廣東省2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3月份)(含答案解析)

廣東省東莞高級中學(xué)2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.方程組《-[LI5的解集不可以表示為（）

A.（（x,y）|g^5B.（（“）|疼％

C.{2,1}D.{（2,1））

2.若復(fù)數(shù)Z=g（i為虛數(shù)單位），則W=z2+z，+z6+z8+Z]。的值為（）

A.1B.—1C.iD.—i

3.雙曲線/-Q=1的離心率大于0的充分必要條件是（）

A.m>3B.m>1C.m>1D.m>2

4.已知函數(shù)f（%）=，sin%—些cos%的圖象在點4（%o，yo）處的切線斜率為1,貝=（）

244

A.-V3B.V3C.-立D,更

33

5.質(zhì)地均勻的正四面體表面分別印有0,1,2,3四個數(shù)字，某同學(xué)隨機的拋擲次正四面體2次,

若正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為m,n,且兩次結(jié)果相互獨立，互不影響.記m2+彥W

4為事件A,則事件A發(fā)生的概率為（）

AA.18nD-—16r-8Dn—16

6.某汽車的使用年數(shù)X與所支出的維修費用y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

使用年數(shù)式單位：年）12345

維修總費用y（單位：萬

0.51.22.23.34.5

元）

根據(jù)上表可得y關(guān)于X的線性回歸方程J=bx—0.69,若該汽車維修總費用超過10萬元就不再

維修，直接報廢，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

10210

7.已知：x=a0+ax(l—%)+a2(l—%)+…+a10(l—x),其中的，a1，a2>的()為常數(shù),

則劭+0-2+CI4+1"+。10等于()

A.-210B.-29C.210D.29

8.已知函數(shù)/(x)=-|x|4-1,若關(guān)于x的方程尸(工)+(2m-1)/(%)+4-2m=0有4個不同的

實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.m>-B.m>-C.m>--D.m<--

2222

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是()

A.若五.石=石.落則五=c

B.方=(1,1)花=(2,%)，若互+另與4萬一2五平行，貝卜=2

C.非零向量弓和B滿足|五|=|b|=\a-b\y則五與蒼+方與的夾角為60。

D.點4(1,3),8(4,-1),與向量荏同方向的單位向量為(|,一》

10.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)Pj(x)―一L

3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.=0*2=

B.—0,2V。3

c.Ml=M2>〃3

D.V〃2=43

11.已知等差數(shù)列｛即｝滿足CZ3=2,前3項和S3=:

等比數(shù)列｛匕｝滿足瓦=%,b4=a15,｛bn｝的

前〃項和為7；.則下列命題錯誤的是()

A.｛an｝的通項公式為Qn=2n-4

B.等差數(shù)列｛冊｝的前〃項和為&=手

C.等比數(shù)列｛g｝的公比為:

D.7；=2n-1

12.給出下列各命題，其中正確的是()

A.存在實數(shù)a,使sina+cosa=1

B.要得到y(tǒng)=3s譏(x―》的圖象，只需把y=3s譏(x+$向右平移管個單位

C.%?是函數(shù)y=sin(2x+?)圖象的一條對稱軸

o4

D.函數(shù)y=loga(x+3)-l(a>0,aH1)的圖象恒過定點(-2,-1)

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若一個四面體的四個面中，有兩個面都是直角邊為1的等腰直角三角形，另兩個面都是直角邊

分別為1和&的直角三角形，則該四面體的外接球的表面積為.

14.適合條件|sina|=-sina的角a的取值范圍是.

15.若尸為橢圓靠+*=1上任意一點，EF為圓(x-I/+y2=4的任意一條直徑，則兩.兩的取

值范圍是.

16.設(shè)定義域為R的函數(shù)，熊既滿足下列條件：對任意富甯奧%真城:，翼-礴=期,且對任意

頻遇&度處?闌修密:阻毒，當(dāng)時海領(lǐng)時，有￡蜀球:叫翼商/#⑩.給出下列四個結(jié)論：

①舞磁泊庚修②旗等”,懿隔

③費產(chǎn)汴，微矍④聯(lián)產(chǎn)”/((-4=

其中所有的正確結(jié)論的序號是.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.若等差數(shù)列｛an｝中，的=3,a4=12,｛bn-an｝為等比數(shù)列,且數(shù)列｛九｝滿足瓦=4,岸=20.

