數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專題22.11 二次函數(shù)中的新定義問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（人教版）（教師版）

專題22.11二次函數(shù)中的新定義問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新定義函數(shù)的理解！1．（2021?雅安）定義：min{a，b}=a(a≤b)b(a＞b)，若函數(shù)y＝min{x+1，﹣x2+2xA．0 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解．【解答過(guò)程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝2．∴y=x+1(?1≤x≤2)?把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴函數(shù)最大值為y＝3．故選：C．2．（2021?章丘區(qū)模擬）定義：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0【解題思路】設(shè)x為不動(dòng)點(diǎn)，使y＝x，可得關(guān)系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)知Δ＞0，即得a的取值范圍．【解答過(guò)程】由題意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，對(duì)任意實(shí)數(shù)b恒成立，把b2﹣4ab+8a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，則有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，解得a＝0或a＝2，①當(dāng)a≥2時(shí)，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，②當(dāng)a≤0時(shí)，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，③0＜a＜2時(shí)，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，即16a（a﹣2）＜0的解集，解得0＜a＜2，故選：A．3．（2021?岳陽(yáng)）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是（）A．4，﹣1 B．5?172，﹣1 C．4，0 D．5+【解題思路】畫(huà)出圖象，從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)跟正方形有交點(diǎn)時(shí)，先經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C，只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)B時(shí)m的值，即可求出m的最大值及最小值．【解答過(guò)程】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m的頂點(diǎn)（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運(yùn)動(dòng)，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若拋物線與正方形有交點(diǎn)，先經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C，∴只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)B時(shí)m的值，即可求出m的最大值及最小值．當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）時(shí)，m＝2，或m＝﹣1；當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，m=5?172或m∴互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是5+172故選：D．4．（2020?寧鄉(xiāng)市一模）定義[a，b，c]為函數(shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m﹣1，m+1，﹣2m]的函數(shù)的一些結(jié)論，其中不正確的是（）A．當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?32，?B．當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)大于3 C．當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＜12時(shí)，y隨x的增大而增大D．不論m取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)【解題思路】A、把m＝2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；B、首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；C、當(dāng)x大于二分之一時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)，又開(kāi)口向下，所以y隨x增大而減小正確；B、根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．【解答過(guò)程】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)為[m﹣1，m+1，﹣2m]；A、當(dāng)m＝2時(shí)，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2?254，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?B、當(dāng)m＞1時(shí)，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，解得，x1＝1，x2=?2mm?1|x2﹣x1|=3m?1m?1＞3，所以當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)圖象截C、當(dāng)m＜0時(shí)，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：x=?m+12(m?1)，在對(duì)稱軸的左邊y隨x因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，?m+12(m?1)=?m?1+22(m?1)=?12?1m?1＞?12D、因?yàn)閥＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，當(dāng)x2+x﹣2＝0時(shí)，x＝1或﹣2，∴拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0）或（﹣2，﹣6），此結(jié)論正確，故選：C．5．（2020?市中區(qū)二模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函數(shù)，其上確界是2，如果函數(shù)y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上確界是n，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過(guò)2m，則m的取值范圍是（）A．