2024屆吉林省高中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末達標檢測試題含解析

2024屆吉林省高中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．已知非零實數(shù)a，b滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A． B． C． D．3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么下列互斥但不對立的兩個事件是（）A．“至少1名男生”與“全是女生”B．“至少1名男生”與“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”與“全是男生”D．“恰好有1名男生”與“恰好2名女生”4．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A． B． C． D．5．光線自點M（2，3）射到N（1，0）后被x軸反射，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．6．已知等差數(shù)列的公差，若的前項之和大于前項之和，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的通項為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20368．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的外接圓面積為（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．下列四個函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若角的終邊過點，則______.12．在明朝程大位《算術(shù)統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”.這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說“寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？”根據(jù)上述條件，從上往下數(shù)第二層有___________盞燈．13．已知向量，若，則_______14．當實數(shù)a變化時，點到直線的距離的最大值為_______.15．函數(shù)的值域為______.16．若，且，則的最小值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，．（I）若，共線，求的值．（II）若，求的值；（III）當時，求與夾角的余弦值．18．求經(jīng)過直線的交點，且滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.19．在中，分別為內(nèi)角的對邊，且（1）求的大?。海?）若，求的面積.20．若數(shù)列滿足：對于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項等差”數(shù)列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項等差”數(shù)列，求的前項之和；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對于，都有．①求證：數(shù)列為“隔項等差”數(shù)列，并求其通項公式；②設(shè)數(shù)列的前項和為，試研究：是否存在實數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．21．已知為數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由作差法可判斷出A、B選項中不等式的正誤；由對數(shù)換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出C選項中不等式的正誤；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出D選項中不等式的正誤.【題目詳解】對于A選項中的不等式，，，，，，，，A選項正確；對于B選項中的不等式，，，，，，，B選項錯誤；對于C選項中的不等式，，，，，，，即，C選項錯誤；對于D選項中的不等式，，函數(shù)是遞減函數(shù)，又，所以，D選項錯誤.故選A.【題目點撥】本題考查不等式正誤的判斷，常見的比較大小的方法有：（1）比較法；（2）中間值法；（3）函數(shù)單調(diào)性法；（4）不等式的性質(zhì).在比較大小時，可以結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來比較，考查推理能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，一一進行判斷即可得出正確結(jié)果．【題目詳解】A.，取，顯然不成立，所以該選項錯誤；B.，取，顯然不成立，所以該選項錯誤；C.，取，顯然不成立，所以該選項錯誤；D.，由已知且，所以，即．所以該選項正確.故選：．【題目點撥】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于容易題．3、D【解題分析】

從3名男生和2名女生中任選2名學(xué)生的所有結(jié)果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．選項A中的兩個事件為對立事件，故不正確；選項B中的兩個事件不是互斥事件，故不正確；選項C中的兩個事件不是互斥事件，故不正確；選項D中的兩個事件為互斥但不對立事件，故正確．選D．4、A【解題分析】

設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【題目點撥】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、B【解題分析】試題分析：點關(guān)于軸的對稱點，則反射光線即在直線上，由，∴，故選B.考點：直線方程的幾種形式.6、C【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的前項和為，由并結(jié)合等差數(shù)列的下標和性質(zhì)可得出正確選項.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，由，得，可得，故選：C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要充分利用等差數(shù)列下標和與等差中項的性質(zhì)，可以簡化計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、C【解題分析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)運算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項和公式進行求和.【題目詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【題目點撥】本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對數(shù)的運算，等比數(shù)列前項和公式.8、D【解題分析】

先化簡得，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即得的外接圓面積.【題目詳解】由題得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圓面積為.故選D【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解題分析】由題意，PA⊥面ABC，則為直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因為為直角三角形，經(jīng)分析只能，故，三棱錐的外接球的圓心為PC的中點，所以則球的表面積為.故選C.10、C【解題分析】

先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過化簡判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【題目詳解】的定義域為，A.，因為，所以，定義域為或，與定義域不相同；B.，因為，所以，所以定義域為，與定義域不相同；C.，因為，所以定義域為，又因為，所以與相同；D.，因為，所以，定義域為，與定義域不相同.故選：C.【題目點撥】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時再去判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡），結(jié)合定義域與對應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-2【解題分析】

由正切函數(shù)定義計算.【題目詳解】根據(jù)正切函數(shù)定義：.故答案為－2.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)定義是解題基礎(chǔ).12、6.【解題分析】

根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中，已知和，求解的問題；利用等比數(shù)列前項和公式可求得，利用求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，每層懸掛的紅燈數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)為設(shè)第層懸掛紅燈數(shù)為，向下依次為且即從上往下數(shù)第二層有盞燈本題正確結(jié)果；【題目點撥】本題考查利用等比數(shù)列前項和求解基本量的問題，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．【題目詳解】因為向量，若，∴，則.故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查兩個向量垂直的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由已知直線方程求得直線所過定點，再由兩點間的距離公式求解．【題目詳解】由直線，得，聯(lián)立，解得．直線恒過定點，到直線的最大距離．故答案為：．【題目點撥】本題考查點到直線距離最值的求法，考查直線的定點問題，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

由反三角函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求得函數(shù)的值域.【題目詳解】由，則，，又，，即，函數(shù)的值域為.故答案：.【題目點撥】本題考查反三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、8【解題分析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【題目詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【題目點撥】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）;（II）;（III）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，由向量平行的坐標公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，則有，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根據(jù)題意，由x的值可得的坐標，由向量的坐標計算公式可得、和的值，結(jié)合，計算可得答案．解：（I）∵與共線，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先求出，再設(shè)所求的直線為，代入求出后可得所求的直線方程.（2）設(shè)所求的直線為，代入求出后可得所求的直線方程.【題目詳解】（1）由題意知：聯(lián)立方程組，解得交點，因為所求直線與直線平行，故設(shè)所求直線的方程為，代入，解得，即所求直線方程為（2）設(shè)與垂直的直線方程為因為過點，代入得，故所求直線方程為【題目點撥】本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)平行或垂直關(guān)系合理假設(shè)直線方程，本題屬于容易題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理將，角化為邊得，即，再由余弦定理求解（2）根據(jù)，由正弦定理，求邊b，又，然后代入公式求解.【題目詳解】（1）因為，由正弦定理得：，即，，又，.（2）因為由正弦定理得，又，所以.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）①當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，；②【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）由新定義知：前項之和為兩等差數(shù)列之和，一個是首項為3，公差為8的等差數(shù)列前8項和，另一個是首項為17，公差為8的等差數(shù)列前7項和，所以前項之和（Ⅱ）①根據(jù)新定義知：證明目標為，，相減得，當為奇數(shù)時，依次構(gòu)成首項為a，公差為2的等差數(shù)列,,當為偶數(shù)時，依次構(gòu)成首項為2-a，公差為2的等差數(shù)列,②先求和：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，故當時，，，，由，則，解得．試題解析：（Ⅰ）易得數(shù)列前項之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．所以，為公差為2的“隔項等差”數(shù)列．當為偶數(shù)時，，