高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-圖形面積求最值函數(shù)值域正當(dāng)時(shí)（含答案）

專題3圖形面積求最值，函數(shù)值域正當(dāng)時(shí)【題型綜述】1、面積問(wèn)題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長(zhǎng)度，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化3、面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)單，便于分析【典例指引】例1已知橢圓（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，直線（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，若存在關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．（I）求橢圓的方程；（II）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（III）用表示的面積，并判斷是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．點(diǎn)評(píng)：（1）第二小問(wèn)分為兩個(gè)操作程序：=1\*GB3①據(jù)對(duì)稱性得到直線斜率與截距之間的關(guān)系；=2\*GB3②據(jù)位置關(guān)系構(gòu)建直線斜率與截距之間的不等關(guān)系．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸為垂直平分線，法一進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為等腰三角形，從而線段相等，利用兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)后得到交點(diǎn)坐標(biāo)縱橫坐標(biāo)之和及弦的斜率，故可以使用韋達(dá)定理整體代入．實(shí)際上所有使用韋達(dá)定理整體代入這個(gè)處理方式的標(biāo)準(zhǔn)是題意韋達(dá)定理化：=1\*GB3①條件與目標(biāo)均能化為交點(diǎn)坐標(biāo)和與積的形式；=2\*GB3②橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)；法二則點(diǎn)差法處理弦中點(diǎn)問(wèn)題．均可得到直線的斜率與截距之間的關(guān)系．構(gòu)建不等式的方式：法一根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，利用判別式構(gòu)建參數(shù)的不等式；法二根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)構(gòu)建參數(shù)的的不等式；故直線與橢圓相交可與點(diǎn)在橢圓內(nèi)等價(jià)轉(zhuǎn)化；（2）第三小問(wèn)分成兩個(gè)操作程序：=1\*GB3①構(gòu)建面積的函數(shù)關(guān)系；=2\*GB3②求函數(shù)的值域．法一利用底與高表示三角形面積，三角形的底則為弦長(zhǎng)，三角形高則為點(diǎn)線距離．法二利用三角形面積的坐標(biāo)公式，不管哪種面積公式，均會(huì)出現(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)之差，故從整道題全局來(lái)說(shuō)，第二問(wèn)使用韋達(dá)定理顯得更流暢，時(shí)分比更高，所以要注意方法的選擇與整合．關(guān)于分式型函數(shù)求最值，常見(jiàn)思路為：以分母為整體，分子常數(shù)化，往往化簡(jiǎn)為反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)及二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，本題這個(gè)函數(shù)形式并不常見(jiàn)．特別要注意基本函數(shù)的和與差這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)，特殊情況可以直接判斷單調(diào)性，這樣可以避免導(dǎo)數(shù)過(guò)程．變式與引申：若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，求四邊形的面積的取值范圍．例2、已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.例3、已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q做曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、切線方程、相互垂直的斜率之間的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力、推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出三角形的面積是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．例4、已知橢圓的焦距為2,離心率為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由橢圓的焦點(diǎn)為，離心率為，求出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)由題意，得、、、四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，得的方程為，直線的方程為，設(shè)，則，從而最大，就最大，可設(shè)直線的方程為，由，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出的面積的最大值.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達(dá)定理和三角形面積公式及單調(diào)性求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用函數(shù)單調(diào)法面積的最大值的.【擴(kuò)展鏈接】橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式：（1）橢圓：設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且，則（2）雙曲線：設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，且，則【新題展示】1．【2019】廣東江門調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，，，為不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，是軌跡上兩點(diǎn)，，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，將利用斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可得點(diǎn)P軌跡方程；（2）由斜率為1，設(shè)直線MN的方程與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，計(jì)算弦長(zhǎng)|MN|和點(diǎn)T到直線MN的距離，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)即可求出面積最大值．2．【2019四川成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二診】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)．若，求面積的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后求出，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而得到，于是可得橢圓的方程．（2）由題意直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，代入橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后通過(guò)換元法求出的范圍即可．3．【2019江西南昌一模】如圖，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點(diǎn)，與圓的另一交點(diǎn)為，求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得b＝1，a﹣1，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)l2⊥l1，可設(shè)直線l1，l2的方程，分別與橢圓、圓的方程聯(lián)立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值．4．【2019浙江溫州2月適應(yīng)性測(cè)試】如圖，A為橢圓的下頂點(diǎn)，過(guò)A的直線l交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．（I）求證：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是定值；（II）過(guò)點(diǎn)C作與直線l傾斜角互補(bǔ)的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使得△BMN的面積最大．