m≤13 B．m＜13 C．13【解題思路】根據(jù)函數(shù)的上確界和函數(shù)增減性得到﹣2m+1＝n，函數(shù)的最小值為﹣2n+1，根據(jù)m＜n，函數(shù)的最小值不超過(guò)2m，列不等式求解集即可．【解答過(guò)程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y隨x的增大而減小，∴上確界為﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函數(shù)的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤12∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜13，綜上，m故選：B．6．（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時(shí)，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，則c的取值范圍是（）A．c＜﹣3 B．c＞?14 C．﹣3＜c＜﹣2 D．﹣2【解題思路】設(shè)a是二次函數(shù)y＝x2+2x+c的不動(dòng)點(diǎn)，則a2+a+c＝0，根據(jù)二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，可知關(guān)于a的方程a2+a+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都小于1，設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a1、a2，則Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜14【解答過(guò)程】解：設(shè)a是二次函數(shù)y＝x2+2x+c的不動(dòng)點(diǎn)，則a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，∵二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，∴關(guān)于a的方程a2+a+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都小于1，設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a1、a2，則a1+a2＝﹣1，a1?a2＝c，∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，由①得c＜14∵a1+a2＝﹣1，∴②總成立，由③得：a1?a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，∴c＞﹣2，綜上所述，c的范圍是﹣2＜c＜14故選：D．7．（2020秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)P分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則點(diǎn)P叫作和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點(diǎn)P是拋物線y＝x2+k上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（）A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18【解題思路】根據(jù)和諧點(diǎn)的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m，n的方程，求解m，n即可．【解答過(guò)程】解：∵點(diǎn)P（m，n）是拋物線y＝x2+k上的點(diǎn)，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴點(diǎn)P（m，n）是和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，當(dāng)n≥0時(shí)，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；當(dāng)n＜0時(shí)，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；故選：C．8．（2021?河南模擬）新定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：y＝x2﹣2x+3的“圖象數(shù)”為[1，﹣2，3]，若“圖象數(shù)”是[m，2m+4，2m+4]的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（）A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 D．2【解題思路】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根據(jù)判別式的意義得到△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，從而解m的方程即可．【解答過(guò)程】解：二次函數(shù)的解析式為y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，根據(jù)題意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，解得m1＝﹣2，m2＝2，故選：C．9．（2021春?江岸區(qū)校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整點(diǎn)”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜?12 D．﹣2≤a【解題思路】畫(huà)出圖象，找到該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)的邊界，利用與y交點(diǎn)位置可得m的取值范圍．【解答過(guò)程】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化為頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）2+2，故函數(shù)的對(duì)稱軸：x＝1，M和N兩點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱，根據(jù)題意，拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，這些整點(diǎn)是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如圖所示：∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a+2∴0≤a+2＜1當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝4a+2＜0即：0≤a+2＜14a+2＜0，解得﹣2≤a＜﹣1故選：B．10．（2021?深圳模擬）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫(xiě)出下列五個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最大值是4，A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x＝1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；從圖象上看，當(dāng)x＜﹣1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x＝1時(shí)的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤時(shí)不正確的；逐個(gè)判斷之后，可得出答案．