合作如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系：h=20t-5t2，考慮以下問(wèn)題：新課講解（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（4）球從飛出到落地要用多少時(shí)間？新課講解活動(dòng)2.討論分析：由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2，所以可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h的值：否則，說(shuō)明球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h的值.新課講解上面問(wèn)題(1)可以轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)h=20t－5t2的值為15，求自變量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝15(即5t2-20t+15＝0);反過(guò)來(lái)，解方程5t2-20t+15＝0又可以看作已知二次函數(shù)y=5t2-20t+15的值為0，求自變量t的值.新課講解解：（1）當(dāng)h=15m時(shí)，解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得：t1=1,t2=3.∴當(dāng)球飛行1s或3s時(shí)，它的高度為15m.新課講解解：（2）當(dāng)h=20m時(shí)，解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2.當(dāng)球飛行2秒時(shí)，它的高度為20米.新課講解解：（3）當(dāng)h=20.5m時(shí)，解方程：20.5=20t-5t2,即t2-4t+4.1=0,因?yàn)?-4)2-4×4.1<0,所以方程無(wú)解.即球的飛行高度達(dá)不到20.5米.新課講解解：（4）當(dāng)小球落地，則h=0m時(shí)，解方程：0=20t-5t2,轉(zhuǎn)化為：t2-4t=0,解得：t1=0,t2=4.當(dāng)球飛行0秒和4秒時(shí)，它的高度為0米.即0秒時(shí)球地面飛出，4秒時(shí)球落回地面.新課講解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一般地，可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入探究一元二次方程ax2+bx+c=0已知二次函數(shù)，求自變量的值解一元二次方程的根新課講解三、重難點(diǎn)精講1.二次函數(shù)(1)y＝x2＋x－2；(2)y＝x2－6x＋9；(3)y＝x2－x＋1.的圖象如圖所示。觀察并回答：（1）以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？（2）當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？新課講解y＝x2＋x－2（1）拋物線y＝x2＋x－2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是－2，1。（2）當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.新課講解y＝x2－6x＋9（1）拋物線y＝x2－6x＋9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3.（2）當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3.新課講解y＝x2－x＋1.（1）拋物線y＝x2－x＋1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).

（2）方程x2－x＋1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.新課講解總結(jié)：一元二次方程的根與二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的關(guān)系1.當(dāng)△＞0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根:

2.當(dāng)△=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,

3.當(dāng)△＜0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.此時(shí)函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)新課講解鞏固練習(xí)：下列二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?若有，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo).（1）y=x2＋x－2（2）y=4x2

－4x+1（3）y=2x2–2x+1xyo令y=0，解一元二次方程的根新課講解（1）解：當(dāng)y=0時(shí)，x2+x-2=0（x＋2）（x－1）=0x1=-2，x2=1所以與x軸有交點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)。新課講解（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，4x2-4x+1=0（2x－1）2=0x1=x2=0.5所以與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。新課講解（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，2x2–2x+1=0因?yàn)椋?2）2－4×2×1=-4<0所以與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。新課講解歸納：一般地，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0的圖像與x軸相交，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。（1）如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根。（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.新課講解總結(jié)：由上面的結(jié)論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的.近似值的求法：1.可以通過(guò)不斷縮小根所在的范圍估計(jì)一元二次方程的根;2.可以通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍。新課講解四、鞏固應(yīng)用利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2＝0的實(shí)數(shù)根（精確到0.1）.解：作y=x2-2x-2的圖象(如右圖所示)它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1≈0.7，x2≈2.7.新課講解1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x=1，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)A．a(chǎn)bc＜0B．2a+b=0 C．b2-4ac＞0 D．a(chǎn)-b+c＞0D課堂練習(xí)2.小穎用幾何畫(huà)板軟件探索方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根，作出了如圖所示的圖象，觀察得一個(gè)近似根為x1=-4.5，則方程的另一個(gè)近似根為x2=________(精確到0.1）．2.5課堂練習(xí)3.已知拋物線y=x2-4x+3

（1）求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0？解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-1）（x-3）

∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（3，0）；

課堂練習(xí)（2）由（1）知，該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（3，0）．∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），且拋物線的開(kāi)口方向向上，大致圖象如圖所示：∴當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，y＞0．課堂練習(xí)4.（1）請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-2x的大致圖象；（2）根據(jù)方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，將方程x2-2x=1的根在圖上近似的表示出來(lái)（描點(diǎn)）；（3）觀察圖象，直接寫(xiě)出方程x2-2x=1的根．（精確到0.1）課堂練習(xí)解：（1）如下圖，y=x2-2x=（x-1）2-1，作出頂點(diǎn)，作出與x軸的交點(diǎn)，連線平滑．（2）正確作出點(diǎn)M，N；（3）寫(xiě)出方程的根為-0.4，2.4．課堂練習(xí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的三種情況與一元二次