【思路引導(dǎo)】（I）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上設(shè)出B的坐標(biāo)，可表示出C的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo)．（II）先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長(zhǎng)及到的距離，寫出面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最值及相應(yīng)的參數(shù)即可．5．【2019福建廈門第一次（3月)質(zhì)量檢查】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上焦點(diǎn)，上一點(diǎn)在軸上方，且．（1）求直線的方程；（2）為直線與異于的交點(diǎn)，的弦，的中點(diǎn)分別為，若在同一直線上，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)，可得，，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程；(2)利用點(diǎn)差法可得，又因?yàn)樵谕恢本€上，所以，所以，設(shè)出直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可表示面積，結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果．6．【2019湖南懷化一?！吭O(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為3．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）當(dāng)矩形的一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，可求出矩形的面積；當(dāng)矩形四邊斜率都存在時(shí)，不防設(shè)，所在直線斜率為，則，斜率為，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式等，即可求解．7．【2019江西上饒重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于，右焦點(diǎn)距最遠(yuǎn)處的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)（不在軸上），若，求四邊形面積的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）由已知得，即可得橢圓方程．（2）由題意設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得，，代入化簡(jiǎn)求最值即可．8．【2019安徽馬鞍山一?！恳阎獧E圓的方程為，離心率，且短軸長(zhǎng)為4．求橢圓的方程；已知，，若直線l與圓相切，且交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，記的面積為，記的面積為，求的最大值．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意列出有關(guān)a、b、c的方程組，求出a、b、c的值，可得出橢圓E的方程；設(shè)直線l的方程為，先利用原點(diǎn)到直線l的距離為2，得出m與k滿足的等式，并將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出弦CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后分別計(jì)算點(diǎn)A、B到直線l的距離、，并利用三角形的面積公式求出的表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)，利用基本不等式可求出的最大值。9．【2019山西晉中1月適應(yīng)性考試】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段長(zhǎng)度的最大值為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求面積的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)拋物線和橢圓的幾何性質(zhì)，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，易得的面積；當(dāng)，不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式，求得，同理求得，得到面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線通過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取最大值時(shí)，求直線的方程.2．已知拋物線，圓，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點(diǎn).求面積的最小值.3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：；（3）求面積的最大值．4．已知點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.5．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，從上一點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程和；（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，連接切點(diǎn)，分別交軸于點(diǎn)，求面積最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).6．如圖，已知橢圓：的離心率為，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，且直線的斜率等于直線斜率的2倍．（Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值；（Ⅱ）求三角形的面積的最大值．7．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值。8．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，、分別為兩個(gè)切點(diǎn)，求面積的最小值．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），離心率e=．（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l1：y=kx+m1與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，直線l2：y=kx+m2（m1≠m2）與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，如圖所示．①證明：m1+m2=0；②求四邊形ABCD的面積S的最大值．10．已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為2，以為中點(diǎn)的弦經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，其中點(diǎn)不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，射線與以圓心的圓交于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若四邊形是矩形，求圓的半徑；（Ⅲ）若圓的半徑為2，求四邊形面積的最小值.【題型綜述】1、面積問(wèn)題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長(zhǎng)度，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化3、面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)單，便于分析【典例指引】例1已知橢圓（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，直線（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，若存在關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．（I）求橢圓的方程；（II）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（III）用表示的面積，并判斷是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．，可得：，則有：（），故（III）法一（面積轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)）：，到的距離，，所以，設(shè)，，則，所以在上是減函數(shù)，所以面積無(wú)最大值．學(xué)&科網(wǎng)法二（面積坐標(biāo)化公式）：易得向量，，則有，因，在上均為減函數(shù)，則在上均為減函數(shù)，所以面積無(wú)最大值．可得的面積的取值范圍為．點(diǎn)評(píng)：（1）第二小問(wèn)分為兩個(gè)操作程序：=1\*GB3①據(jù)對(duì)稱性得到直線斜率與截距之間的關(guān)系；=2\*GB3②據(jù)位置關(guān)系構(gòu)建直線斜率與截距之間的不等關(guān)系．