高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-三點(diǎn)共線證法多斜率向量均可做（含答案）

專題7三點(diǎn)共線證法多，斜率向量均可做【題型綜述】三點(diǎn)共線問(wèn)題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；②距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；④直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上;⑤點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線.⑥面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”.【典例指引】類型一向量法證三點(diǎn)共線例1（2012北京理19）（本小題共14分）已知曲線:（）(Ⅰ)若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)=4，曲線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,直線與直線交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.【解析】類型二斜率法證三點(diǎn)共線例2.（2017?上海模擬）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N．（1）求直線FN與直線AB的夾角θ的大?。唬?）求證：點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．【解析】類型三直線方程法證三點(diǎn)共線例3（2017?貴陽(yáng)二模）已知橢圓C：=1（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P，Q，過(guò)P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，求證：三點(diǎn)N，F(xiàn)，Q在同一條直線上．【解析】類型四多種方法證三點(diǎn)共線例4.（2017?保定一模）設(shè)橢圓x2+2y2=8與y軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與BM交于G．（1）求橢圓的離心率；（2）求證：A，G，N三點(diǎn)共線．【解析】【擴(kuò)展鏈接】1.給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；【新題展示】1．【2019北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)預(yù)測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；（Ⅲ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標(biāo)，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當(dāng)x0＝0時(shí)，P（0，±1），②當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），運(yùn)用對(duì)稱，分別求得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，即可得證．2．【2019廣東深圳2月調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、、是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．【思路引導(dǎo)】（1）（法一）由題意，求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（法二）設(shè)橢圓的方程為（），列出方程組，求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算，即可證得三點(diǎn)共線。3．【2019安徽合肥一?！吭O(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn)，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為，證明：三點(diǎn)共線．【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由的周長(zhǎng)為求得，由離心率求得，從而可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果；(Ⅱ)易知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由點(diǎn)差法可得，，即，．同理可得，從而可得結(jié)論．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；（3）當(dāng)△FPQ面積最大時(shí)，求直線PQ的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系的分析求出、的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法，分析可得證明；（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析用y1．y2表示出△FPQ的面積，分析可得答案．【詳細(xì)解析】2.已知橢圓C：+y2=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，M，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MF⊥NF，直線AM和AN分別與橢圓C交于E，D兩點(diǎn)．（Ⅰ）求△MFN的面積的最小值；（Ⅱ）證明；E，O，D三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（I）F（1，0），設(shè)M（0，t1），N（0，t2）．不妨設(shè)t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化為：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（II）A（﹣，0）．設(shè)M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直線AM，AN的方程分別為：y=x+t，y=x﹣．分別與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得kOE，kOD．只要證明kOE=kOD．即可得出E，O，D三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】3.已知焦距為2的橢圓W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，點(diǎn)M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，點(diǎn)A，D是橢圓W上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AD⊥AB，點(diǎn)C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為，代入求得a和b的關(guān)系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由kAD?kAB=﹣1，代入求得=，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC，即可求證B，C，D三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】4.給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓的“伴隨圓”．已知A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m（m＞0）上的點(diǎn)．（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)P（0，）的直線l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l被橢圓G的“伴隨圓”G1所截得的弦長(zhǎng)；（Ⅱ）若橢圓G上的M，N兩點(diǎn)滿足4k1k2=﹣1（k1，k2是直線AM，AN的斜率），求證：M，N，O三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）將A代入橢圓方程，可得m，進(jìn)而得到橢圓方程和伴橢圓方程，討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出l的方程，代入橢圓方程運(yùn)用判別式為0，求得k，再由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求弦長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)直線AM，AN的方程分別為y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程求得交點(diǎn)M，M的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，計(jì)算直線OM，ON的斜?率相等，即可得證．【詳細(xì)解析】5.已知橢圓,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓的方程.（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作直線（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于，兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，且求證：，三點(diǎn)共線.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)求出橢圓方程；設(shè)出，，則，，再向量坐標(biāo)化，得到，得到，最終得到；【詳細(xì)解析】6.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）求拋物線的方程；（2）證明：點(diǎn)在直線上.【思路點(diǎn)撥】（1）由交點(diǎn)坐標(biāo)可得，求得可得拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為（），代入拋物線方程消去x整理得，再設(shè)，，進(jìn)而得，可得直線的方程為，又，，故BD方程化為，令，得，即結(jié)論成立。【詳細(xì)解析】7.已知橢圓：的離心率與雙曲線：的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】(1)由二者離心率互為倒數(shù)以及橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立關(guān)于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)榫€段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理得到弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，所以點(diǎn)在定直線上，而兩點(diǎn)也在定直線上，所以三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】8.