第6章 圖形的相似單元檢測卷02（解析版）2021-2022學年九年級數(shù)學下冊同步備課系列（蘇科版）

【上好課】2021-2022學年九年級數(shù)學下冊同步備課系列（蘇科版）

第6章圖形的相似單元檢測卷02

一、單選題（共24分）

1.（本題3分）（2021?山東?鄴城縣教學研究室）如圖，△AC。和AABC相似需具備的條件是（）

C.AC2=AD-ABD.CD2=AD-BD

【答案】C

【詳解】

解：?.?在△AC。和"BC中，〃=〃，

ArAD

二根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：大，

ABAC

：.AC2=AD-AB.

故選：C.

2.（本題3分）（2021.吉林?長春市凈月實驗中學）如圖，在平面直角坐標系中，△0A3的頂點A在x軸

2

上，頂點8在第一象限，A5”軸，函數(shù)y=—（x>0）的圖象經(jīng)過邊05上的一點C若BC=2OC,

x

則△QAB的面積為（）

A.9B.4C.4.5D.3

【答案】A

【詳解】

解：如圖作CO”軸垂足為Q,

2

,函數(shù)'=-(x>0)的圖象經(jīng)過點C,

x

??S^ODC=~x2=l,

?：BC=20C,

：.B0=30C,

-CD\\AB9

:.△OCD?△OBA9

SOCD

.^=(—)2=(1)2=1

"S"°BAOB39，

:?S&OBA=9S&ODE=9,

故選：A.

3.體題3分）（2021?江蘇?南通田家炳中學）如圖，兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（)

A.點NB.點OC.點、MD.點P

【答案】D

【詳解】

解：如圖，位似中心是點P.

故選D.

4.（本題3分）（2021.河北?廣平縣第二中學）如圖，在“8C中，點。，E分別在AB,AC上，zAED

=4&如果AE=2,4AOE的面積為4,四邊形BCEO的面積為21,那么A8的長為（）

A.5B.12.5C.25D.而

【答案】A

【詳解】

解：-zAED=z.B,且乙DAE=cCAB,

.,.△ADE-AACB,

S"DE_,4￡X2

二二=而

???SA4OE=4,S四邊形BCDE=21,

???S^ABC=S~W6"S四邊形BCDE=4+21=25,

4,2、2

—=（--）,

25AB

.*.AB=5,

故選：A.

5.（本題3分）（2021.云南省楚雄天人中學九年級期中）如圖，直線4〃/2〃L直線明與/］、4、4

分別交于點A、B、。和點。、E、F,若AB:8c=1:2,DE=2,則E尸的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】

解：,:直線川口回

DEAB1

--=---=一，

EFBC2

:.EF=2DE=2義2=4.

故選：C.

6.（本題3分）（2021?北京?九年級單元測試）如圖所示，王華晚上由路燈A下的8處走到C處時，測

得影子的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是

1.5米，那么路燈A的高度A8等于（）

A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米

【答案】B

【詳解】

解：如圖所示，GC1BC,ABLBC,

王華的身高一路燈的高度

''王華的影長-路燈的影長'

當王華在CG處時，RtxDCGsRmDBA,即空=空，

DBAB

當王華在E4處時，RMFEHsRtxFBA,即第=鋰=當,

CDEF

~BD~~BF

???CG=EH=1.5米，CO=1米，CE=3米，E/=2米，

設(shè)AB=x,BC=y,

1_2

-y+1y+5，

解得y=3,

則u=;,

x4

解得，x=6米.

即路燈A的高度A8=6米.

故選：B.

7.（本題3分）（2021?山西鹽湖?九年級期中）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比為2：5,其中一個三

角形的一個內(nèi)角的角平分線長為7,則另一個三角形對應(yīng)角平分線的長為（）

A.y35B.y14C.,35或114D.無法確定

【答案】C

【詳解】

解：設(shè)另一個三角形的對應(yīng)角平分線的長為X,

?.?兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比為2：5,

.??它們對應(yīng)的一個內(nèi)角的角平分線的長的比為2：5,

???其中一個三角形的一個內(nèi)角的角平分線長為7,而這條角平分線可能是大三角形的也可能是小三角形

的,

x2?x5

???三=二或三=:，

7572

1435

52

故選c.

