安徽省示范中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

安徽省示范中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數(shù)和眾數(shù)都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差2．如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)100米到達(dá)后，又測得對于山坡的斜度為，若米，山坡對于地平面的坡角為，則（）A． B． C． D．3．我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸意思是：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長度差為分；且“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分；“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分則“立春”時(shí)日影長度為A．分 B．分 C．分 D．分4．經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．5．設(shè)向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影為A．1 B． C． D．6．從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球”中的()A．①② B．①③C．②③ D．①②③7．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．8．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則（）A．60 B．75 C．90 D．1059．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形10．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．己知函數(shù)，有以下結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線軸對稱②在區(qū)間上單調(diào)遞減③的一個(gè)對稱中心是④的最大值為則上述說法正確的序號為__________（請?zhí)钌纤姓_序號）.12．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓，設(shè)，則陰影部分的面積是__________.13．已知向量，，且與垂直，則的值為______.14．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點(diǎn)共線則m的值為________.15．若圓與圓的公共弦長為，則________.16．已知一個(gè)鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．18．某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)為3元，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)售價(jià)為4元時(shí)，可賣出280桶；若銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶，則這個(gè)經(jīng)營部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？19．設(shè)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．已知圓心為的圓過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)。（1）求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，且對于圓上任一點(diǎn)，線段上存在異于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得（為常數(shù)），試判斷使的面積等于4的點(diǎn)有幾個(gè)，并說明理由。21．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯(cuò)誤；對于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)、眾數(shù)都是26，C正確，對于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及數(shù)據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

先在中利用正弦定理求出BC的值，再在中由正弦定理解出，再計(jì)算．【題目詳解】在中，，在中，，又∵，∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

首先“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分，“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分，即可求出,進(jìn)而求出立春”時(shí)日影長度為.【題目詳解】解：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長度差為分，且“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分；“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分．，解得，“立春”時(shí)日影長度為：分．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．4、B【解題分析】

設(shè)出圓心坐標(biāo)，由圓心到切線的距離和它到點(diǎn)的距離都是半徑可求解．【題目詳解】由題意設(shè)圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求出圓心坐標(biāo)與半徑是求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法．5、D【解題分析】

先由題中條件，求出向量的數(shù)量積，再由向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出投影.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故向量在向量方向上的投影?故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記平面向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于常考題型.6、A【解題分析】試題分析：結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，即可得出結(jié)論解：根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件、對立事件的定義可得，事件“兩球都為白球”和事件“兩球都不是白球”；事件“兩球都為白球”和事件“兩球中恰有一白球”；不可能同時(shí)發(fā)生，故它們是互斥事件．但這兩個(gè)事件不是對立事件，因?yàn)樗麄兊暮褪录皇潜厝皇录蔬xA考點(diǎn)：互斥事件與對立事件．7、A【解題分析】

由三角形大邊對大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】的最小角為角，則故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形的問題，關(guān)鍵是明確三角形中大邊對大角的特點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得所求角的余弦值.8、B【解題分析】

由條件，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】，即，而，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力與推理能力，屬于中檔題.9、B【解題分析】

由向量的減法法則，將題中等式化簡得，進(jìn)而得到，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，得的形狀是直角三角形。【題目詳解】因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以，得的形狀是直角三角形。【題目點(diǎn)撥】本題給出向量等式，判斷三角形的形狀，著重考查平面向量的加法、減法法則和三角形的形狀判斷等知識。10、C【解題分析】

由二倍角公式可得，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，，即，．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進(jìn)行三角恒等變換，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】，根據(jù)圖像知：①的圖象關(guān)于直線軸對稱，錯(cuò)誤②在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確③的一個(gè)對稱中心是，錯(cuò)誤④的最大值為，正確故答案為②④【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)的綜合理解和應(yīng)用.12、【解題分析】

：設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn),連接,可得直角扇形的面積等于以為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，平分,可得陰影部分的面積.【題目詳解】解：設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn)，連接,,∴直角扇形的面積等于以為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，由對稱性可得：平分,故陰影部分的面積是：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形的計(jì)算公式，相對不難.13、【解題分析】

根據(jù)與垂直即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值．【題目詳解】；；．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14、-3【解題分析】

根據(jù)三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系即可得出．【題目詳解】kAB=-2-33-(-2)=-1，k∵A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三點(diǎn)共線，∴﹣1=-3-m6，解得m＝故答案為-3．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】將兩個(gè)方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應(yīng)填．16、.【解題分析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【題目詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，；（2）【解題分析】

（1）對遞推式兩邊取倒數(shù)化簡,即可得出，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂項(xiàng)相消法求出，使用不等式得出的范圍，從而得出的范圍．【題目詳解】（1）∵，兩邊取倒數(shù),∴，即，又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜對一切恒成立，則．∴的范圍為:．【題目點(diǎn)撥】本題考查了構(gòu)造法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．18、定價(jià)為每桶7元，最大利潤為440元.【解題分析】

若設(shè)定價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加元，日銷售利潤為元，則，其中，整理函數(shù)，可得取何值時(shí)，有最大值，即獲得最大利潤【題目詳解】設(shè)定價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加元，日銷售利潤為元，則，由于，且，所以，；即，．所以，當(dāng)時(shí)，取最大值．此時(shí)售價(jià)為，此時(shí)的最大利潤為440元.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、【解題分析】試題分析：（1）結(jié)合數(shù)列遞推公式形式可知采用累和法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解時(shí)需結(jié)合等比數(shù)列求和公式；（2）由得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求和時(shí)采用錯(cuò)位相減法，在的展開式中兩邊同乘以4后，兩式相減可得到試題解析：（1）由已知，當(dāng)時(shí)，==，．而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由知…①……7分從而……②①②得，即．考點(diǎn)：1．累和法求數(shù)列通項(xiàng)公式；2．錯(cuò)位相減法求和20、（1）（2）使的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè)【解題分析】

（1）利用條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓過點(diǎn)求t，確定圓方程.（2）設(shè)，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，建立ON方程，,再利用面積求點(diǎn)P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關(guān)系可得結(jié)論.【題目詳解】（1）依題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則半徑為，圓的方程可寫成，因?yàn)閳A過點(diǎn)，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程為，設(shè)滿足題意，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)樯鲜綄θ我夂愠闪?，所以，且，解得或（舍去，與重合）。所以點(diǎn)，則，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離，若存在點(diǎn)使的面積等于4，則，∴。①當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，使的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè)；②當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，使的面積等于4的點(diǎn)有0個(gè)，綜上可知，使的面