高中數(shù)學(xué)課堂講義-直線與平面垂直的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)課堂講義——直線與平面垂直的性質(zhì)

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識點一直線與平面垂直的性質(zhì)定理........................................1

3.知識點二線面距與面面距...................................................2

4.課堂作業(yè)....................................................................2

5.探究點一直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用........................................3

6.探究點二空間中的距離問題.................................................5

7.探究點三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................7

8.課堂作業(yè)....................................................................9

9.課時作業(yè)（三十一）直線與平面垂直的性質(zhì)....................................11

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1從.相關(guān)定義和基本事實1能.從教材實例中歸納出直線與平面垂

出發(fā)，借助長方體，通過直觀直的性質(zhì)定理.（邏輯推理）

平

感知，了解空間中直線與平面2.能從實際問題中了解直線與平面、平

的垂直關(guān)系.面與平面間的距離.（數(shù)學(xué)抽象）

2.歸納出直線與平面垂直

能利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明

的性質(zhì)定理.

平垂直問題，會求簡單的直線與平面、平面與

3了.解直線與平面、平面

平面的距離.（邏輯推理）

與平面的距離.

2.知識點一直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線壬丘

a.La

符號語言,,f^a//b

bLa)

第1頁共17頁

ab

圖形語言7

作用①線面垂直今線線平行，②作平行線

［點撥］(1)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直

線都與同一個平面垂直)；

(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂

直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).

3.知識點二線面距與面面距

1.直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點

到這個平面的距離.

2.平面與平面的距離：兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)任意一點到另一

個平面的距離.

［點撥］由直線到平面的距離與平行平面間的距離的定義知，它們都可以轉(zhuǎn)

化為點到平面的距離.

4.課堂作業(yè)

1.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“x”)

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.()

(2)到已知平面距離相等的兩條直線平行.()

(3)直線上任意一點到這個平面的距離，就是這條直線到這個平面的距

離.()

(4)對于直線處平面a,口,若。_La,a〃夕，貝I)

答案：(1)7⑵X⑶X(4)V

2.已知直線a,b,平面扇且“J_a,下列條件中，能推出?！╞的是()

A.b//aB.bUa

C.b.LaD.與a相交

C［由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)時，a〃。故選C.］

3.如圖，抬，平面ABC,ZACB=90°,EF//PA,且CE與43不垂直，

第2頁共17頁

則圖中直角三角形的個數(shù)是（）

A.3B.4

C.5D.6

D[VZACB=90°,?.AACB是直角三角形.由抬，平面ABC,得

PA±AB,PALAC,PALBC,△必。是直角三角形.XBCLAC,AC

n_R4=A,，臺。，平面RIC,：.BC±PC,.?.△PCS是直角三角形.,JEF//PA,

ABC,...EF，平面ABC,：.EF工BE,EFLEC,：./\BEF,△REC是

直角三角形，,△用8,△RIC,△ACB,APCB,AFEC,△BEf均為直角三

角形，共6個.]

4.已知正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長為1,點E是棱BB\的中點，則點

Bi到平面ADE的距離為.

解析：由于E是的中點，故點用到平面ADE的距離等于點8到平

面AOE的距離，如圖，過3作BFL4E于點凡由于BFLAD,ADQAE=A,

1、月

故8/1.平面AOE.在直角三角形ABE中，AB=1,BE=^,AE=[一,所以

:1ABBE=1\AEBF,解得8尸=、行學(xué),即點辦到平面AOE的距離為\[手5.

答案：當(dāng)

5.探究點一直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用

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如圖所示，在正方體ABCQ-AiBCiDi中，M是A8

上一點，N是AC的中點，MN，平面AQC.求證：MN//ADi.

證明：因為四邊形AODIAI為正方形，所以Ad_LAiD

又CO_L平面ADDiA］,ADC平面ADDA，

所以COLAOi.

因為4OnCO=。，所以AQi_L平面4OC.

又MN_L平面AQC,所以MN//AD1.

方法技巧

證明線線平行的方法

(1)利用線線平行定義，證共面且無公共點；

(2)利用三線平行公理，證兩直線同時平行于第三條直線；

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理，把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理，把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

［對點訓(xùn)練］

如圖，已知AD1AC,AELBC交BC于點E,。為FG的中點,

AF=AG,EF=EG.求證：BC//FG.