8.（本題3分）（2021.山西洪洞.九年級期中）如圖，在鈍角三角形A8C中，AB=6cm,AC=Ucm,動

點D從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B運動，同時動點E從點C出發(fā)沿CA以2cm/s的速度向

點A運動，當以A,D,E為頂點的三角形與AABC相似時，運動時間是（）

A.3s或4.8sB.3sC.4.5sD.4.5s或4.8s

【答案】A

【詳解】

解：由題意得：AD=rem,CE=2rcm,

二AS=AC-CE=(12-2f)cm

當△AOE-ZiABC時，

AEAD12-2/t

—=—即Hn-----=-,

ACAB126

解得f=3；

當△AO4M4CB時，

AEAD?\2-2tt

——=——即n-----=—,

ABAC612

解得t=4.8；

綜上所述，當運動時間是3s或4.8s時，以A,D,E為頂點的三角形與AABC相似,

故選A.

A

D

BC

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想進行求解.

二、填空題（共3。分）

9.（本題3分）（2021?福建建寧?九年級期中）延長線段到C,使8c=248,則AC：BC=

【答案】3：2

【分析】

根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形，則可求得AC=3A8,由此即可求得答案.

【詳解】

解：如圖：

ABC

.BC=2AB,

：,AC=BC+AB=3AB1

.-.AC：BC=3ABtBC=3：2,

故答案為：3：2.

【點睛】

本題考查了線段的比，畫出相應(yīng)圖形是解決本題的關(guān)鍵.

10.（本題3分）（2021.湖南.衡陽市實驗中學）如果兩個相似三角形的周長比是1：血，那么這兩個相似

三角形的面積比是.

【答案】1：2

【詳解】

???兩個相似三角形的周長比為1：五,

，兩個三角形的邊長之比為1：0,

I21

兩個三角形的面積比即為西2

故答案為：I：2.

11.（本題3分）（2021.陜西師大附中九年級期中）已知四邊形ABC。-四邊形AQC'O,相似比為3:4,

其中四邊形A8C。的周長為18cm,則四邊形AB'C'。'的周長為cm.

【答案】24

【詳解】

解：???四邊形ABC。，四邊形AB'C'O,相似比為3:4,

，它們的周長比=3:4,

???四邊形ABC。的周長為18cm,

二四邊形AB'CD'的周長=土4.v黃1e=24cm,

故答案是:24.

12.（本題3分）（2021?山西鹽湖?九年級期中）某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡

設(shè)計為整個車身黃金分割點的位置（如圖），若車頭與倒車鏡的水平距離為L58機，則該車車身總長約

為m.（結(jié)果精確到0.（）1加）

【答案】4.14

【詳解】

解：設(shè)該車車身總長為xm,

?.?汽車倒車鏡設(shè)計為整個車身黃金分割點的位置，

汽車倒車鏡到車尾的水平距離為0.618%,

.?..L0.618X=1.58,解得戶4.14,

即該車車身總長約為4.14米.

故答案是：4.14.

13.（本題3分）（2021?上海市奉賢區(qū)實驗中學）如圖，梯形A8C。中，AD//BC,對角線AC、DB交于

點O,如果S^AOD：SHABD—2：5,那么SAAOD：SABOC=___.

【答案】4：9

【詳解】

解:???在梯形ABCZ）中，AD\\BC,而且SAA。。：SAABO=2：5,

.-.OD：BD=2：5；OD：BO=2：3；

■.■AD\\BC,

；，AAODs4BOC,

■OD：80=2：3,

二SAA。。：SASOC4=4：9.

故答案為：4：9.

14.（本題3分）（2021?廣東高州?）如果△ABCs^AEC,相似比為3：2,若它們的周長的差為40厘米，

則VAEC/的周長為厘米.