【解答過(guò)程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x＝1，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當(dāng)x＜﹣1或x＞3，存在函數(shù)值要大于當(dāng)x＝1時(shí)的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正確的；故選：A．11．（2021?東安縣模擬）“愛(ài)心是人間真情所在”！現(xiàn)用“?”定義一種運(yùn)算，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n和拋物線y＝ax2，當(dāng)y＝ax2?（m，n）后都可得到y(tǒng)＝a（x﹣m）2+n．當(dāng)y＝x2?（m，n）后得到了新函數(shù)的圖象（如圖所示），則nm＝2．【解題思路】此題是閱讀分析題，解題時(shí)首先要理解題意，再根據(jù)圖象回答即可．【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得y＝x2?（m，n）是函數(shù)y＝（x﹣m）2+n；由圖象得此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），所以此函數(shù)的解析式為y＝（x﹣1）2+2．∴m＝1，n＝2．∴nm＝21＝2．故答案是：2．12．（2021?天寧區(qū)校級(jí)模擬）若定義一種新運(yùn)算：a?b=ab(a≥3b)2a?b?2(a＜3b)，例如：4?1＝4×1＝4；5?4＝10﹣4﹣2＝4．則函數(shù)y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是3【解題思路】根據(jù)新運(yùn)算的定義，對(duì)（﹣x+3）和3（x+1）的大小進(jìn)行比較，列出不同的情況分類討論，得到不同的函數(shù)表達(dá)式求出最值即可．【解答過(guò)程】解：由題可得，①當(dāng)﹣x+3≥3（x+1）時(shí)，即：x≤0，y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．由拋物線性質(zhì)可得，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴只有當(dāng)x＝0時(shí)，y的最大值為y＝3；②當(dāng)﹣x+3＜3（x+1）時(shí)，即：x＞0，y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2＝﹣3x+3．∵﹣3＜0，∴y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3×0+3＝3．∵x＞0，∴y＜3，綜上①②得y≤3．故函數(shù)y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是3．13．（2020春?江岸區(qū)校級(jí)月考）定義符號(hào)min{a，b}為：當(dāng)a≥b時(shí)，min{a，b}＝b；當(dāng)a＜b時(shí)，min{a，b}＝a．例如：min{1，3}＝1，min{﹣2，1}＝﹣2．若關(guān)于x的函數(shù)y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值為3，則k＝1或﹣1．【解題思路】畫(huà)出函數(shù)y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的圖象，當(dāng)y＝3時(shí)，x＝1或3，得到（1，3）、（3，3），將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可求解．【解答過(guò)程】解：畫(huà)出函數(shù)y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的圖象如下：令y＝﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，即過(guò)點(diǎn)（1，3）、（3，3），∵函數(shù)y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值為3，將（1，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝k﹣2k+2，解得k＝﹣1，將（3，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝3k﹣2k+2，解得k＝1，故k＝﹣1或1，故答案為﹣1或1．14．（2021?武漢模擬）定義x軸上橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫“整點(diǎn)”，例如（1，0）、（﹣3，0）都是“整點(diǎn)”．已知拋物線y＝2x2﹣3ax+a2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且拋物線對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)，若線段AB上有2個(gè)“整點(diǎn)”（不包含A、B兩點(diǎn)），則a的取值或取值范圍是a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．【解題思路】由拋物線解析式求得xA＝a，xB=12a．根據(jù)“整點(diǎn)”的定義可以得到：【解答過(guò)程】解：∵拋物線對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)，∴a＜0，假設(shè)A在B左側(cè)，可求得xA＝a，xB=12設(shè)線段AB之間的2個(gè)“整點(diǎn)”為n、n+1，則n?1≤a＜n?(1)n+1＜1將（2）化簡(jiǎn)得2（n+1）＜a≤2（n+2）……（3），對(duì)照（1）、（3）得n﹣1≤2（n+2）且2（n+1）＜n，∴﹣5≤n＜﹣2，∴n＝﹣5或﹣4或﹣3，①當(dāng)n＝﹣5時(shí)，a＝﹣6；②當(dāng)n＝﹣4時(shí)，﹣5≤a＜﹣4；③當(dāng)n＝﹣3時(shí)，﹣4＜a＜﹣3．綜上所述，a的取值或取值范圍是a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．故答案是：a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．15．（2021秋?康巴什期中）如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為﹣3或6．【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出另外兩個(gè)頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，繼而得出對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入解析式求解可得．【解答過(guò)程】解：∵點(diǎn)A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴點(diǎn)C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），則對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），根據(jù)題意，將點(diǎn)P（﹣3，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，解得：n＝﹣3或n＝6，故答案為：﹣3或6．