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸為垂直平分線，法一進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為等腰三角形，從而線段相等，利用兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)后得到交點(diǎn)坐標(biāo)縱橫坐標(biāo)之和及弦的斜率，故可以使用韋達(dá)定理整體代入．實(shí)際上所有使用韋達(dá)定理整體代入這個(gè)處理方式的標(biāo)準(zhǔn)是題意韋達(dá)定理化：=1\*GB3①條件與目標(biāo)均能化為交點(diǎn)坐標(biāo)和與積的形式；=2\*GB3②橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)；法二則點(diǎn)差法處理弦中點(diǎn)問(wèn)題．均可得到直線的斜率與截距之間的關(guān)系．構(gòu)建不等式的方式：法一根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，利用判別式構(gòu)建參數(shù)的不等式；法二根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)構(gòu)建參數(shù)的的不等式；故直線與橢圓相交可與點(diǎn)在橢圓內(nèi)等價(jià)轉(zhuǎn)化；（2）第三小問(wèn)分成兩個(gè)操作程序：=1\*GB3①構(gòu)建面積的函數(shù)關(guān)系；=2\*GB3②求函數(shù)的值域．法一利用底與高表示三角形面積，三角形的底則為弦長(zhǎng)，三角形高則為點(diǎn)線距離．法二利用三角形面積的坐標(biāo)公式，不管哪種面積公式，均會(huì)出現(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)之差，故從整道題全局來(lái)說(shuō)，第二問(wèn)使用韋達(dá)定理顯得更流暢，時(shí)分比更高，所以要注意方法的選擇與整合．關(guān)于分式型函數(shù)求最值，常見(jiàn)思路為：以分母為整體，分子常數(shù)化，往往化簡(jiǎn)為反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)及二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，本題這個(gè)函數(shù)形式并不常見(jiàn)．特別要注意基本函數(shù)的和與差這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)，特殊情況可以直接判斷單調(diào)性，這樣可以避免導(dǎo)數(shù)過(guò)程．學(xué)&科網(wǎng)變式與引申：若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，求四邊形的面積的取值范圍．例2、已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨取；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.解析：（1）由題意得，解得，學(xué)&科網(wǎng)化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離學(xué)&科網(wǎng)因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.學(xué)&科網(wǎng)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式等知識(shí)，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）利用分類與整合思想分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時(shí)，由舍而不求法求得，再求得點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.例3、已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q做曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)可得曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)，切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點(diǎn)，由，利用韋達(dá)定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達(dá)式，即可求解三角形的最小值．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程的求解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、切線方程、相互垂直的斜率之間的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力、推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出三角形的面積是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．例4、已知橢圓的焦距為2,離心率為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由橢圓的焦點(diǎn)為，離心率為，求出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)由題意，得、、、四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，得的方程為，直線的方程為，設(shè)，則，從而最大，就最大，可設(shè)直線的方程為，由，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出的面積的最大值.試題解析：(Ⅰ)由題意,,解得,由,解得;所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),則,即,,令,則,令,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,即當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,因此有；所以,當(dāng)時(shí)取等號(hào).學(xué)&科網(wǎng)故面積的最大值為3.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達(dá)定理和三角形面積公式及單調(diào)性求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用函數(shù)單調(diào)法面積的最大值的.【擴(kuò)展鏈接】橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式：（1）橢圓：設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且，則（2）雙曲線：設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，且，則【新題展示】1．【2019】廣東江門調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，，，為不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，是軌跡上兩點(diǎn)，，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，將利用斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可得點(diǎn)P軌跡方程；（2）由斜率為1，設(shè)直線MN的方程與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，計(jì)算弦長(zhǎng)|MN|和點(diǎn)T到直線MN的距離，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)即可求出面積最大值．【解析】（1）設(shè)為軌跡上任意一點(diǎn)，依題意，，整理化簡(jiǎn)得：（2）設(shè)由，得，設(shè)，則，，到直線的距離的面積設(shè)，解，得或或因?yàn)椋从星覂H有一個(gè)解，面積的最大值．2．【2019四川成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二診】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)．若，求面積的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后求出，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而得到，于是可得橢圓的方程．（2）由題意直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，代入橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后通過(guò)換元法求出的范圍即可．【解析】（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．∵，∴點(diǎn)P到直線的距離為，從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，又點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∴，∴，∴．