極坐標(biāo)知識(shí)講座

極坐標(biāo)pG,。)，其中rO^J的有向距離,e是從初始射線到射線OP的有向角一一、如果不限制r,e的范圍，同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不是唯一的.例如力、 11n\P2,遙=P2,-］表示同一個(gè)I6) \o)點(diǎn).二、極坐標(biāo)r<0的意義7tt/68*例1r=sin20用直角坐標(biāo)系中r=sin20圖形來(lái)理解四葉玫瑰線

r=sin26法作圖.若r法作圖.若rv0，則極坐標(biāo)系中點(diǎn)(r,0)實(shí)際上處于點(diǎn)(-r,0+K)或(-r,0-K)的位置上，于是得到如下的處理方法：將直角坐標(biāo)曲線r=F(0)在軸下方的圖形向左或向右平蓉兀的整數(shù)倍，使之位于區(qū)間(0,2冗］內(nèi)；再以0軸為軸線將這部分圖形翻轉(zhuǎn)到0軸上方，然后按，r>0情形的描點(diǎn)方法作圖.注意負(fù)移正不動(dòng).r=sin36在直角坐標(biāo)系中的圖形FW\7

軸下方圖形平移后的結(jié)果如下下方圖形向上翻轉(zhuǎn)得到J1r\An2k兀4n5n3333例3r=asin3o3f/SUl求曲線r=asin3o(a>0)的3全長(zhǎng).分析本例中r=asin3o(a>0)是一個(gè)連續(xù)■3 、

的周聲函數(shù)，其周期為，即區(qū)間1_6〃冗^(guò)6冗+6孩?！股系那€與區(qū)限【0,6"］上的曲線完全重合.但這并不說(shuō)明曲線的繞圈周期也一定就是&「,完年有可能是實(shí)際上，在區(qū)間L0,3冗」上曲線完*一個(gè)周辛1?而在區(qū)間葉^,6冗」由-rF<0,所以曲線與區(qū)間Lo,3冗」上曲線完全重合.事實(shí)戶，年*+aVxgL0,3冗Ur=asiD3o=asin33冗+a=asin3(+a)<0,—3— 3

養(yǎng)照r<0 意斗\asin3偵+ +a/與)§ ：asin3a,a 表示同一個(gè)點(diǎn)?33S=f3”ir2+rr2de=f3"/a2sin6o+a2sin40?cos20dq3 33=a」③冗sin20d0=3冗a.0 寺 之三、極坐標(biāo)下的對(duì)稱性四、極坐標(biāo)圖形舉例B1p165-20雙紐線r2=2a2cos20如圖所示，p-p=a2的點(diǎn)的軌1 2跡.由余弦定理，Jp2=r2+a2+2racos0[p2=r2+a2-2racos0np2p2=(r2+a2)-4r2a2COS20,12即

a4=。2+a2》-4r2a2COS20,即r2+2a2(1-2cos20)=0nr2=2a2cos20例5臟線（左尖）r=1+cos0的圖形動(dòng)畫(huà)演示：心臟線左尖.gif

心臟線左尖平行線.gif-0.6—-0.8--1.0-1.2-1.4例6心臟線r=1一cos0的圖形er=1—cos0o1-213-22077-377-23”心臟線r=1一cos&動(dòng)畫(huà)演示：心臟線動(dòng)畫(huà).gif心臟線+平行線.gif

-0.8--1-0.8--1-1-1024例7設(shè)q=1方程r2=cos20要求cos2e>0于是我們讓20從—n跑到n即一n<0<n^就>得到整個(gè)圖疚對(duì)-：和n之間的o每一個(gè)值，公式r2=cos20給出r的兩個(gè)值r=±/cos20.

動(dòng)畫(huà)演示：雙紐線2.gif例8r24cos0的圖形

r2=4cos0動(dòng)畫(huà)：雙紐線1.gif例9r=3sin0+3.5cos100cos80動(dòng)畫(huà)演示：極坐標(biāo)畫(huà)花.gif例10b1p175-33動(dòng)畫(huà)b1p175-33.gif五、極坐標(biāo)曲線的斜率設(shè)曲線r=f（諾,改寫(xiě)成參數(shù)方程