(1)求數(shù)列｛an｝和｛匕｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛b｝的前〃項和.

18.已知△制的內(nèi)角A,2,C所對的邊分別為“,b,c,△旗0的面積5滿足手5=荏.篦

(1)求A；

(2)若ac=bcosA+acosB,求^ABC的周長的最大值.

19.空氣質(zhì)量指數(shù)?！ǔ隽τ裠ex,簡稱AQ/)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),

5

空氣質(zhì)量按照AQ/大小分為六級，0?50為優(yōu)；51?100為良；101?150為輕50

754

度污染；151?200為中度污染；201?250為重度污染；＞300為嚴(yán)重污染.一930

78

環(huán)保人士記錄2017年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖.9

5

(1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良G4Q/W100)的天數(shù);

(按這個月總共30天計算)

(2)將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為求f的概率分布列和數(shù)學(xué)

期望.

20.在直三棱柱4BC-&BiCi中，NB4C

。在線段上，且4山：DB=3：

(I)求證：AXBJ"平面ACD-,

(II)求二面角B—AC-D的大小.

21.已知函數(shù)f(x)=e*—ln(x+m).

(1)當(dāng)m=0時，求曲線y=/(x)在點(Lf(l))處的切線方程；

(2)當(dāng)mW2時，證明：/(x)>

O

22.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并求出其離心率.

(1)焦點在x軸上，長軸長是10,短軸長8的橢圓方程；

(2)與橢圓三+1=1有相同焦點，且過點(反,4)的雙曲線方程.

2736

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題主要考查了方程組解集的集合表示方法，是基礎(chǔ)題.

先解出方程組的解集，方程組的解集是X,y的一對值，所以用集合表示的話應(yīng)該是點集，所以選項

A,B,。是正確的，選項C是數(shù)集，不正確.

解:解方程組隹1tls得：仁：,

???方程組的解集是x,y的一對值，

???用集合表示的話應(yīng)該是點集，

選項A,B,。是正確的；選項C是數(shù)集，不正確，

故選：C.

2.答案：B

解析：解：?.,復(fù)數(shù)z=三=d=-i,z2=-1,則W=z2+z4+z6+z8+z10=z"I)=

2

故選b

化簡復(fù)數(shù)Z為—i,可得z2=-1,再利用等比數(shù)列的前n項和公式求得W=z2+z4+z6+z8+zi0的

值.

本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的幕運算性質(zhì)，等比數(shù)列的前"項和公式的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：C

解析：依題意，e=區(qū)，e?=叵|>2,得l+m>2,所以m>1.

4.答案：A

解析：解：f(x)=-x--sinx——cosx,

???/⑶=cosx+Ysinx=g+￡sin(%一凱

?.?函數(shù)/(%)=。-%口%—在cos%的圖象在點4(%o，M))處的切線斜率為1，

244

-?.1+|sin(x0=1,

?1?x0=Y+2kn(k6Z),

???tanx0=tan弓+2/CTT)=-V3

故選：A.

先求函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，然后令/(x0)=l,求出出的值后再求其正切值即可.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于在該點處切線的斜率.

5.答案：A

解析：解：質(zhì)地均勻的正四面體表面分別印有0,1,2,3四個數(shù)字，

某同學(xué)隨機的拋擲次正四面體2次，

正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為加，”，

且兩次結(jié)果相互獨立，互不影響.

基本事件總數(shù)N=42=16,

記Tn?+n2<4為事件A,

則事件A包含的基本事件有：

(0,0),(1,1),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0)共6個,

???事件A發(fā)生的概率為p=白="

1Oo

故選：A.

先求出基本事件總數(shù)N=42=16,再利用列舉法求出m2+小式4包含的基本事件個數(shù)，由此能求

出事件A發(fā)生的概率.

