華師大版 八年級(jí)下第18章 平行四邊形18.1 平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)數(shù)學(xué)華師大版八年級(jí)下新知導(dǎo)入生活中的平行四邊形新知講解有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形的定義你能從以下圖形中找出平行四邊形嗎？?jī)山M對(duì)邊分別平行，是平行四邊形的一個(gè)主要特征．23145新知講解平行四邊形相對(duì)的邊稱(chēng)為對(duì)邊，相對(duì)的角稱(chēng)為對(duì)角．如圖：線(xiàn)段AC、BD就是□ABCD的對(duì)角線(xiàn)．ADCB平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線(xiàn)段叫平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)．如圖：四邊形ABCD是平行四邊形．記作：□ABCD．

讀作：平行四邊形ABCD．幾何語(yǔ)言：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形的表示法及相關(guān)概念新知講解如圖，作一個(gè)平行四邊形．步驟：1、任意畫(huà)一條直線(xiàn)m；2、在直線(xiàn)m上任取點(diǎn)A，在直線(xiàn)m外任取點(diǎn)B，連結(jié)AB；3、過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)m的平行線(xiàn)n，在直線(xiàn)n上任取點(diǎn)C；4、過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AB的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)m于點(diǎn)D，就得到□ABCD

．這樣畫(huà)出來(lái)的四邊形為什么是平行四邊形？新知講解在□ABCD

中，連結(jié)AC、BD，它們的交點(diǎn)記為點(diǎn)O．將□ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°．觀察旋轉(zhuǎn)后的□ABCD與原圖形是否重合？由此你能得到什么結(jié)論？你還能從中得出□ABCD的一些邊角關(guān)系嗎？旋轉(zhuǎn)后的□ABCD與原圖形重合，所以平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O就是對(duì)稱(chēng)中心．AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D．新知講解平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求證：AD=BC，AB=CD，∠A=∠D，∠ABC=∠CDA．提示：可連接BD，試證______≌______．轉(zhuǎn)化思想：四邊形問(wèn)題三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化△ABD△CDB新知講解已知：□ABCD（如圖）．求證：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠ABC=∠CDA．即∠ABC＝∠CDA．證明：連結(jié)BD．∵AB∥CD，AD∥BC（平行四邊形的對(duì)邊平行），∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C．又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3．∴△ABD≌△CDB．

在△ABD和△DCE中，

∵，新知講解平行四邊形的性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)邊相等．平行四邊形的性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)角相等．2、平行四邊形的對(duì)邊相等．平行四邊形的對(duì)邊平行．1、平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形．平行四邊形的性質(zhì)3、平行四邊形的對(duì)角相等．平行四邊形的鄰角互補(bǔ)．新知講解例1在□ABCD中，∠A=40°，求其他各內(nèi)角的大?。猓涸凇魽BCD中，∠A=∠C，∠B=∠D（平行四邊形的對(duì)角相等）．∵∠A=40°（已知)，∴∠C=40°．又∵AD∥BC（平行四邊形的對(duì)邊平行），∴∠A+∠B=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．∴∠B=180－∠A=180o－40°=140°，∠D=∠B=140°．新知講解例2如圖，在□ABCD中，AB=8，周長(zhǎng)等于24．求其余三條邊的長(zhǎng)．解：在□ABCD中，AB=DC，AD=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）．∵AB=8，

∴DC=8，又∵AB+BC+DC+AD=24，∴AD=BC=．新知講解在方格紙上畫(huà)兩條互相平行的直線(xiàn)，在其中一條直線(xiàn)上任取若干點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)作另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，用刻度尺量出平行線(xiàn)之間這些垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度．你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試用平行四邊形的性質(zhì)定理加以說(shuō)明．兩條直線(xiàn)平行，其中一條直線(xiàn)上的任一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做這兩條平行線(xiàn)之間的距離．平行線(xiàn)之間的距離處處相等．新知講解例3已知平行四邊形的周長(zhǎng)是24，相鄰兩邊的長(zhǎng)度相差4，求該平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)．解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x，則BC的長(zhǎng)為x＋4．根據(jù)已知，可得，2（AB＋BC）＝24，即2（x＋x＋4）＝244x

