提優(yōu)題型九 二次函數(shù)綜合題1 二次函數(shù)公共點問題（專題訓練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型一二次函數(shù)公共點問題（專題訓練）1.已知拋物線（，，是常數(shù)），，下列四個結論：①若拋物線經過點，則；②若，則方程一定有根；③拋物線與軸一定有兩個不同的公共點；④點，在拋物線上，若，則當時，．其中正確的是__________（填寫序號）．【答案】①②④【分析】①將代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，則原方程可化為x2+x-2=0，則一定有根x=-2；③當b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③錯誤；④若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因為a>0在對稱軸左側，函數(shù)單調遞減，所以當x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．【詳解】解：∵拋物線經過點∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正確；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正確；當b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③錯誤；若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因為a>0在對稱軸左側，函數(shù)單調遞減，所以當x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．故填：①②④．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質以及二元一次方程，靈活運用二次函數(shù)的圖像與性質成為解答本題的關鍵．2.已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．【答案】(1)①，②存在，點P坐標為(2，-3)或（，-），理由見解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設點M(m，m-3)點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內和CE在拋物線右側）進行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設點M(m，m-3)、點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點P坐標為(2，-3)或（，-）(2)解：把點D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點，分情況討論當CE在拋物線內時52+5b+3b-9<4解得：b<當CE在拋物線右側時，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關鍵是數(shù)形結合和分情況討論3.已知拋物線經過點（0，2），且與軸交于A、B兩點．設k是拋物線與軸交點的橫坐標；M是拋物線的點，常數(shù)m>0，S為△ABM的面積．已知使S=m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和．(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求的值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）將點（0，2）帶入直接求解；（2）找到三個點M的縱坐標之間的而關系，即可求解；（3）將函數(shù)轉化為方程，即可表示出，，帶入原式即可求解．(1)解：∵將點（0，2）帶入得：．(2)由（1）可知，拋物線的解析式為，∵當S=m時恰好有三個點M滿足，∴必有一個M為拋物線的頂點，且M縱坐標互為相反數(shù)．當時，．即此時M（，），則另外兩個點的縱坐標為．∴．(3)由題可知，，則∴則．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與方程的關系、代數(shù)式求值等，屬于綜合題目，靈活運用代數(shù)計算是解題的關鍵．4.已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設直線與拋物線交于點A、B，與拋物線交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)對稱軸，代值計算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結果（3）先根據(jù)求根公式計算出，再表示出，=，即可得出結論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對稱軸為直線，且當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大．當時，y1隨x1的增大而減小，時，，時，同理：時，y2隨x2的增大而增大時，．時，（3）令令AB與CD的比值為【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質是關鍵，利用交點的特點解題是重點5.拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于直線上方的一點，與相交于點E，當時，求點P的坐標；（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，將拋物線沿方向平移，使點D落在點處，且，點M是平移后所得拋物線上位于左側的一點，軸交直線于點N，連結．當?shù)闹底钚r，求的長．【答案】（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得；（2）設點的坐標為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點的坐標，代入直線的解析式求解即可得；（3）先根據(jù)求出點的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設點的坐標，從而可得點的坐標，然后根據(jù)兩點之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短求解即可得．【詳解】解：（1）由題意，將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）對于二次函數(shù)，當時，，解得或，，設點的坐標為，點的坐標為，，，解得，，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，將點代入得：，解得或，當時，，此時，當時，，此時，綜上，點的坐標為或；（3）二次函數(shù)的頂點坐標為，設點的坐標為，，，解得，，則平移后的二次函數(shù)的解析式為，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，則點的坐標為，如圖，連接，過點作于點，過點作于點，交于點，連接，，軸，，，由兩點之間線段最短得：的最小值為，由垂線段最短得：當點與點重合時，取得最小值，此時點與點重合，則點的縱坐標與點的縱坐標相等，即，解得，則，，．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識點，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關鍵．6.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且經過點，．（1）求的值（用含的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)在時，的最大值為1，求的值；（3）將線段向右平移2個單位得到線段．若線段與拋物線僅有一個交點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點A、B的坐標代入即可（2）根據(jù)拋物線圖像分析得在范圍內，的最大值只可能在或處取得，進行分類討論①若時，②若，③，計算即可（3）先利用待定系數(shù)法寫出直線AB的解析式，再寫出平移后的解析式，若線段與拋物線僅有一個交點，即方程在的范圍內僅有一個根，只需當對應的函數(shù)值小于或等于0，且對應的函數(shù)值大于或等于即可．【詳解】（1）∵拋物線過點，，∴，∴，∴．（2）由（1）可得，在范圍內，的最大值只可能在或處取得．當時，，當時，．①若時，即時，得，∴，得．②若，即時，得，此時，舍去．③，即時，得，∴，，舍去．∴綜上知，的值為．（3）設直線的解析式為，∵直線過點，，∴，∴，∴．將線段向右平移2個單位得到線段，∴的解析式滿足，即．又∵拋物線的解析式為，∴．又∵線段與拋物線在