16．（2021?邗江區(qū)二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣x，y）；當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣y，x）．拋物線y＝（x﹣2）2+n與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為E，點(diǎn)P在該拋物線上．若點(diǎn)P的變換點(diǎn)P'在拋物線的對(duì)稱軸上，且四邊形ECP'D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為﹣13．【解題思路】利用菱形的性質(zhì)，可知E，P′關(guān)于x軸對(duì)稱，分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：∵四邊形ECP'D是菱形，∴點(diǎn)E與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱．∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，n），∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（2，﹣n）．當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣n）．代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n．n＝﹣8．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣n，﹣2）．代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3．綜上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3．﹣8﹣2﹣3＝﹣13故答案為：﹣13．17．（2021?吳興區(qū)校級(jí)三模）定義：如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），那么稱此二次函數(shù)圖象為“線性曲線”．例如：二次函數(shù)y＝2x2﹣5x﹣7和y＝﹣x2+3x+4的圖象都是“線性曲線”．若“線性曲線”y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的值0或12．【解題思路】拋物線與y軸一定有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)新定義得到拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），則分類討論：若拋物線過(guò)原點(diǎn)，則1﹣2k＝0，可解得k=12；若點(diǎn)（﹣1，0）為頂點(diǎn)時(shí)，利用拋物線對(duì)稱軸方程易得m＝﹣2，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到1+m+1﹣2k＝0，然后把m＝﹣2代入可計(jì)算出對(duì)應(yīng)k【解答過(guò)程】解：因?yàn)閽佄锞€y＝x2﹣mx+1﹣2k經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），所以當(dāng)拋物線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)1﹣2k＝0，解得k=12當(dāng)點(diǎn)（﹣1，0）為頂點(diǎn)時(shí)，拋物線y＝x2﹣mx+1﹣2k與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則??m2=?1，解得把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+1﹣2k得1+m+1﹣2k＝0，所以2﹣2﹣2k＝0，解得k＝0，綜上所述，k的值為0或12．故答案為0或12．18．（2021?慶云縣二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x＜0)，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”．請(qǐng)問(wèn)：若點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的值是42【解題思路】根據(jù)新定義，分析函數(shù)y＝﹣x2+16在新定義下點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在分析a的取值范圍．【解答過(guò)程】解：由定義可知：①當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y′＝﹣x2+16，此時(shí)，拋物線y′的開(kāi)口向下，故當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y′隨x的增大而減?。ㄈ鐖D）即：﹣a2+16≤y′≤16，②當(dāng)﹣5≤x＜0時(shí)，y′＝x2﹣16，拋物線y′的開(kāi)口向上，故當(dāng)﹣5≤x＜0時(shí)，y′隨x的增大而減?。ㄈ鐖D），即：﹣16＜y′≤9，∵點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，∴﹣a2+16≥﹣16∴a2≤32，∴﹣42≤a≤42，又∵﹣5≤x≤a，∴a＝42，在函數(shù)y＝﹣x2+16圖象上的點(diǎn)P，當(dāng)a＝42時(shí)，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，故答案為4219．（2021秋?武漢月考）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C1：y＝x2繞點(diǎn)（1，0）旋轉(zhuǎn)180°后，得到拋物線C2，定義拋物線C1和C2上位于﹣2≤x≤2范圍內(nèi)的部分為圖象C3．若一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k＞0）的圖象與圖象C3有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的范圍是：﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42【解題思路】如圖，由題意圖象C2的解析式為y＝﹣（x﹣2）2，圖象C3是圖中兩根紅線之間的C1、C2上的部分圖象，分五種情形討論即可．【解答過(guò)程】解：如圖，由題意圖象C2的解析式為y＝﹣（x﹣2）2，圖象C3是圖中兩根紅線之間的C1、C2上的部分圖象．由﹣2≤x≤2，則A（2，4），B（﹣2，﹣16），D（2，0）．因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx+k﹣1（k＞0）的圖象與圖象C3有兩個(gè)交點(diǎn)①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，滿足條件，4＝2k+k﹣1，解得k=53②當(dāng)直線與拋物線C1切時(shí)，由y=x2y=kx+k?1消去y得到x2﹣kx﹣∴k2+4k﹣4＝0，解得k=?2+22或﹣2﹣22（舍棄），觀察圖象可知當(dāng)﹣2+22＜k≤53時(shí)，直線與圖象C③當(dāng)直線與拋物線C2相切時(shí)，由y=?