甘肅省武威十八中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省武威十八中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．82．有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是A．4 B．5 C．6 D．73．在中，角的對邊分別是，若，則（）A． B．或 C．或 D．4．某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：)進行檢測，如下圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.755．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．6．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．67．已知中，，，，則BC邊上的中線AM的長度為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．9．若點在圓外，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．或10．下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期為________12．在半徑為的球中有一內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直底面），當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是__________．13．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為________.14．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．15．已知角的終邊上一點P落在直線上，則______.16．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則為______三角形．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量,滿足,,.(1)求向量,所成的角的大小;(2)若,求實數(shù)的值.18．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值.19．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取2名傳授經(jīng)驗，求選取的2名工人在同一組的概率.20．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員在處先看到山頂?shù)母┙菫?8°30′，經(jīng)過后又在處看到山頂?shù)母┙菫?1°（1）求飛機在處與山頂?shù)木嚯x（精確到）；（2）求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到）參考數(shù)據(jù)：，21．如圖,在直三棱柱中,,二面角為直角,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)求直線與平面所成的角.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運算得答案．【題目詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【題目點撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查向量垂直的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)相鄰正方體的關(guān)系得出個正方體的棱長為等比數(shù)列，求出塔形表面積的通項公式，令，即可得出的范圍．【題目詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴是以4為首項，以為公比的等比數(shù)列∴塔形的表面積為.令，解得.∴塔形正方體最少為6個.故選C.【題目點撥】此題考查了立體圖形的表面積問題以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是得到上下正方體的棱長之間的關(guān)系，從而即可得出依次排列的正方體的一個面的面積，這里還要注意把最下面的正方體看做是6個面之外，上面的正方體都是露出了4個面．3、D【解題分析】

直接利用正弦定理，即可得到本題答案，記得要檢驗，大邊對大角.【題目詳解】因為，所以，又，所以，.故選：D【題目點撥】本題主要考查利用正弦定理求角.4、C【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出．根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻率相等，列出等式，求出中位數(shù)即可．【題目詳解】：根據(jù)頻率分布直方圖，得平均數(shù)為1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位數(shù)應(yīng)在20～21內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.1．故選C．【題目點撥】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5、C【解題分析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【題目點撥】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

設(shè)點，根據(jù)條件知點均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標(biāo)式子進行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關(guān).【題目詳解】設(shè)，，均在圓上，且，設(shè)的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設(shè)到直線的距離分別為，，，.【題目點撥】利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)，才能看出目標(biāo)式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.7、A【解題分析】

利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和，求的長．【題目詳解】延長至，使，連接、，如圖所示；由題意知四邊形是平行四邊形，且滿足，即，解得，所以邊上的中線的長度為．故選：A．【題目點撥】本題考查平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和應(yīng)用問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力．8、D【解題分析】

根據(jù)二倍角公式先化簡，再根據(jù)即可?！绢}目詳解】由題意得，所以周期為.所以選擇D【題目點撥】本題主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。屬于基礎(chǔ)題。9、C【解題分析】

先由表示圓可得，然后將點代入不等式即可解得答案【題目詳解】由表示圓可得，即因為點在圓外所以，即綜上：a的取值范圍是故選：C【題目點撥】點與圓的位置關(guān)系（1）在圓外（2）在圓上（3）在圓內(nèi)10、A【解題分析】試題分析：對A，函數(shù)在上為增函數(shù)，符合要求；對B，在上為減函數(shù)，不符合題意；對C，為上的減函數(shù)，不符合題意；對D，在上為減函數(shù)，不符合題意.故選A.考點：函數(shù)的單調(diào)性，容易題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)的最小正周期判斷即可.【題目詳解】因為的最小正周期均為,故的最小正周期為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了正切余切函數(shù)的周期,屬于基礎(chǔ)題型.12、【解題分析】

根據(jù)正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關(guān)系，利用基本不等式得到，得到側(cè)面積最大值為；根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結(jié)果.【題目詳解】設(shè)球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側(cè)面積：球的表面積：當(dāng)正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查多面體的外接球的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)外接球半徑構(gòu)造出關(guān)于正棱柱底面邊長和高的關(guān)系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應(yīng)用.13、4【解題分析】

將變形為，展開，利用基本不等式求最值.【題目詳解】解：，當(dāng)時等號成立，又，得，此時等號成立，故答案為：4.【題目點撥】本題考查基本不等式求最值，特別是掌握“1”的妙用，是基礎(chǔ)題.14、如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【解題分析】

將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【題目詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【題目點撥】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.15、【解題分析】

由于角的終邊上一點P落在直線上，可得，根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)基本關(guān)系，可得，代入，可求得結(jié)果.【題目詳解】因為角的終邊上一點P落在直線上，所以，.故答案為：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，巧用“1”是解決本題的關(guān)鍵.16、等腰或直角【解題分析】

根據(jù)正弦定理化簡得到，得到，故或，得到答案.【題目詳解】利用正弦定理得到：，化簡得到即故或故答案為等腰或直角【題目點撥】本題考查了正弦定理和三角恒等變換，漏解是容易發(fā)生的錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）化簡即得向量,所成的角的大?。唬?）由，可得，化簡即得解.【題目詳解】解：（1）由，可得．即，因為，所以，又因為，，代入上式，可得，即．（2）由，可得．即，則，得．【題目點撥】本題主要考查數(shù)量積的運算和向量的模的運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，可得，結(jié)合范圍，可求的值．（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面積公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，，并將其代入可得，然后再化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得面積的最大值．【題目詳解】解：（I）因為，由正弦定理可得：，所以所以，即，，所以，可得：，所以，所以，可得：（II）方法1：由余弦定理得：，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以△ABC面積的最大值為方法2：因為，所以，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，當(dāng)時取等號.所以△ABC面積的最大值為.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）第1組：2；第2組：8,；第3組：9；第4組：3；第5組：3（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.然后根據(jù)分層抽樣的計算方法，計算出每組抽取的人數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】（1）：，.用分層抽樣比較合適.第1組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第2組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第3組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第4組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第5組應(yīng)抽取的人數(shù)為.（2）（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中，第4組有3人，記這3人分別為，第5組有3人，記這3人分別為.從這6人中隨機選取2名，所有的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，共有15個基本事件.選取的2名工人在同一組的基本事件有，，，，，共6個，故選取的2名工人在同一組的概率為.【題目點撥】本小題主要考查補全頻率分布，考查分層抽樣，考查古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）14981m（2）【解題分析】

（1）先求出飛機在150秒內(nèi)飛行的距離，然后由正弦定理可得；（2）飛機，山頂?shù)暮０蔚牟顬?，則山頂?shù)暮０胃叨葹椋绢}目詳解】解：（1）飛機在150秒內(nèi)飛行的距離為，在中，由正弦定理，有，∴；（2）飛機，山頂?shù)暮０蔚牟顬?，，?/p>