控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1本章的主要內(nèi)容狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)矢量的線性變換從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量。狀態(tài)變量不是唯一的，相互獨(dú)立的狀態(tài)矢量：狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,

xn(t)組成的矢量X狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,

xn(t)為坐標(biāo)構(gòu)成的n維空間。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式3§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達(dá)式一般形式

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)矩陣輸入〔控制〕矩陣輸出矩陣直接轉(zhuǎn)移矩陣4§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式5§1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖

模擬結(jié)構(gòu)圖反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，有利于建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式.繪制狀態(tài)空間表達(dá)式框圖的步驟：

1.積分器的數(shù)目等于狀態(tài)變量的數(shù)目；

2.每個(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的狀態(tài)變量；

3.根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；

4.用箭頭將這些元件連接起來。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式6例如一階標(biāo)量微分方程三階微分方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式7§1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立由系統(tǒng)框圖建立，根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)由描述系統(tǒng)的高階微分方程或者傳遞函數(shù)演化第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式8從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式步驟將系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖把每個(gè)積分器的輸出選做一個(gè)狀態(tài)變量積分器輸入是狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)由模擬圖直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式Step1:

變換成模擬結(jié)構(gòu)圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式例如10從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式Step2&3:

選擇狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式11從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式Step4:

列出方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程12從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式寫成矢量形式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程13從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式14從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式15從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立例如：輸入為電流源，輸出為電容上的電壓2個(gè)電容，2個(gè)電感。共4個(gè)儲(chǔ)能元件，4個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量由基爾霍夫定律電流電壓第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式16從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立消去非獨(dú)立變量i3和i4得采用第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式17從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式18由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)→狀態(tài)空間表達(dá)式稱作實(shí)現(xiàn)問題。只討論最小實(shí)現(xiàn)通過例如總結(jié)出步驟第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式19傳遞函數(shù)分子為1時(shí)例1

對(duì)應(yīng)的輸入輸出關(guān)系是

應(yīng)用拉普拉斯反變換，對(duì)應(yīng)的微分方程為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式20傳遞函數(shù)分子為1時(shí)模擬圖為定義每一個(gè)積分器的輸出為新變量：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

a2a1a0---uy+21傳遞函數(shù)分子為1時(shí)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式特點(diǎn)：輸入矩陣的最后一個(gè)元素是1，其它為零；輸出矩陣的第一個(gè)元素為1，其它為零；狀態(tài)矩陣的最后一行由傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)決定，從低次冪系數(shù)到高次冪系數(shù)排列，并加負(fù)號(hào)，直接轉(zhuǎn)移矩陣為零。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式22傳遞函數(shù)分子為1時(shí)

將此例子推廣到一般情形對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式是友矩陣特點(diǎn)是主對(duì)角線上方的元素為1，最后一行的元素可取任意值，其余元素均為零。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式23傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)例2方法一：對(duì)應(yīng)的輸入輸出關(guān)系是

應(yīng)用拉普拉斯反變換，對(duì)應(yīng)的微分方程為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式24傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)

a2a1a0---uy+b0模擬結(jié)構(gòu)圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式25傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式26傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)方法二：系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系

令那么有

經(jīng)過拉氏反變換得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式27傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)

a2a1a0---uy1+b0y第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式28傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式29傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)例3因?yàn)閚=m,上式可變換為

令那么有經(jīng)過拉氏反變換得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式30傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)

a2a1a0---uy1+b0-a0b3y第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式b3b2-a2b3b1-a1b3+++系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖為+31傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式32傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)由此例子推廣到一般的情形系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式33傳遞函數(shù)分子不為1時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式思考：與分子為1時(shí)表達(dá)式的異同第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式34由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式總結(jié)：傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間方程的步驟1.通過長除法將傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式次數(shù)化成低于分母多項(xiàng)式次數(shù)；2.考慮分子多項(xiàng)式為1的特殊傳遞函數(shù)；3.擴(kuò)展到分子不為1為多項(xiàng)式的傳遞函數(shù)，分解為兩個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)。處理的根本思想是：思路一：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式35由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式〔思路二〕U(s)Y(s)U(s)Y(s)Y1(s)狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式36由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式式中或記為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式37狀態(tài)空間表達(dá)式建立例題第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式38num=[0012]den=[1573][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)利用matlab進(jìn)行系統(tǒng)模型間的互換39§1.5狀態(tài)矢量的線性變換