(x?2)2y=kx+k?1，消去y，得到x2﹣（4﹣k）x+3+∴（4﹣k）2﹣4（3+k）＝0，解得k＝6﹣42或6+42（舍棄），④當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，0）時(shí)，0＝2k+k﹣1，解得k=13觀察圖象可知，13≤k＜﹣42+6時(shí)，直線與圖象C⑤當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣2，﹣16）時(shí)，﹣16＝﹣2k+k﹣1，解得k＝15，觀察圖象可知，k≥15時(shí)，直線與圖象C3有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或故答案為﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣420．（2021?九江二模）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線被稱為：“直角拋物線”．如圖，直線l：y=15x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，14），一組拋物線的頂點(diǎn)B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點(diǎn)，第一個(gè)拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)A1（x1，0）和A2（x2，0），第二個(gè)拋物線與x軸交點(diǎn)A2（x2，0）和A3（x3，0），以此類推，若x1＝d（0＜d＜1），當(dāng)d為1120或1320【解題思路】由拋物線的對(duì)稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必定小于1．【解答過(guò)程】解：直線l：y=15x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，14），則b∴直線l：y=15x+由拋物線的對(duì)稱性知：拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．∵0＜d＜1，∴該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）；當(dāng)x＝1時(shí)，y1=當(dāng)x＝2時(shí)，y2=當(dāng)x＝3時(shí)，y3=當(dāng)x＝4時(shí)，y4=∴直角拋物線的頂點(diǎn)只有B1、B2、B3．①若B1為頂點(diǎn)，由B1(1，920②若B2為頂點(diǎn)，由B2(2，1320③若B3為頂點(diǎn)，由B3(3，1720)綜上所述，d的值為1120或1320或3故答案為：1120、1320、321．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)y2＝x2﹣2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1．（1）若k＝2，則新函數(shù)y＝x2﹣6x+1；（2）若新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝5，b＝﹣12；（3）設(shè)新函數(shù)y頂點(diǎn)為（m，n）．①當(dāng)k為何值時(shí)，n有大值，并求出最大值；②求n與m的函數(shù)解析式．【解題思路】（1）將k＝2代入函數(shù)y1＝2kx+k中得出函數(shù)y1＝4x+2，即可得出結(jié)論；（2）新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出結(jié)論；（3）①先得出新函數(shù)y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，進(jìn)而得出m=k+1n=?k②在m=k+1n=?k2?3k+2【解答過(guò)程】解：（1）當(dāng)k＝2時(shí)，y1＝2kx+k＝4x+2，∵函數(shù)y2=x2?2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，故答案為：x2﹣6x+1；（2）函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)y2=x2?2x+3，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2∴新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，∵新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，∴k＝5，b＝﹣12，故答案為：5，﹣12；（3）①由（2）知，新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，∵新函數(shù)y頂點(diǎn)為（m，n），∴m=k+1n=?k∴n=?k2當(dāng)k=?32時(shí)，n②由①知，m=k+1n=?k將k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：∴n＝﹣m2﹣m+4．22．（2021?雨花區(qū)一模）定義：對(duì)于給定函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0），則稱函數(shù)y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2?bx?c，(x＜0)為函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b（1）已知函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1．①寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的“相依函數(shù)”y=?x2②當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，此相依函數(shù)的最大值為2；（2）若直線y＝m與函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的相依函數(shù)的圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，求出m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)y=?12x2+nx+1（n＞0）的相依函數(shù)的圖象G在﹣4≤x≤2上的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0，當(dāng)【解題思路】（1）①根據(jù)“相依函數(shù)”直接可以得到結(jié)果；②當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，求出y＝﹣x2﹣2x+1的最大值為2，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求出y＝﹣x2+2x﹣1的最大值為0，即可得函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”最大值是2；（2）畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；（3）分（1）當(dāng)n≥4時(shí)，（2）當(dāng)2＜n＜4時(shí)，（3）當(dāng)0＜n≤2時(shí)，三種情況，分別比較兩個(gè)函數(shù)在﹣4≤x≤2上函數(shù)值的大小，根據(jù)32≤【解答過(guò)程】解：（1）①∵函數(shù)y＝ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0），則稱函數(shù)y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2?bx?c，(x＜0)為函數(shù)y＝∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