本題考查概率的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查必然與或然思想等，

是基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：

本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，屬于中檔題.

計算Iy,求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用年限.

解：計算工=^x(1+2+34-4+5)=3,

y="(0.5+1.2+2.2+3.3+4.5)=2.34；

代入回歸方程；=近一0,69得

2.34=6x3-0.69)

解得b=1.01;

???回歸方程為丁=i.oix-0.69，

令y=l.Olx-0.69>10，

解得x>10.6?11,

據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用11年.

故選：D.

7.答案：D

解析:

本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了用特殊值代入求值計算的問題，是基礎(chǔ)題目.

解：令％=0得：Qo+Q1+---Q1O=0，

令X=2得：CLQ—%+g—@3+…+。10=21°,

兩式相加即得2(。0+。2+。4+…+。10)=21。,

故劭+@2+04---F^10=29.

故選

8.答案：B

解析：解：函數(shù)/(%)的圖象如圖，設(shè)t=f(X)￡(—8,l],

則關(guān)于X的方程/2(%)+(2m-l)f(x)+4-2m=0有4個不同的實數(shù)解,

等價于方程產(chǎn)+(2m-l)t+4-2m=。有2個不同的實數(shù)解，

設(shè)g(t)=d+(2m-l)t+4—2m,則

(△=(2m-I)2-4(4-2m)>0

卜等<1，

U(l)=4>0

<m>|或m<—|

解得m>~-，；.m>|.

2

、m€R

故選8.

題中原方程/'2(%)+(2m-l)f(x)+4-2m-0有4個不同的實數(shù)解，設(shè)t=f(x),等價于方程嚴(yán)+

(2m-l)t+4-2m=0有2個不同的實數(shù)解，再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案.

本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使

本題變得易于理解.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于

把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.

9.答案：BD

解析：解：若五-b=b則有b"(a—c)=0>所以b=6或W—c—6或方JL(a—c)>故選項A錯誤；

因為五=(1,1)1=(2,x)，若胃+1與4另一2方平行,則有3(4x-2)=6Q+1),解得x=2,故選項

B正確；

因為非零向量五和方滿足|五|=|K|=|五-31，則以向量五和石為邊對應(yīng)的四邊形為一個角是60。的菱

形，

則為與N+3的夾角為30。，故選項C錯誤；

因為點4(1,3),B(4,-1),則荏=(3,-4),可得與向量也同方向的單位向量為儡=(|,一3,故選

項。正確.

故選：BD.

運用向量數(shù)量積的定義可判斷選項A,利用向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，解方程即可判斷選項8,

利用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合向量的夾角即可判斷選項C,運用向量的坐標(biāo)表示以及單位

向量的求法，即可判斷選項D

本題考查了平面向量的理解和應(yīng)用，涉及了向量共線和垂直的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、單位

向量的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量中的相關(guān)概念.

10.答案：BD

解析：解：因為x=〃是對稱軸，觀察圖象可知：%<42=〃3，

而y=與y=82。)的圖象可以相互平移得到，且y=03(x)的圖象顯得更“矮胖”，

故久=?

故選：BD.

根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即對稱軸為x=〃；。表示的是標(biāo)準(zhǔn)差,反映在圖象的“高瘦”或“矮胖”，

由此作出選擇.

本題是一個識圖問題，主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：AC

解析：解：設(shè)等差數(shù)列｛。"的公差為“，

因為=2,S3=所以％+2d=2,3a】+3d=[,解得%=1,d=：,

所以an=l+“7i—1)=等，故A錯誤；

n

Sn=九+1n(n—1)x1=故B正確；

設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的公比為由瓦=%=1,b4=a15=8,

可得q3=8,解得q=2,故C錯誤；

n

Tn==2-1,故。正確.

故選：AC.