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，離心率為，過(guò)點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）若y2=4x上存在兩點(diǎn)M，N，橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P，Q，滿足：P，Q，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，M，N，F(xiàn)1三點(diǎn)共線且PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：a=b2，a=c及a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長(zhǎng)，求得四邊形的面積；當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積公式，計(jì)算即可得到最小值．【詳細(xì)解析】9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x=5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)．（I）若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（I）由題意，直線l1的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可求得△ABM的面積S的值；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，利用直線的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，且橢圓C與圓M：（x﹣1）2+y2=的公共弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程．（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作直線l（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在橢圓C上，且，求證：B，D，E三點(diǎn)共線..【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得，由橢圓C與圓M：的公共弦長(zhǎng)為，其長(zhǎng)度等于圓M的直徑，得橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)A（x1，y1），E（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）．利用點(diǎn)差法求出，從而求出kAB?kAE=﹣1，進(jìn)而求出kBE=kBD，由此能證明B，D，E三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】11.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，），橢圓C的右焦點(diǎn)為A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)P，Q為橢圓C上的兩個(gè)點(diǎn)，且B、P、Q三點(diǎn)共線，線段PQ的中點(diǎn)為R，求直線AR的斜率的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）依題意直線PQ過(guò)點(diǎn)（，0），且斜率不為0，設(shè)其方程為x=my+，聯(lián)立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出直線AR的斜率的取值范圍．【詳細(xì)解析】12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線y=k（x﹣4）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線x=1與直線BM交于點(diǎn)P．（i）證明：A，P，N三點(diǎn)共線；（ii）求△OMN面積的最大值．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由題意知?a=2，b=1，c=，即可；（Ⅱ）（i）將直線y=k（x﹣4）（k≠0）代入橢圓C得：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．則M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））．要證A，P，N三點(diǎn)共線，只證明共線即可，即證明成立．（ii）將直線y=k（x﹣4）（k≠0）變形為x=my+4，（m=）．聯(lián)立得（m2﹣4）y2+8my﹣12=0．|MN|=，點(diǎn)O到直線MN的距離d=．△OMN面積S=×|MN|×d即可．【詳細(xì)解析】

【題型綜述】三點(diǎn)共線問(wèn)題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；②距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；④直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上;⑤點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線.⑥面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”.【典例指引】類型一向量法證三點(diǎn)共線例1（2012北京理19）（本小題共14分）已知曲線:（）(Ⅰ)若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)=4，曲線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,直線與直線交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.方程為：，則，，，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡(jiǎn)得：將①②代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。學(xué)&科網(wǎng)類型二斜率法證三點(diǎn)共線例2.（2017?上海模擬）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N．（1）求直線FN與直線AB的夾角θ的大??；（2）求證：點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．∵kOB==，y1y2=﹣4，∴kOB=kOC，∴點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．學(xué)&科網(wǎng)類型三直線方程法證三點(diǎn)共線例3（2017?貴陽(yáng)二模）已知橢圓C：=1（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P，Q，過(guò)P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，求證：三點(diǎn)N，F(xiàn)，Q在同一條直線上．==，即直線QN過(guò)點(diǎn)（1，0），又∵橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），∴三點(diǎn)N，F(xiàn)，Q在同一條直線上．學(xué)&科網(wǎng)類型四多種方法證三點(diǎn)共線例4.（2017?保定一模）設(shè)橢圓x2+2y2=8與y軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與BM交于G．（1）求橢圓的離心率；（2）求證：A，G，N三點(diǎn)共線．【擴(kuò)展鏈接】1.給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；【新題展示】1．【2019北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)預(yù)測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；（Ⅲ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標(biāo)，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當(dāng)x0＝0時(shí)，P（0，±1），②當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），運(yùn)用對(duì)稱，分別求得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，即可得證．【解析】（Ⅰ）依題意可知，，所以橢圓離心率為．（Ⅱ）因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以．令，由得，則．令，由得，則．所以的面積．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．所以．即，則．所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為．（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)，．因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線．同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線．②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以整理得解得所以點(diǎn)．又因?yàn)?，，且．所以．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線．2．【2019廣東深圳2月調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、、是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．【思路引導(dǎo)】（1）（法一）由題意，求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（法二）設(shè)橢圓的方程為（），列出方程組，求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算，即可證得三點(diǎn)共線?！窘馕觥浚?）（法一）設(shè)橢圓的方程為，∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴由橢圓定義可知，∴，∴，∴橢圓的方程為．（法二）不妨設(shè)橢圓的方程為（），∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，①又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，②聯(lián)立方程①，②，解得，，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，由方程組消去，并整理得：，∵，∴，，∵直線的方程可表示為，將此方程與直線聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，所以，又向量和有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)在同一條直線上．3．【2019安徽合肥一?！吭O(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn)，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為，證明：三點(diǎn)共線．【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由的周長(zhǎng)為求得，由離心率求得，從而可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果；(Ⅱ)易知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由點(diǎn)差法可得，，即，．