∴，∴橢圓的方程為．（2）根據(jù)題意得直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，由消去整理得，顯然．設(shè)，則①∵，即，∴，代入①消去得．∵，∴，∴，解得．由題意得．令，則，∴，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，∴，即，∴．即面積的取值范圍為．3．【2019江西南昌一?！咳鐖D，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點(diǎn)，與圓的另一交點(diǎn)為，求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得b＝1，a﹣1，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)l2⊥l1，可設(shè)直線l1，l2的方程，分別與橢圓、圓的方程聯(lián)立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值．【解析】（1）橢圓E與圓O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；又橢圓E上動(dòng)點(diǎn)與圓O上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為，即橢圓中心O到橢圓最遠(yuǎn)距離為，得橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，即；所以橢圓E的方程：（2）①當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，l2與圓相切，不合題意．②當(dāng)l1⊥x軸時(shí)，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此時(shí)．…（6分）③當(dāng)l1的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l1：x＝my+1，m≠0，則，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，所以．由得，，解得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以（）綜上，△ABM面積的最大值為，此時(shí)直線l1的方程為．4．【2019浙江溫州2月適應(yīng)性測(cè)試】如圖，A為橢圓的下頂點(diǎn)，過(guò)A的直線l交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．（I）求證：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是定值；（II）過(guò)點(diǎn)C作與直線l傾斜角互補(bǔ)的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使得△BMN的面積最大．【思路引導(dǎo)】（I）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上設(shè)出B的坐標(biāo)，可表示出C的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo)．（II）先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長(zhǎng)及到的距離，寫出面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最值及相應(yīng)的參數(shù)即可．【解析】（Ⅰ）易知，不妨設(shè)，則，代入拋物線方程得：，得：，為定值．（Ⅱ）點(diǎn)是中點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線的方程：，即，不妨記，則：代入橢圓方程整理得：，設(shè)，則，，，到的距離，所以．取等號(hào)時(shí)，，得，所以，．5．【2019福建廈門第一次（3月)質(zhì)量檢查】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上焦點(diǎn)，上一點(diǎn)在軸上方，且．（1）求直線的方程；（2）為直線與異于的交點(diǎn)，的弦，的中點(diǎn)分別為，若在同一直線上，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)，可得，，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程；(2)利用點(diǎn)差法可得，又因?yàn)樵谕恢本€上，所以，所以，設(shè)出直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可表示面積，結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果．【解析】解法一：（1）設(shè)，因?yàn)椋寓儆忠驗(yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以②由①②解得：或，所以的坐標(biāo)為或又因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以直線的方程為或．（2）當(dāng)在第一象限時(shí)，直線設(shè)，則，兩式相減得：因?yàn)椴贿^(guò)原點(diǎn)，所以，即，同理：又因?yàn)樵谕恢本€上，所以，所以，設(shè)直線，由得：，由，得由韋達(dá)定理得：，，所以，又因?yàn)榈街本€的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最大值為3，當(dāng)在第二象限時(shí)，由對(duì)稱性知，面積的最大值也為3，綜上，面積的最大值為3．解法二：（1）同解法一；（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，直線由，得：，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為所以直線①當(dāng)直線斜率不存在或斜率為零時(shí)，不共線，不符合題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，由得：，由，得，由韋達(dá)定理，，，所以因?yàn)樵谕恢本€上，所以，解得，所以，，，所以又因?yàn)榈街本€的距離為所以當(dāng)，即時(shí)，面積的最大值為3，所以面積的最大值為3，當(dāng)在第二象限時(shí)，由對(duì)稱性知，面積的最大值也為3，綜上，面積的最大值為3．6．【2019湖南懷化一模】設(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為3．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）當(dāng)矩形的一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，可求出矩形的面積；當(dāng)矩形四邊斜率都存在時(shí)，不防設(shè)，所在直線斜率為，則，斜率為，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式等，即可求解．【解析】（1）由題設(shè)條件可得，，解得，∴，所以橢圓的方程為（2）當(dāng)矩形的一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，得矩形的面積當(dāng)矩形四邊斜率都存在時(shí)，不防設(shè)，所在直線斜率為，則，斜率為，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立可得，由，得顯然直線的直線方程為，直線，間的距離，同理可求得，間的距離為所以四邊形面積為（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）又，故由以上可得外切矩形面積的取值范圍是7．【2019江西上饒重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于，右焦點(diǎn)距最遠(yuǎn)處的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)（不在軸上），若，求四邊形面積的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）由已知得，即可得橢圓方程．（2）由題意設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得，，代入化簡(jiǎn)求最值即可．【解析】（1）由已知得，，（2）因?yàn)檫^(guò)的直線與交于兩點(diǎn)（不在軸上），所以設(shè)，設(shè)，則，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性易得當(dāng)即8．【2019安徽馬鞍山一?！恳阎獧E圓的方程為，離心率，且短軸長(zhǎng)為4．求橢圓的方程；已知，，若直線l與圓相切，且交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，記的面積為，記的面積為，求的最大值．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意列出有關(guān)a、b、c的方程組，求出a、b、c的值，可得出橢圓E的方程；設(shè)直線l的方程為，先利用原點(diǎn)到直線l的距離為2，得出m與k滿足的等式，并將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出弦CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后分別計(jì)算點(diǎn)A、B到直線l的距離、，并利用三角形的面積公式求出的表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)，利用基本不等式可求出的最大值?！