”是y=?x故答案為：y=?x②當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值為2，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1時(shí)，y有最大值為0，綜上所述，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”最大值是2，故答案為：2；（2）函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”的圖象如圖：由y＝﹣x2﹣2x+1可得頂點(diǎn)B（﹣1，2），與y軸交點(diǎn)C（0，1）（函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函數(shù)”圖象不包含C），由y＝﹣x2+2x﹣1可得頂點(diǎn)D（1，0），與y軸交點(diǎn)A（0，﹣1），當(dāng)直線y＝m與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象知：m＜﹣1或m＝0或1≤m＜2；（3）由題意知，函數(shù)y=?12x2+nx+1（n＞0）的“相依函數(shù)”為y=?12x2+nx+1=?12（1）當(dāng)n≥4時(shí)，y=?12（x+n）2+12n2﹣1圖象的對(duì)稱軸在直線x＝﹣4左側(cè)，y=?12（x﹣n）2+當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，∵n≥4，∴2n﹣1≤4n﹣9，又32≤y0∴32≤4n∴218≤n≤∴4≤n≤92（2）當(dāng)2＜n＜4時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，∵2＜n＜4，∴2n﹣1＞12n2此時(shí)由32≤y0≤9，可得32≤2n﹣1≤9，有∴2＜n＜4，（3）當(dāng)0＜n≤2時(shí)，而12n2+1＞12n∴32≤12∴1≤n≤4，∴1≤n≤2，綜上所述，n的取值范圍是1≤n≤9223．（2021春?東湖區(qū)校級(jí)月考）在直角坐標(biāo)系xOy中，定義點(diǎn)C（a，b）為拋物線y＝ax2+bx（a≠0）的特征點(diǎn)坐標(biāo)．（1）已知拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），則它的特征點(diǎn)坐標(biāo)是（12，2）；（2）若拋物線L1：y＝ax2+bx的位置如圖所示：①拋物線L1：y＝ax2+bx關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線L2的解析式為y＝﹣ax2+bx；②若拋物線L1的特征點(diǎn)C在拋物線L2的對(duì)稱軸上，試求a、b之間的關(guān)系式；③在②的條件下，已知拋物線L1、L2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，當(dāng)點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形時(shí)，求a的值．【解題思路】（1）結(jié)合點(diǎn)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線L的函數(shù)解析式，再結(jié)合特征點(diǎn)的定義，即可得出結(jié)論；（2）①由拋物線L1：y＝ax2+bx與拋物線L2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，可將y換成﹣y，將x換成﹣x，整理后即可得出結(jié)論；②根據(jù)拋物線L2的解析式可找出它的對(duì)稱軸為：x=b2a，由拋物線L1的特征點(diǎn)C在拋物線L2的對(duì)稱軸上可得出a=③結(jié)合②的結(jié)論，表示出點(diǎn)C、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得出MN、MC、NC的長(zhǎng)度，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分三種情況考慮，分別根據(jù)線段相等得出關(guān)于a的一元四次方程，解方程再結(jié)合a的范圍即可得出a的值．【解答過(guò)程】解：（1）將點(diǎn)A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到拋物線解析式中，得?2=4a?2b0=16a?4b，解得：a=1∴拋物線L的解析式為y=12x2+2x∴它的特征點(diǎn)為（12，2）．故答案為：（12，2）；（2）①∵拋物線L1：y＝ax2+bx與拋物線L2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴拋物線L2的解析式為﹣y＝a（﹣x）2+b（﹣x），即y＝﹣ax2+bx．故答案為：y＝﹣ax2+bx．②∵拋物線L2的對(duì)稱軸為直線：x=?b2(?a)∴當(dāng)拋物線L1的特征點(diǎn)C（a，b）在拋物線L2的對(duì)稱軸上時(shí)，有a=b2a∴a與b的關(guān)系式為b＝2a2．③∵拋物線L1、L2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，∴在拋物線L1：y＝ax2+bx中，令y＝0，即ax2+bx＝0，解得：x1=?ba，x2即點(diǎn)M（?ba在拋物線L2：y＝﹣ax2+bx中，令y＝0，即﹣ax2+bx＝0，解得：x1=ba，x2即點(diǎn)N（ba，0）．∵b＝2a2，∴點(diǎn)M（﹣2a，0），點(diǎn)N（2a，0），點(diǎn)C（a，2a2）．∴MN＝2a﹣（﹣2a）＝4a，MC=(a+2a)2+4a因此以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，有以下三種可能：（i）MC＝MN，此時(shí)有：(a+2a)2+4a2=4a，即9a2+4a解得：a＝0，或a＝±72，∵a＜0，∴a=?72（ii）NC＝MN，此時(shí)有：NC=(a?2a)2+4a4=4a，即a2+4解得：a＝0，或a＝±152，∵a＜0，∴a=?152（iii）MC＝NC，此時(shí)有：(a+2a)2+4a2=(a?2a)解得：a＝0，又∵a＜0，∴此情況不存在．綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，a的值為?72或?24．（2021?蘇州二模）定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“N”函數(shù)．（1）寫(xiě)出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函數(shù)的表達(dá)式；（2）若題（1）中的兩個(gè)“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的值；（3）如圖，二次函數(shù)y1與y2互為“N”函數(shù)，A、B分別是“N”函數(shù)y1與y2圖象的頂點(diǎn)，C是“N”函數(shù)y2與y軸正半軸的交點(diǎn)，連接AB、AC、BC，若點(diǎn)A（﹣2，1）且△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解題思路】（1）利用“N”函數(shù)的定義，求出a，b，c的值，即可求出表達(dá)式；（2）將y＝kx與二次函數(shù)聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定△的取值即可求出k的值；（3）先由“N”函數(shù)的中心對(duì)稱性確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)直角位置分情況討論，然后利用勾股定理求出C的坐標(biāo)．