”x=rcos0=f（0）cos0Iy=rsin0=f（0）sin0Idx=n〈d0|dy=d0f，（Idx=n〈d0|dy=d0f，（0）sin0+f（0）cos0dy=f，（0）sin0+f（0）cos0dx（r,0） f1（0）cos0-f（0）sin0心臟線r=1-cos00Iy-1.21.00.0.40.-0.-0.-0.8J.0--1.2-0.2X-2.0 -1.5-1.0 -0.5水平切線在（0,0）=（0,2n）,（3,2n）,（3,4n）23 23垂直切線在（1,丸）,（2,n）,23（1,5n）23六、極坐標(biāo)面積微元六、極坐標(biāo)面積微元㈣），照y七、極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式設(shè)曲線r=f（。）,a<0<p改寫(xiě)成參數(shù)方程Jx=rcos0=f（0）cos0[y=rsin0=f（0）sin0Jdx=fz（0）cos0-f（0）sin0=[dy=f，（0）sin0+f（0）cos0d0G>+C^CrCe^+C/Ce))2dQdQ=，2+Qr)2dBL=fp/(—)2+(d)d。

ay30 30=fp/，2+G)2曲

ay3?八、應(yīng)用舉例1.對(duì)數(shù)螺線一般對(duì)數(shù)螺線的極坐標(biāo)方程是r=ajie，其中a-r,即0=0時(shí)的向徑長(zhǎng)度. °若v表示切線與向徑的夾角,則Jx=rcos0=r（0）cos0[y=rsin0=r（0）sin0Jdx=r'（0）cos0-r（0）sin0dy=r‘（0）cos0一r（0）sin03dy=r（0）sin0+r（0）cos0=尸（0）tan0+r（0）dx（r,0） 尸（0）cos0-r（0）sin0 尸（0）-r（0）tan0tanW=tan（a—0）=tana-tan0=y'-tan01+tanatan0 1+y'tan0—r,（0）tan0+r（0）—tan0—尸（0）tan0+r（0）—tan0—（0）—r（0）tan0）=r（0）-r（0）tan0=1+3n0r'（0）tan0+r（0） r^（0）-r（0）tan0+tan0Vr^（0）tan0+r（0））r（0）-r（0）tan0—r（0）（1+tan0）—r（0）,r（0）（1+tan0） r（0）

即得即得cotw=r（0）,而r=ap。Xo）nrr（0）=叩。Inp=r（0）Ing于是cotw=r'（°）=r（°）lnp=Inp.X。） r（°）eIn?eIn?l=eCQtyv貝,改寫(xiě)r=a^=“5『1=ag01,r2=ag02當(dāng)缶―時(shí)，您—理*— — =右+1=>fln(i=In^1cot\|/=Inji=*ln捋1=0.30635

這樣定義的對(duì)數(shù)螺線,任何一對(duì)互

相垂直的向徑為邊的矩形都是黃金

矩形，故稱黃金對(duì)數(shù)螺線?a中.2.阿基米德螺旋線a中.2.阿基米德螺旋線有一種凸輪傳動(dòng)裝置，通過(guò)以勻角速度⑴轉(zhuǎn)動(dòng)的主動(dòng)輪邊緣來(lái)驅(qū)動(dòng)從動(dòng)桿，使從動(dòng)桿以勻速v作鉛直上升的直線運(yùn)動(dòng)，并周期性地突然下降再作鉛直上升的直線運(yùn)動(dòng),如此周而復(fù)始.9=^t, p=p+vt0這里p為初始向徑，參數(shù)t為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)0間,消去其中的參數(shù)t,得到p=p+v9,0頁(yè)記a記a=v,&則有p=p+aq (0<9<2n)0如果對(duì)上式所表示曲線中的9的范圍不加限制，則可得到一圈圈向外呈發(fā)散狀的螺旋線?動(dòng)畫(huà)演示：阿基米德螺線動(dòng)畫(huà)演示：阿基米德螺線.gif3九、求極坐標(biāo)圖形的交點(diǎn)從圖形上看,a曲線r=1一cos0與曲線r2=4cos0有四個(gè)交點(diǎn).但是我們聯(lián)立fr=1-cos0 〃〈 ^^r=1—r2Ir2=4cos0 力=r=-2土2/2,因?yàn)閞<2,所以舍棄r=—2—2j2,對(duì)應(yīng)r=—2+2^j2的0值是、0=arccos(1—r)=arccos^3—2/2人±80但是漏掉(°,。)和(2,n)兩個(gè)交點(diǎn).為什么這兩個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有被解聯(lián)立方程發(fā)現(xiàn)?回答是:點(diǎn)(0,0)和(2,n)不同時(shí)在曲線上，即不是在同樣的0值到達(dá).在曲線r=1—cos0上,點(diǎn)(2,n)在0=n時(shí)到達(dá)；而在曲線r2=4cos0上，點(diǎn)(2,n)在0=0時(shí)到達(dá)，它沒(méi)有從坐標(biāo)(2,丸)得到，因?yàn)樵撟鴺?biāo)不滿足方程，但?可以從坐標(biāo)(-2,0)得到，后者滿足方程?類似地，r=1—cos0在0=0時(shí)到達(dá)原點(diǎn)，而曲線nr2=4cos0，在0= 時(shí)到達(dá)原點(diǎn).2動(dòng)畫(huà)演示:極坐標(biāo)曲線交點(diǎn)-動(dòng)畫(huà).gif在交通