同理可得，從而可得結(jié)論．【解析】(Ⅰ)由題意知，．又∵，∴，，∴橢圓的方程為．(Ⅱ)易知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，中點(diǎn)在軸上，三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，且設(shè)．聯(lián)立方程得相減得，∴，∴，，即，∴．同理可得，∴，所以三點(diǎn)共線．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；（3）當(dāng)△FPQ面積最大時(shí)，求直線PQ的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系的思路引導(dǎo)求出、的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法，思路引導(dǎo)可得證明；（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，思路引導(dǎo)有（m2+3）y2+6my+3=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系思路引導(dǎo)用y1．y2表示出△FPQ的面積，思路引導(dǎo)可得答案．（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3．由方程組，得（m2+3）y2+6my+3=0，學(xué)&科網(wǎng)2.已知橢圓C：+y2=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，M，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MF⊥NF，直線AM和AN分別與橢圓C交于E，D兩點(diǎn)．（Ⅰ）求△MFN的面積的最小值；（Ⅱ）證明；E，O，D三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（I）F（1，0），設(shè)M（0，t1），N（0，t2）．不妨設(shè)t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化為：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（II）A（﹣，0）．設(shè)M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直線AM，AN的方程分別為：y=x+t，y=x﹣．分別與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得kOE，kOD．只要證明kOE=kOD．即可得出E，O，D三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】（I）F（1，0），設(shè)M（0，t1），N（0，t2）．不妨設(shè)t1＞t2．學(xué)&科網(wǎng)∵M(jìn)F⊥NF，∴=1+t1t2=0，化為：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．當(dāng)且僅當(dāng)t1=﹣t2=1時(shí)取等號(hào)．3.已知焦距為2的橢圓W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，點(diǎn)M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，點(diǎn)A，D是橢圓W上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AD⊥AB，點(diǎn)C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為，代入求得a和b的關(guān)系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由kAD?kAB=﹣1，代入求得=，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC，即可求證B，C，D三點(diǎn)共線．（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐標(biāo)（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），∵A，D在橢圓上，，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴=﹣，學(xué)&科網(wǎng)由AD⊥AB，∴kAD?kAB=﹣1，?=﹣1，?（﹣，）=﹣1，∴=，∴kBD﹣kBC=﹣=﹣=0，kBD=kBC，∴B，C，D三點(diǎn)共線．學(xué)&科網(wǎng)4.給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓的“伴隨圓”．已知A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m（m＞0）上的點(diǎn)．（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)P（0，）的直線l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l被橢圓G的“伴隨圓”G1所截得的弦長(zhǎng)；（Ⅱ）若橢圓G上的M，N兩點(diǎn)滿足4k1k2=﹣1（k1，k2是直線AM，AN的斜率），求證：M，N，O三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）將A代入橢圓方程，可得m，進(jìn)而得到橢圓方程和伴橢圓方程，討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出l的方程，代入橢圓方程運(yùn)用判別式為0，求得k，再由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求弦長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)直線AM，AN的方程分別為y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程求得交點(diǎn)M，M的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，計(jì)算直線OM，ON的斜?率相等，即可得證．5.已知橢圓,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓的方程.（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作直線（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于，兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，且求證：，三點(diǎn)共線.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)求出橢圓方程；設(shè)出，，則，，再向量坐標(biāo)化，得到，得到，最終得到；6.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）求拋物線的方程；（2）證明：點(diǎn)在直線上.【思路點(diǎn)撥】（1）由交點(diǎn)坐標(biāo)可得，求得可得拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為（），代入拋物線方程消去x整理得，再設(shè)，，進(jìn)而得，可得直線的方程為，又，，故BD方程化為，令，得，即結(jié)論成立?！驹敿?xì)解析】（1）依題意知，解得，學(xué)&科網(wǎng)所以拋物線的方程.（2）設(shè)直線的方程為（），7.已知橢圓：的離心率與雙曲線：的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】(1)由二者離心率互為倒數(shù)以及橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立關(guān)于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)榫€段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理得到弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，所以點(diǎn)在定直線上，而兩點(diǎn)也在定直線上，所以三點(diǎn)共線．【詳細(xì)解析】（1）因?yàn)殡p曲線：的離心率，學(xué)&科網(wǎng)而橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的半焦距為，則.①又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.②，③聯(lián)立①②③，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.8.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，離心率為，過(guò)點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）若y2=4x上存在兩點(diǎn)M，N，橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P，Q，滿足：P，Q，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，M，N，F(xiàn)1三點(diǎn)共線且PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：a=b2，a=c及a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長(zhǎng)，求得四邊形的面積；當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積公式，計(jì)算即可得到最小值．由弦長(zhǎng)公式|PQ|=?=，∴四邊形PMQN的面積S=|MN|?|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），則S===4×（1+）＞4，∴S＞4，綜上可知：四邊形PMQN的面積的最小值4．學(xué)&科網(wǎng)9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x=5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)．（I）若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】（I）由題意，直線l1的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可求得△ABM的面積S的值；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，利用直線的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三點(diǎn)共線．10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，且橢圓C與圓M：（x﹣1）2+y2=的公共弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程．（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作直線l（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在橢圓C上，且，求證：B，D，E三點(diǎn)共線..【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得，由橢圓C與