【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)y＝﹣x2+x﹣1“N”函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c．則a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0．∴a＝1，b＝1，c＝1．∴y＝x2+x+1．（2）根據(jù)題意得：y=?x2+x?1y=kx，即x2+（k判別式△1=(k?1)y=x2+x+1y=kx，即x2+（1﹣k判別式△2=(1?k)∴△1＝△2．設(shè)△＝△1＝△2．若Δ＞0，則“N”函數(shù)與y＝kx有四個(gè)交點(diǎn)；若Δ＝0，則“N”函數(shù)與y＝kx有兩個(gè)交點(diǎn)；若Δ＜0，則“N”函數(shù)與y＝kx有沒(méi)有交點(diǎn)；∴Δ＝0，即（k﹣1）2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．故k＝﹣1或3．（3）由題意得“N“函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1）．∵△ABC是直角三角形，下面分情況討論：若∠ACB＝90°，則AC2+BC2＝AB2，即（c﹣1）2+22+（c+1）2+22＝42+22，解得c=±5．∵c＞0，∴c=5．∴C的坐標(biāo)為（0，5）．若∠CAB＝90°，則AC2+AB2＝BC2．即（c﹣1）2+22+20＝（c+1）2+22，解得：c＝5．∴C的坐標(biāo)為（0，5）．若∠ABC＝90°，則C在y的負(fù)半軸，故舍去．∴C（0，5）或C（0，5）．25．（2021?長(zhǎng)沙模擬）定義：若函數(shù)y＝x2+bx+c（c≠0）與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為xA，xB，與y軸的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yC，若xA，xB中至少存在一個(gè)值，滿足xA＝y(tǒng)C（或xB＝y(tǒng)C），則稱該函數(shù)為“M函數(shù)”．如圖，函數(shù)y＝x2+2x﹣3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣3，滿足xA＝y(tǒng)C，則稱y＝x2+2x﹣3為“M函數(shù)”．（1）判斷y＝x2﹣4x+3是否為“M函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)?zhí)骄俊癕函數(shù)”y＝x2+bx+c（c≠0）表達(dá)式中的b與c之間的關(guān)系；（3）若y＝x2+bx+c是“M函數(shù)”，且∠ACB為銳角，求c的取值范圍．【解題思路】（1）求出函數(shù)y＝x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可直接根據(jù)“M函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，即與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，將（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b與c之間的關(guān)系；（3）分情況討論：①當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，畫(huà)出草圖，求出函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則∠ACO＝45°，所以只需滿足∠BCO＜45°，即可判斷c的取值范圍；②當(dāng)C在y軸正半軸上，且A與B不重合時(shí)，畫(huà)出草圖，顯然都滿足∠ACB為銳角，即可寫(xiě)出c的取值范圍；③當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．【解答過(guò)程】解：（1）y＝x2﹣4x+3是“M函數(shù)”，理由如下：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，∴y＝x2﹣4x+3是“M函數(shù)”；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，即與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，∵y＝x2+bx+c是“M函數(shù)”，∴x＝c時(shí)，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如圖1，當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，顯然當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則∠ACO＝45°，∴只需滿足∠BCO＜45°，即BO＜CO，∴c＜﹣1；②如圖2，當(dāng)C在y軸正半軸上，且A與B不重合時(shí)，∴顯然都滿足∠ACB為銳角，∴c＞0，且c≠1；③當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意，綜上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．26．（2020秋?任城區(qū)期末）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問(wèn)題：小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．請(qǐng)思考小明的方法解決下面問(wèn)題：（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)；（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2021的值．（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【解題思路】（1）由二次函數(shù)的解析式可得出a1，b1，c1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問(wèn)得解；（2）由函數(shù)y＝5x2+（m+1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2021即可求出結(jié)論；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，由點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可求出過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【解答過(guò)程】（1）解：由函數(shù)y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）解：根據(jù)題意得：m?1=?nn?3=0，解得m=?2n=3∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；（3）證明：化簡(jiǎn)y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），∴A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），∴經(jīng)過(guò)A1、B1、C1三點(diǎn)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4x+6，∴y＝﹣2x2+4x+6與原函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）是旋轉(zhuǎn)函數(shù)．