---------坐標(biāo)變換系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性

如果選取的系統(tǒng)狀態(tài)變量不同，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式是不同的。實(shí)際上，狀態(tài)矢量之間是一種線性變換關(guān)系。給定系統(tǒng)為：

我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣T將原狀態(tài)矢量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設(shè)變換關(guān)系為：即第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式40系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式T為變換矩陣，由于T為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式也是非唯一的。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式將x=Tz代入狀態(tài)空間表達(dá)式41例4

某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為〔1〕取變換陣為，即那么變換后的矢量為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式42在這個(gè)狀態(tài)變量下，變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式43〔2〕取變換陣為，即那么變換后的矢量為在這個(gè)狀態(tài)變量下，變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式44特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)矩陣A的特征值，也就是方程：的根。nn方陣A有n個(gè)特征值，A為實(shí)數(shù)矩陣，特征值為實(shí)數(shù)，或者成共軛復(fù)數(shù)；如果A為是對(duì)稱陣，那么其特征值都是實(shí)數(shù)。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式45特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量經(jīng)過非奇異變換后，系統(tǒng)的特征值不變

系統(tǒng)的不變量：特征多項(xiàng)式的系數(shù)原因：特征值由特征多項(xiàng)式系數(shù)決定特征矢量：與線性代數(shù)概念相同第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式46狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型問題是將變換為：根據(jù)系統(tǒng)矩陣A求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式約旦(Jordan)陣47約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣JA的特征值無重根時(shí)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式48約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣JA的特征值有重根時(shí)(q個(gè)

1重根)49狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型一般步驟：根據(jù)A計(jì)算特征值

i由特征值

i計(jì)算特征矢量Pi由Pi構(gòu)造變換矩陣T由

i構(gòu)造J由J和T構(gòu)造約旦標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式50Case1:A為任意形式〔一〕A的特征值無重根時(shí)設(shè)是A的個(gè)互異特征根，根據(jù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式求出A的特征矢量那么變換矩陣由A的特征矢量

構(gòu)成，即51Case1:A為任意形式A的特征值無重根時(shí)例如第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式52設(shè)A的特征根有q個(gè)1重根，其余(n-q)個(gè)根為互異根，那么變換矩陣T的計(jì)算公式如下Case1:A為任意形式〔二〕A的特征值有重根時(shí)(q個(gè)

1重根)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其中是對(duì)應(yīng)于〔n-q〕個(gè)單根的特征矢量。53Case1:A為任意形式對(duì)應(yīng)于q個(gè)

1重根的矢量的求得，應(yīng)根據(jù)下式計(jì)算：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式P1仍為

1對(duì)應(yīng)的特征矢量，其余則稱為廣義特征矢量。54Case2:A為標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式55Case2:A為標(biāo)準(zhǔn)型A的特征值無重根時(shí)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式T是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣56Case2:A為標(biāo)準(zhǔn)型A的特征值有重根時(shí)(以3個(gè)

1重根為例)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式57例如Case2:A為標(biāo)準(zhǔn)型A的特征值有重根時(shí)(q個(gè)

1重根)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式58系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：具有互異特征根的情況，傳遞函數(shù)可寫成第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式59系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式60系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式61系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)具有重根的情況：設(shè)A的特征根有q個(gè)1重根，其余〔n-q〕個(gè)根為互異根。傳遞函數(shù)可展開為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式62系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式63系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間表達(dá)式為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式64§1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)〔單輸入單輸出系統(tǒng)〕系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換可得U-Y間的傳遞函數(shù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式65傳遞函數(shù)〔多輸入多輸出系統(tǒng)〕系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換可得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式66根據(jù)U和Y之間的傳遞函數(shù)為同一系統(tǒng)，盡管狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但是傳遞函數(shù)陣是不變的。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式67傳遞函數(shù)的唯一性證明系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式68傳遞函數(shù)的唯一性證明對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式69子系統(tǒng)在各種連接時(shí)的傳遞函數(shù)實(shí)際的控制系統(tǒng)，往往由多個(gè)子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反響連接。以兩個(gè)系統(tǒng)為例，推導(dǎo)等效的傳遞函數(shù)陣。設(shè)系統(tǒng)1為：系統(tǒng)2為70系統(tǒng)1和系統(tǒng)2并聯(lián)連接u1=u2,y=y1±y2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為71系統(tǒng)1和系統(tǒng)