窘馕觥吭O(shè)橢圓的焦距為，橢圓的短軸長(zhǎng)為，則，由題意可得，解得，因此，橢圓的方程為；由題意知，直線l的斜率存在且斜率不為零，不妨設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由于直線l與圓，則有，所以，．點(diǎn)A到直線l的距離為，點(diǎn)B到直線l的距離為，將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去y并整理得．由韋達(dá)定理可得，．由弦長(zhǎng)公式可得．所以，，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因此，的最大值為12．9．【2019山西晉中1月適應(yīng)性考試】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段長(zhǎng)度的最大值為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求面積的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)拋物線和橢圓的幾何性質(zhì)，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，易得的面積；當(dāng)，不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式，求得，同理求得，得到面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解．【解析】（1）∵的焦點(diǎn)為，∴橢圓的右焦點(diǎn)為，即，又的最大值為4，因此，∴，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)，為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，易得的面積為，②當(dāng)，不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：，由，得，所以，由，得直線的方程為：，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，綜上，面積的最小值為．10．【2019廣西柳州1月模擬】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交軌跡于，兩點(diǎn)，求三角形面積的取值范圍．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【思路引導(dǎo)】（1）處理向量等式，代入向量坐標(biāo)，計(jì)算方程，即可。（2）分直線斜率是否存在考慮，設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，用m表示三角形面積，換元，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，計(jì)算范圍，即可。【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，由，即化簡(jiǎn)得（2）由(1)知軌跡的方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)由得．則，，，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，綜上所述，三角形面積的取值范圍是【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線通過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或或【思路引導(dǎo)】（1）由已知可得解出即可（2）設(shè)，，聯(lián)立方程寫出韋達(dá)定理，由，，．求出表達(dá)式然后根據(jù)函數(shù)，.求得面積最大值從而確定直線方程，當(dāng)時(shí)，取到等號(hào).則:當(dāng)時(shí)，因?yàn)榫€段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)整理得．由得．學(xué)&科網(wǎng)又原點(diǎn)到直線的距離為．【點(diǎn)評(píng)】先根據(jù)定義列出相關(guān)等式，求解方程即可，對(duì)于直線與橢圓的綜合，要熟悉弦長(zhǎng)公式，，然后聯(lián)立方程寫出表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)特征求出最值從而確定參數(shù)的值得出結(jié)果.在做此類題型時(shí)計(jì)算一定要認(rèn)真仔細(xì).2．已知拋物線，圓，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點(diǎn).求面積的最小值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意可得，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)，表示出點(diǎn)，將其代入到拋物線方程中，即可得到拋物線的方程；（Ⅱ）由題意可設(shè)切線方程為：，進(jìn)而得到切線與x軸的交點(diǎn)為，由圓心到切線方程的距離為半徑，得到，由韋達(dá)定理，可得到的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求出面積最小值.試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則點(diǎn)在拋物線上，學(xué)&科網(wǎng)則，∴記，則，∵，∴在上單增，∴，∴，∴面積的最小值為．學(xué)&科網(wǎng)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查以拋物線與圓的方程為載體，考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓相切問(wèn)題，切線的性質(zhì)，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，正確利用已知條件轉(zhuǎn)化成一元二次方程，再利用韋達(dá)定理即可求出面積的函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：；（3）求面積的最大值．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）【思路引導(dǎo)】（1）由橢圓幾何意義得，解得（2）即證：，設(shè)，直線方程為，即證，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，代入化簡(jiǎn)即證（3）利用三角形面積公式得，再利用直線方程得，利用弦長(zhǎng)公式可得一元函數(shù)，利用換元可化為一元二次函數(shù)：，，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系可得最值（3）令則當(dāng)（滿足），所以的最大值為【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決.4．已知點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出F，由直線AF的斜率為，求得c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得|PQ|，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到l的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出k值，則直線方程可求．5．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，從上一點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程和；（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，連接切點(diǎn)，分別交軸于點(diǎn)，求面積最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），；（2）.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算即可解得；（2）寫出切線的方程，解得與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出面積公式進(jìn)而求解即可.試題解析：（1）由題知，整理得，點(diǎn)的軌跡方程是，在中，，即圓的半徑.（2）設(shè)點(diǎn).為圓的切線，6．如圖，已知橢圓：的離心率為，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，且直線的斜率等于直線斜率的2倍．（Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值；（Ⅱ）求三角形的面積的最大值．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由橢圓的方程可得點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求直線斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘積為定值-1；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，