＋8＝24，解得x＝4．所以，該平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為4和8．新知講解例4已知：如圖，在□ABCD中，∠ADC的平分線(xiàn)與AB相交于點(diǎn)E．求證：BE+BC=CD．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD（平行四邊形的對(duì)邊相等），AB∥CD（平行四邊形的對(duì)邊平行），∴∠CDE=∠AED．又∵DE是∠ADC的平分線(xiàn)，∴∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠AED，∴AD=AE．又∵AD=BC

（平行四邊形的對(duì)邊相等），∴

AE=BC．BE+BC=BE+AE=CD．新知講解ADBC如圖□ABCD

的兩條對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）圖中有哪些三角形是全等的？有哪些線(xiàn)段是相等的？（2）能設(shè)法驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？你可以用測(cè)量的方法，也可以用復(fù)制紙片并借助旋轉(zhuǎn)的方法．ADBCo新知講解由上題你又能得出平行四邊形怎樣的性質(zhì)？如圖□ABCD

的兩條對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O．幾何語(yǔ)言：定理3平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分．新知講解已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.ACDBO3241證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.

分析：要證明相等的OA與OC、OB與OD分別屬于△AOB與△COD，因此只需證明這兩個(gè)三角形全等即可.新知講解例5如圖□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和

BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)為15，AB=6，那么對(duì)角線(xiàn)AC與BD的和是多少？解：在□ABCD中∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，∴AO+BO=15-6=9．又∵AO=OC，BO=OD(平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分），∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．新知講解例6如圖□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與AB，CD相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．求證：OE=OF．解：∵ABCD是平行四邊形，∴OB=OD(平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分）．又∵AB∥CD，∴∠EBO=∠FDO．又∵∠EBO=∠DOF，∴△BEO≌△DFO．∴OE=OF．分析：要證明OE=OF，只要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可．新知講解例7如圖□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，其周長(zhǎng)為16，且△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)小2．求邊AB和BC的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC(平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分）．∵△AOB的周+2=△BOC的周長(zhǎng)，∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，即AB+2=BC．又∵□ABCD的周長(zhǎng)=16，∴2（AB+BC)=16，即4AB+4=16．∴AB=3，BC=5．新知講解例8如圖，在□ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC=21cm，BE⊥AC，垂足為E

，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之間的距離．解：設(shè)AD和BC之間的距離為xcm，則□ABCD的面積等于AD·x．∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5，x=15(cm)，即AD和BC之間的距離為15cm．課堂練習(xí)1．在□ABCD中，∠A=65°，則∠B=

°，∠C=

°，∠D=

°．2．在□ABCD中，AB+CD=28cm．□ABCD的周長(zhǎng)等于96cm，

則AB=

，BC=

，

CD=

，

AD=

．

1156511514cm34cm14cm34cm3．已知:□

ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=16cm，BD=12cm，BC=10cm，則□ABCD

的周長(zhǎng)是_______，□

ABCD的面積是__________．40cm96cm25．平行四邊形的一邊長(zhǎng)為5cm，則它的對(duì)角線(xiàn)可能是（）A、4cm和6cmB、4cm和14cmC、4cm和8cm D、12cm和2cm4．在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1C．1：1：2：2 D．2：1：2：1DC課堂練習(xí)6．在□ABCD中，∠A=3∠B，求∠C和∠D的度數(shù)．解:∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．

又已知∠A=3∠B，

則3∠B+∠B=180°．

解得：∠B=45°，∠A=3×45°=135°，

所以∠C=∠A=135°，∠D=∠B=45°．拓展提高7．如圖?ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AO、CO的中點(diǎn)，試判斷線(xiàn)段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：BE=DF，BE∥DF．證明：∵ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴OE=OF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴BE=DF，∠OEB=∠OFD，∴BE∥DF．中考鏈接1、【2018?貴州】如圖，在□ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周長(zhǎng)為13cm，則□ABCD的周長(zhǎng)為（）A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm2、【2018?江蘇】如圖，在□ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，則∠CDB＝_________．3、【2018?湖北】如圖，已知□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，則△OCD的周長(zhǎng)為_(kāi)________．D40°14課堂總結(jié)1、平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2、平行四邊形的表示方法：平行四邊形ABCD，

記為“