【答案】80

【詳解】

設(shè)VAEC的周長為x厘米

v^ABC^A'B'C'，且相似比為3：2

.?.△ABC的周長:VA5c的周長=3：2

??.△ABC的周長為厘米

3

由題意得：|x-x=40

解得:x=80

即VAEC的周長為80厘米

故答案為：80

15.（本題3分）（2021?河南唐河?）如圖，在直角坐標系中，已知點A（2,0）,B（0,4）,在x軸上

找到點C（1,0）和y軸的正半軸上找到點。，使AAOB與A。。。相似，則。點的坐標是—.

【答案】（0,；）或（0,2）

【詳解】

解：若△AOBSZXDOC,其中N8=NOC￡）,

.OCOD1OD

,?=,nn-=.

OBOA42

:.OD=~.

2

.?.0（0,^）,

若AAOBS^COD,其中ZB=NODC,

OCOD1OD

——=——，H即n一=—.

OAOB24

可得以0⑵.

綜上所述，。點的坐標是（0,；）或（0,2）.

故答案是：（0,；）或（。，2）.

16.（本題3分）（2021?上海市南洋模范初級中學九年級期中）如圖是裝了液體的高腳杯示意圖，用去

一部分液體后，此時液面A8=—.

【答案】3cm

【詳解】

如圖，過點E作EF1CE于F,過點M作MML4B于N

貝I」Er=15-7=8(cm),MN=\l-7=4(cm)

"MABs〉ECD

AB_MN

CD-EF

3鱉生*3(cm)

EF8

即液面AB的寬度為3cm.

17.（本題3分）（2021?上海市松江九峰實驗學校）如圖，將矩形紙片4BCO折疊，使點A與點C重合,

折痕E尸與AC相交于點O,連接80.若A8=4,CF=5,則08的長為

【答案】2y/5

【詳解】

解：連接AF,過。作?！╛L8C于〃，如圖:

???將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕EF與AC相交于點O,

.\AF=CF=5,OA=OCf

在RaAB/中，BF=y/AF2-AB2=752-42=3?

.-.BC=BF+CF=8,

?.OA=OC,0H1BC,ABJLBC,

???O為AC中點，O”I|A8,

CHCO1

???-=-----=-,

BHAO1

??.”為3C中點，

??.0”是△ABC的中位線，

；.BH=CH=^BC=4,0H=^AB=2,

在RtABOH中，0B=^BH2+OH2=742+22=2班,

故答案為：2石.

18.（本題3分）（2021.上海徐匯?九年級期中）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個互相沒有重

合部分的等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線（如圖1所示）.如圖2,已知在AA3C

中，AC=2,BC=3,NC=2NB,則“ABC的三分線中，較短的那條長為.（只需寫出一種

情況即可）.

【詳解】

解：如圖2所示,CD、AE就是所求的三分線.

圖2

設(shè)=則/DCB=N￡>C4=/E4C=a,ZADE^ZAED^2a,

此時AA￡CS?)C,AACD^AABC,

設(shè)AE=AD=x,BD=CD=y,

,:AAECS^BDC,

z.x:y=2:3,

?.△AfABC,

「.2:x=(x+y):2,

所以聯(lián)立得方程組［2x::xy=(2x:+3y):2,

x=—^/^0

解得：，

y=-V10

即較短的那條長為|ji6.

故答案為：

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解方程組等知識，解題關(guān)鍵是正確作出圖

像.

三、解答題(共66分)

19.體題8分)(2021.安徽埔橋.)如圖，在“BC中，D,E分別是A3,AC上的點，DC交BE于點F,

且AZ)=gAB,|EC.