27．（2021?北侖區(qū)一模）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖，拋物線C1與拋物線C2組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”，拋物線C1與拋物線C2與x軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為A，B且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），拋物線C2的解析式為y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）請(qǐng)你根據(jù)“月牙線”的定義，設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)口向下的“月牙線”，直接寫(xiě)出兩條拋物線的解析式；（2）求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第三象限內(nèi)的拋物線C1上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAM的面積最大？若存在，求出△PAM的面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)定義，只要兩個(gè)拋物線與x軸有著相同的交點(diǎn)，且a的值為負(fù)即可；（2）在解析式y(tǒng)＝mx2+4mx﹣12m中，令y＝0即可求出M，N的橫坐標(biāo)，可進(jìn)一步寫(xiě)出其坐標(biāo)；（3）先求出拋物線C1的解析式，再用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)一步用含t的代數(shù)式表示出△PAM的面積，即可根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求出其最大值．【解答過(guò)程】解：（1）如圖1，拋物線y＝﹣x2+2x+3與拋物線y=?13x2+2（2）在拋物線C2的解析式y(tǒng)＝mx2+4mx﹣12m中，當(dāng)y＝0時(shí)，mx2+4mx﹣12m＝0，∵m≠0，∴x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝﹣6，x2＝2，∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，∴M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，理由如下：如圖2，連接AM，PO，PM，PA，∵拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同，∴可設(shè)拋物線C1的解析式y(tǒng)＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），∵拋物線C1與y軸的交點(diǎn)為A（0，﹣3），∴﹣12n＝﹣3，∴n=14∴拋物線C1的解析式為y=14x2+x∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，14t2+t﹣3），∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM=12×6×（?14t2﹣t+3）+1=?34t2?9=?34（t+3）2+∵?34＜0，﹣6＜∴根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，當(dāng)t＝﹣3時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，?154）時(shí)，△PAM的面積有最大值，最大值為2728．（2021?開(kāi)福區(qū)模擬）定義：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x＜0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它們的相關(guān)函數(shù)為y=?x+1(x＜0)x?1(x≥0)（1）已知點(diǎn)A（﹣5，8）在一次函數(shù)y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；（2）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x?12①當(dāng)點(diǎn)B（m，32）在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求m的值；②當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，求函數(shù)y＝﹣x2+4x?12【解題思路】（1）寫(xiě)出y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)，代入計(jì)算；（2）①寫(xiě)出二次函數(shù)y＝﹣x2+4x?12②根據(jù)二次根式的最大值和最小值的求法解答．【解答過(guò)程】解：（1）y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)y=?ax+3(x＜0)ax?3(x≥0)將A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函數(shù)y＝﹣x2+4x?12的相關(guān)函數(shù)為y=①當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，32）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+12解得：m＝2+5（舍去），或m＝2?5當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，32）代入y＝﹣x2+4x?1﹣m2+4m?12解得：m＝2+2或m＝2?2綜上所述：m＝2?5或m＝2+2或m＝2?②當(dāng)﹣3≤x＜0時(shí)，y＝x2﹣4x+12，拋物線的對(duì)稱軸為x此時(shí)y隨x的增大而減小，∴此時(shí)y的最大值為432，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x?12，拋物線的對(duì)稱軸為x當(dāng)x＝0有最小值，最小值為?12，當(dāng)x＝2時(shí)，有最大值，最大值y=綜上所述，當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x?12的相關(guān)函數(shù)的最大值為432，最小值為29．（2021春?海曙區(qū)校級(jí)期末）定義：若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（ac≠0）與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為xA、xB，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yC，若xA、xB中至少存在一個(gè)值，滿足xA＝y(tǒng)C（或xB＝y(tǒng)C），則稱該函數(shù)為和諧函數(shù)．例如，函數(shù)y＝x2+2x﹣3就是一個(gè)和諧函數(shù)．（1）判斷y＝x2﹣4x+3是否為和諧函數(shù)，答：是（填“是”或“不是”）；（2）請(qǐng)?zhí)骄亢椭C函數(shù)y＝ax2+bx+c表達(dá)式中的a、b、c之間的關(guān)系；（3）若y＝x2+bx+c是和諧函數(shù)，當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，求出c的值；（4）若和諧函數(shù)y＝x2+2x﹣3交