看完你就及格啦(概率論與數(shù)理統(tǒng)計大題攻略)

一、全概率與貝葉斯公式例：某產(chǎn)品由三個廠家供貨，甲、乙、丙三個廠家的產(chǎn)品分別占總數(shù)的，，，其次品率分別為，，.（1）取一件產(chǎn)品，是次品的概率（2）現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件發(fā)現(xiàn)是次品，試求該次品是由乙廠生產(chǎn)的概率.學(xué)會讀題：此類題目中涉及的情景有明顯的分類與先后關(guān)系，如本題，要確定某產(chǎn)品為次品，我們第一步必須先確定它是哪一廠生產(chǎn)的，第二步再看次品率，才能確定是不是次品。一般會作為大題第一或第二題出現(xiàn)路線圖：這時我們就可以確定這是要用全概率和貝葉斯公式來解題。第一問問我們“取一件產(chǎn)品，是次品的概率”，在路線圖中是從左邊推到右邊，要用全概率公式第二問是先知道某產(chǎn)品是次品，讓我們倒推此產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的概率，在路線圖中表現(xiàn)為從右至左，要用貝葉斯公式解（1）記分別表示產(chǎn)品取自甲、乙、丙廠；=“所取的產(chǎn)品是次品”.則構(gòu)成樣本空間的一個劃分，且依題意可知,.由全概率公式可得，.（2）再由貝葉斯公式可得，.解析：全概率公式比較簡單，只要把每條路線上的概率分別相乘，再加起來就可以了“已知條件的概率”一般都是第一問用全概率公式算出來的答案，比如本題第二問已知某產(chǎn)品為次品，概率正好是第一問算出來的總的次品率0.0125。他要我們求乙廠的，所以屬于路線圖中的第二條路線，概率為0.8x0.01做這種題目要準(zhǔn)確地看出是怎么分類的，怎么分先后的例二：設(shè)一箱子里裝有10個球，其紅球為0，1，...10個，是等可能的。今向箱內(nèi)放入一個紅球，然后從箱內(nèi)隨機(jī)取出一個球，求它是紅球的概率。（第一步確認(rèn)箱子里原來有幾個紅球，共分類有11種情況，第二步放入一個紅球，題目只問我們正推的結(jié)果，所以用全概率公式就可以了）隨機(jī)變量的密度函數(shù)與分布函數(shù)的互求例一(已知分布函數(shù)求密度函數(shù))：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求(1)概率;(2)X的密度函數(shù).解 由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì),有(1)(2)的密度函數(shù)為 解析：先分清楚什么是密度函數(shù)，什么是分布函數(shù)密度函數(shù)對應(yīng)的是具體某一點(diǎn)的概率，比如本題密度函數(shù)是,要求哪一點(diǎn)的概率直接代進(jìn)去就可以得到。分布函數(shù)對應(yīng)的是某一區(qū)域的概率，比如本題的分布函數(shù)是，如果我們代進(jìn)去，求出的概率是上所有點(diǎn)概率的加總()，又因為,,所以實際上是上所有點(diǎn)概率的加總例題二：（已知密度函數(shù)求分布函數(shù)）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求（1）常數(shù)a的值（2）X的分布函數(shù)（3）解析：如果給的密度函數(shù)里帶未知數(shù)，一般用這個公式求出，這個公式的意思是：x取上所有可能取值的概率的加總為1解析：分別對密度函數(shù)各個區(qū)段進(jìn)行積分，就可以得到分布函數(shù)了，注意，對于的積分，很容易漏掉前面的，為什么要多積一個呢？這是因為當(dāng)x取上某一點(diǎn)時，F(xiàn)（x）代表的是上所有點(diǎn)概率的加總，也包括的部分，所以要多積一個求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)例一：題目一般會說X服從指數(shù)分布或者均勻分布，然后給Y與X的關(guān)系公式，讓我們求Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)第一步：根據(jù)題意寫出X的分布函數(shù)F(x),為了寫出這一步，我們必須自己記一下指數(shù)分布和均勻分布是什么樣的。1.指數(shù)分布：記作。(注意大x、大y代表兩個不同的隨機(jī)變量，小x和小y代表的是普通的數(shù)字，兩個可以一樣，比如同時取2，大寫和小寫的意思是不一樣的)更多例題可以看書本P73頁課后作業(yè)離散型聯(lián)合概率分布只要題目出現(xiàn)“求（x,y）的什么什么”就可以確定這是在考聯(lián)合概率分布離散型聯(lián)合概率分布的考察離不開這個表yx(2)(3)(4)(5)(1)(2)...a(3)其中帶括號的數(shù)字和...都是我們必須根據(jù)題目具體情境確定的一般題目第一問會要求我們自己畫這個表，或者直接給我們這個表，但是里面有未知數(shù)，要求未知數(shù)只要記住表內(nèi)所有概率的和等于1就可以了：（...+a）=1第二問會問我們x和y的邊緣概率分布，比如上表，要求x的邊緣分布，就是把每一行的概率分別加起來就可以了，求y的邊緣分布，就是把每一豎的概率加起來。x(1)(2)(3)p。。。。。。。。。y(2)(3)(4)(5)P。。。。。。。。。。。。第三問形式比較多求協(xié)方差cov(x,y)記住公式cov(x,y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)簡單來說就是（最上面那個大表每個概率乘以對應(yīng)的數(shù)字，加起來）-（下面兩個小表的每個概率乘以對應(yīng)數(shù)字，再把結(jié)果相乘）求特定區(qū)域的概率和,這時只要找到符合條件的概率加起來就可以了比如P(X+Y<5),符合條件的是（x=1,y=2）（x=1,y=3）（x=2,y=2）比如F(2,3),符合條件的是（x=1,y=2）（x=1,y=3）（x=2,y=2）（x=2,y=3）X與Y是否獨(dú)立這時只要確認(rèn)兩個小表的概率的乘積是否與大表的概率一一對應(yīng)，只要有一個不一樣，就不獨(dú)立，要全部一樣才獨(dú)立求連續(xù)型聯(lián)合概率的分布做有關(guān)連續(xù)型聯(lián)合概率的分布其實就是在做區(qū)域積分第一步要先畫圖，，得區(qū)域D為圖中陰影部分畫出所求區(qū)域，為下圖黑色部分，對此區(qū)域的積分就是所求概率（如果看不懂上式，可以百度一下二重積分的教程...）直線經(jīng)過y=x和y=1,所以我們知道要從x積到1如果是dx,就畫一條平行于x軸的直線千萬別忘記還有一個概率為0的“其他”要驗證是否獨(dú)立，只要把邊緣分布函數(shù)相乘，如果結(jié)果等于聯(lián)合分布函數(shù)，就獨(dú)立，否則不獨(dú)立中心極限定理所謂中心極限定理，分為兩種情況為什么要用中心極限定理呢？一句話，就是數(shù)學(xué)家為了偷懶，化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可以直接查表，很方便做此類題目要一眼看出是哪種情況一般情況下，題目里包含百分?jǐn)?shù)的，比如“1000人中有80%（或者0.8）的人沒定報紙”，屬于第二種情況直接或間接告訴我們X的期望和方差的，屬于第一種情況，比如“X服從（-1，1）上的均勻分布”，我們就可以知道EX=0,DX=例一：有一批鋼材，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從鋼材中隨機(jī)取出100根，試用中心極限定理求小于3米的鋼材超過30根的概率解：可以看出這是第二種情況第一步，先用定理化為正態(tài)分布設(shè)X為小于3米的樣本，由中心極限定理得總的樣本服從第二步，寫出題目要求的概率的條件0.0062即為所求概率最