(1)求證：ADEFSACBF；

(2)DF-BF=EF-CF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】

解：⑴-.-AE=^EC

1ATi

/.AE=-ACBP—=-

3fAC3

AD=-AB

3

ADAE1

-AC-3

又???ZA=ZA

.-.△ADE^AABC

?./ADE=/ABC

：.DE//BC

???AD￡F0°ACBF

（2）由（1）得△DEFsMBF

DFEF

*FC-BF

:,DF?BF=EF*CF

20.（本題8分）（2021.江蘇惠山.九年級期中）如圖，在矩形A8C。中，已知AO>AB.在邊AO上取

點E,連結(jié)CE.過點E作E/UCE,與邊48的延長線交于點凡

(1)求證：xAEFs&DCE.

(2)若A8=3,AE=4,DE=6,求線段5廠的長.

【答案】(1)見解析；(2)5

【詳解】

(1)證明：???四邊形A3。是矩形,

.-.ZA=Z￡>=90°,.-.ZA￡F+ZF=90°

■.■EFA.CE,ZCED+ZAEF=90°

NCED=NF,

^AEF^>MX：E.

(2)Y^AEFSSDCE.

.AEAF

??----------,

DCED

???AB=8=3,AE=4,A￡>=10,

/.DE=6,

43+BF

??-=----,

36

:.BF=5.

答：線段8尸的長為5.

21.(本題8分)(2021?河南泌陽?)如圖，在MBC中，是8c邊上的中線，且AD=AC,DEA.BC,

。￡與48相交于點E,EC與AO相交于點?

(1)求證：4FCD~AABC；

(2)過點A作AML3C于點M,求。E：AM的值；

(3)若SAFCD=10,8c=16,請直接寫出OE的長.

【答案】⑴見解析；⑵坐'=4；⑶

AM33

【詳解】

(1)證明：???。是5c邊上的中點，DElfiC,

.?.BD=DC,乙EDB=^EDC=90°,

又?：DE=DE,

：.LBDE^LCDE(SAS),

???乙B=^DCE,

-AD=AC,

^￡ADC-ZJ\CB,

:AABCFFCD；

(2)解：:AD=AC,AMLDC,

：.DM=-DC,

2

：BD=DC,

BD2

=，

BM3

vDElBC,AMLBC,

???OE||AM,

DEBD_2

(3)過點A作AM_LBC,垂足是M,

?sABCsbFCD,BC=2CD,

?晨町=4

S&FCD

??,SAFCD=10,

???S~IBC=40,又BC=16,

???AM=5；

-DE\\AMf

DEBD

vBD=CD=-BC=S,DM=-CD=4,BM=BD+DM=12,

22

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了三角形的面積公式求

線段的長.

22.（本題10分）（2021?四川?成都教育科學研究院附屬學校）如圖1,"BC中，A8=AC,點。在A4

的延長線上，點E在上，連接￡）E、DC,DE交AC于點、G,JiDE=DC.

（1）請證明乙4c￡>=/&）￡；

（2）若A8=mA￡>,求器的值（用含，"的式子表示）

GE

BE

（3）如圖2,將AABC沿翻折，若點A的對應(yīng)點A恰好落在QE的延長線上，求二的值.

【答案】（1）見解析；（2）」一；（3）匕好

m2

【詳解】

解：(1)-AB=AC,

：.4B=ZACB,

?:DE=DC,

:./DEC=ZDCE,

:?ZB+ZBDE=ZACB+ZACD,

:"BDE=ZACD

(2)如圖，過點￡作所〃AC交AB于點片

:?ZEFD=/CAD,

在△瓦D與△ZMC中,

NEFD=NCAD

<ZBDE=ZACDf

DE=DC

??.△EFQ?△￡>AC(AAS),

FD=AC=AB,

??,AB=tnAD,

:,FD=mAD,

AF=FD-AD=(m-\)AD,

-EF//AC,

DGDA1

"~GE~~AF~m-\'