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可判斷

A；由等差數(shù)列的求和公式，可判斷8；由等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比，可判斷C；由等

比數(shù)列的求和公式，可判斷D

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

12.答案：ABCD

解析：解：對于A,存在實數(shù)a=^，sina=1,cosa=0,使sina+cosa=1,所以4對；

對于B,把y=3sin(x+》向右平移等個單位，得y=3s譏((X-爭+0=3sin(x所以B對；

對于C,把4=]代入y=sin(2x+爭，得、=sing)=-1,所以C對；

對于。，把x=-2,代入y=loga(x+3)-1,得y=-l,所以。對.

故選：ABCD.

A用特值法判斷；B求出平移后的函數(shù)圖象；C根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，用特值法判斷；。求出函數(shù)值驗

證即可.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)對稱性及圖象平移問題，考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，屬

基礎(chǔ)題.

13.答案：37r

解析：解：滿足題意的四面體為如圖所示的正方體中的三棱錐U-ABC,

其中IM=AB=BC=1,VB=AC=V2.

其外接球即為正方體的外接球，

故外接球的半徑即為正方體體對角線的一半，

設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R,

所以/?=更，

2

所以該四面體的外接球的表面積為4兀x（日）2=37r.

故答案為：37r.

把三棱錐放到正方體里面，故故外接球的半徑即為正方體體對角線的一半，進(jìn)而求得外接球的半徑，

從而利用球的表面積公式求得答案.

本題考查三棱錐的外接球，考查球的表面積公式，將三棱錐外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球是解題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

14.答案：[2/C7T—n,2kn],kEZ

解析：解：??,|sina|=-sina,

???-sina>0,

:.sina<0,

由正弦曲線可以得到—匹2ATT],keZ,

故答案為:\2kn-nf2kn]fkeZ

由絕對值的特點得到-s勿a和0的關(guān)系，由正弦曲線和角的正弦值可以得到角的范圍，寫出角的范圍

后注意加上火的取值.

本題主要考查三角函數(shù)不等式，解題時最關(guān)鍵的是要掌握三角函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合得到要求

的角的范圍，這個知識點應(yīng)用非常廣泛，可以和其他知識結(jié)合來考查.

15.答案：[5,21]

解析：解：因為而?而=(而—而)?(而一而)

=WE-l^F-~NP-(NE+柄+沛2

=-|/VE|?\NF\■cosn-0+|NP|

=-4+|NP/.

又因為橢喔+9]的a=4,b=V15,c=1,

N(l,0)為橢圓的右焦點,

\NP\e[a—c,a+c]=[3,5]

PE-PF&[5,21].

故答案為:[5,21].

先把而?方轉(zhuǎn)化為=(而—而)?(而—而)=而.而—而?(而+而)+而2=一|NE|?|NF|,

COSTT-0+\NP\2=一4+|NP『.再結(jié)合|NP|的范圍即可求出結(jié)論.

本題主要考查橢圓的基本性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于知道N為橢圓的右焦點并且會把所求問題轉(zhuǎn)化.

16.答案：①②④

解析：試題分析：???對任意％6R,/(%)+/(-%)=0,.,?函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，,?,對任意卬x2￡

當(dāng)%2>%i時，有/(孫)>/(%i)>0，?,?函數(shù)f(%)在區(qū)間[l,a]上是單調(diào)增函數(shù).,?,a>1，故①/(a)>

/(0)一定成立.三三*5*3故②，負(fù)性二E觸硒一定成立.

V---------F—僦=-———軸0，二.------冷一期，=------=3---------四工二,一跖?<------，由

工開演1升詡1外淘?什詡R哥謝

奇函數(shù)的對稱性知：附匚士”，代獻(xiàn)，④對.1嗯*與，馳齦但嵬蘭一是否在口⑷上不

能確定，故意，底焉和.典理當(dāng)?shù)拇笮〔荒艽_定，③不對，故正確的為①②④.

』普砌

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的奇偶性

17.答案：解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,=3,。4=12,二12=3+3d,解得d=3.

:.an=%+(九—l)d=3+3(n—1)=3n.

???(bn~即｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

又?jǐn)?shù)列｛%｝滿足瓦=4,b4=20.

3

??.b4—a4=(bi—Qi)q3,即(20—12)=(4—3)q,解得q=2.

n

bn-an=2t,

n

:.bn=3n+2t.