(3)設(shè)AG=a,GC=b,貝ljAC=AG+GC=a+8,

由(1)可知ZA￡)G=N4C￡>,

XvZCWG=ZC4￡>,

ZWX^AACD,

AGAD

:.----=-----,

ADAC

aAD

:.----=------,

ADa+b

解得：3師硒(舍負)，

-AB=ACf

ZABC=ZACB,

由題意可得：AC=A'C=AB=a+b,ZACB^ZACB,

:.ZACB=ZABC,

：.BD//AC,

BEBDa+h+Ja(a+b)&

:.----=-----=---------X----------=1+,

ECA!Ca+bJa+h

同理可得：AB//AC,

BEArBa+h,a

???——=——=-----=1+-,

ECCGbb

.4a.a

1H-]?=14,

\/a+bb

整理得：a2+ab-b2=O,

解得：（舍負）,

BE,a1+75

——=1+-=--------

ECb2

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的

判定與性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，熟練掌握它們的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

23.（本題10分）（2021.全國.九年級課時練習）如圖所示，AD.8C為兩路燈，身高相同的小明、小亮

站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5相，小明站在P處，小亮站在。處，小明在路燈C下的影長為2租，

已知小明身高18",路燈BC高9m.

①計算小亮在路燈。下的影長；

②計算建筑物AO的高.

【答案】①BQ=L5；②D\=12.

【分析】

解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解.

【詳解】

(l)-：EP±AB,CBLAB,

???ZEPA=ZCBA=90

???ZEAP=ZCABf

:?AEAPSACAB

EPAP

1.82

"V-AB

.*.AB=10

80=10—2—6.5=1.5；

（2）-HQLAB,DA±AB,

??.NHQB=NOA3=9（T

?：/HBQ=/DBA,

???ABHQSABDA

HPBQ

'DA-AB

1.8二1.5

'DA-To

???D4=12.

【點睛】

本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行求解..

24.（本題10分）（2021?寧夏?銀川市第十五中學）如圖，在心々4BC中,N3=90。,3。=56,/。=30。.點

。從點C出發(fā)沿C4方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動，同時點￡從點A出發(fā)沿A8方向

以每秒1個單位長度的速度向點3勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)

點。，E運動的時間是左（，＞0）.過點。作。尸，5c于點F,連接OEM.

(1)求證：AE=DFi

(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的，值；如果不能，說明理由;

(3)當1為何值時，△血>與AABC相似？請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)號；(3)，為|或4時，和AABC相似.

【詳解】

解：(1)證明：由運動知，AE=t,CD=2t,

；DF1BC,

.z￡>FC=90°,

在R/△。尸C中，zC=30°,

：.DF=^CD=t,

.-.AE=DF；

(2)由(1)知，AE=DF,zPFC=90°,

?.28=9()。，

：.AE\\DF,

???四邊形AEF。是平行四邊形，

在MAABC中，NB=90o,BC=5x/J,NC=30。

設(shè)AB=x,則AC=2x

?:AB2+BC2=AC2

.-.X2+(5>/3)2=(2X)2

解得，x=5

???4B=5,AGIO

???四邊形AEED是菱形，

.\AE=AD,

?MD=AC-CD=10-2r,AE=t,

gO2,

10

"/=T,

故答案為§；

(3)/為|■或4時，A4EO和△ABC相似；理由:

???△AEO和AABC相似，

AEAD…AEAD

■■,--或---——=

ABACACAB，

t_10-?/.t10-2/

或r77；=

510105

5會“

?,?/=—或f=4.

2

?:點D,E分別在AC,45邊上,

.-.0<r<5,

即f為1?或4時，和"8C相似.

【點睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì),

用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

25.(本題12分)(2021?江蘇阜寧?一模)定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平

分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,NE是AABC中4A的遙望角，若4A=a,請用含a的代數(shù)式表示/E.

(2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交于點F,

連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點E.求證：ZBEC是^ABC中4BAC的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)AE,AF,若AC是的直徑.

①求NAED的度數(shù);

②若AB=8,CD=5,求ADEF的面積.

圖1圖2圖3

【答案】⑴zE=”⑵見解析；⑶①ZAED=45。；②署

【詳解】

解：(1)rBE平分/ABC,CE平分NACD,

...4E=NECD-/EBD=!(ZACD-zABC)=-ZA=-a

222

(2)如圖1