(2)由(1)可得數(shù)列｛b九｝的刖〃項和=3(1+2+…+?1)+1+2++…+2n1

_3如+1)2n-1

—22-1

=3n(n±l)+2n_1.

2

解析：(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；

(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前"項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

18.答案：解：(1)由已知等x[bcsizM=bccos",得CQTL4=

因為0。<A<180°,所以/=60°.

(2)由題設(shè)及正弦定理得as譏C=sinBcosA+sinAcosB,

所以as譏C=sin(8+4),即as譏C=sinC.

由于0。<C<120°,sinCH0,

所以a=1.

22

由余弦定理得Q2=b+c-be,

所以(b+c)2_1=3bcW3x(等)2,當(dāng)且僅當(dāng)b=C=1時取等號.

解得b+cW2.

即△ABC的周長的最大值為3.

解析：(1)由向量的數(shù)量積可得，x|besinA=bccosA,解得tanA,進(jìn)而解得A.

2

(2)由正弦定理得asinC=sinBcosA+sinAcosB,=asinC=sinC.=>a=1.由余弦定理得Q2=b+

c2一be,

所以(b+c)2—l=3bcW3x(等)2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時取等號.解得b+c最大值，進(jìn)而得出4

4BC的周長的最大值.

本題考查正余弦定理，向量的數(shù)量積，基本不等式，屬于中檔題.

19.答案：解：(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2,

空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4,

故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為卷=|,

從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30x|=18天.

(2)由(1)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為：，

f的所有可能取值為0,1,2,3,且f?8(3,|),

P(f=0)=(|)3=言P(f=1)=瑪|(|)2=整,pg=2)=或(|)2|=哉,

%=3)=守=急，

f的分布列為:

0123

8365427

P

125125125125

E(f)=0x嘎+1X段+2X我+3X急=18

解析：(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4,從而求出該

樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率，由此能估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù).

(2)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為|,f的所有可能取值為0,1,2,3.且《?B(3,|),由此能求出結(jié)

果.

本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真

審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用.

20.答案：解：(I)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意得4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,0,0),4式0,0,2回8式0,2,

2次),Ci(2,0,2百),。(0,|凈，

AC=(2,0,0),AD=(0,|,y)-A^B=(0,2,-2百)，

因為項?前:=0,花百?而=0，所以花首1就，A^BLAD,

又ACn4。=4,所以4$J_平面ACD

(口)由(I)知平面ACD的法向量為沆=A^B=(0,2,一2b)，

平面A8C的法向量為元=(0,0,1),

設(shè)二面角B—4C—D的大小為。，皿”劇=普/，所以

故二面角B-AC-。的大小為？

6

解析：(I)用向量數(shù)量積為零，證明直線4/垂直平面ACO內(nèi)兩相交直線AC、4。即可；

(口)直接用空間向量計算二面角的余弦值即可.

本題考查了直線與平面位置關(guān)系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)當(dāng)m=0時，/(x)=-Lnx,f'(x)=ex又/"(1)=e,f(1)=e-l

???切線方程為：y-e=(e-1)(%-1),即(e-l)x-y+1=0,

(2)當(dāng)m<2時,f(x)—ex—ln(x+m)>ex—In(x+2)(%>—2)(%>—2)

令g(x)=ex-ln(x+2)(%>-2),則g'(x)=ex-點，g\x)=ex+>0

y=g'(x)在(-2,+8)上單調(diào)遞增一

又“(0)=1>0,9'(一}=專一|<o

???Xoe(-30),使得g'(Xo)=exo---=0,

2XQ+Z

兩邊同時取以為底的對數(shù)，即得與

eln(+2)=-x0

當(dāng)xe(-2,xo),g'(x)<0,y=g(久)單調(diào)遞減，

當(dāng)單調(diào)遞增

xe(%0>+°°)>g'(x)>0,y=g(x)g'(x)>0,y=g(x)

11

g^min=g(&)=ex°-ln(x+2)=---+x,xG(--,0)

0尢0i乙00乙

1,3

??.xQe(--,0)