證明：因為AOLAC,ABCAC=A,

所以AO,平面ABC.

又8CU平面ABC,

所以AO,8c.

連接。戊圖略)，XAELBC,ADHAE=A,

所以平面ADE.

因為。為尸G的中點，Ab=AG,EF=EG,

所以/GLAD,FGLDE.

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又ADfWE=。，

所以FG,平面ADE,

所以8C〃FG.

6.探究點二空間中的距離問題

(2020?湖南長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)等四校聯(lián)考)如圖，多面體ABC-OBiG

是正三棱柱ABC-AICi沿平面DBiG切除一部分所得，8C=CG=1,。為A4i

的中點.

AD

BB,

(1)求證：BG，平面BCD；

⑵求點B\到平面BCD的距離.

解析：(1)證明：設(shè)與交于點E,連接￡>￡

..,多面體ABC-DB\C\是正三棱柱ABC-A\B\C\沿平面DB\C\切除一部分所

得，BC=CC\,二四邊形B8GC是正方形.

四邊形CGDA,ABB。均為直角梯形，其中AB_LA。，AC±AD.

?。為A4的中點，AA\^BB\,S.BD^BA^AD1=[=乎.

又CiD=y]CCCi-AD)2+AC2=^J[1-￡|-+12=坐，：.BD=C\D.

為BCi的中點,.*.8。1_1_?！?又>84_15。1，BiCCDE=E,平

面BCD.

(2)設(shè)點Bi到平面BCD的距離為d.

\'VBi-BCD=VD-BCB],點。到平面BCC\B\的距離即為△ABC的邊

上的高,

第5頁共17頁

即為]_=坐’SABCD,</=|SABiBCX坐.

又，：DC=BD=^,BC=1,

.,?SABCD=|XBCX#￡>2TBe2~.

又XBC2=j,

A/31A/3

SAAB\BC義匕]X勺立

??d=p=\=c,

□△BDC1，

2

即點3到平面BCD的距離為坐.

方法技巧

空間中距離的轉(zhuǎn)化

(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或

平面上的另一點到平面的距離；

(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借

助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離.

［對點訓(xùn)練］

如圖，四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為矩形，出，平面ABC。，E為PD

的中點.

(1)求證：〃平面AEC；

(2)設(shè)AP=1,AD=S,三棱錐P-AB。的體積丫=芋，求A到平面P8C

的距離.

解析：(1)證明：如圖，設(shè)8。與AC的交點為。，連接E0.

因為四邊形ABC。為矩形，

所以點。為8。的中點.

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又點￡為PO的中點，

所以￡?！ㄊ?.

因為EOU平面AEC,PBQ平面AEC,

所以〃平面AEC

(2)VP-ABD=|APSAAW=|APABAD=^X1XABX小AB.

.lz—近

由VP-ABD-4，

3

可得AB=；.

作AH1PB于點H.

由題設(shè)知BC，平面BAB,所以BCLAH,

故A“，平面PBC,

即AH的長就是點A到平面PBC的距離.

因為PB=y/Ap2+AB2=個F+[|j=^2'

1X3

圻以4〃APAB_L_2_至叵

所以A“一pB—亞j-13'

2

所以點A到平面PBC的距離為q*.

7.探究點三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

斜邊為A3的直角三角形ABC,孫，平面A3CAELP8,AFLPC,E,

產(chǎn)分別為垂足，如圖.

(1)求證：EF1PB-,

(2)若直線平面AER求證：PB//1.

證明：(1)因為平面ABC,所以玄_L8C.

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又因為△ABC為直角三角形，A3為斜邊，

所以BC_LAC,PA^AC=A,

所以BCL平面PAC.

又因為AFU平面鞏C,所以BCLAF.

^AF±PC,且PCCBC=C,

所以AF_L平面PBC.

又PBu平面PBC,所以AFLBP.

又AELPB,且AECAf=A,

所以PB_L平面AEF.

又EFU平面AEF,所以EFLPB.

(2)由(1)知，PB,平面AEF,

而LL平面AEF,所以尸8〃/.

方法技巧

綜合應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)證明線線垂直時，一是根據(jù)已知的垂直關(guān)

系，確定需要證明的直線和平面；二是思路調(diào)整，比如要證明直線。垂直于平

面a內(nèi)的直線從往往需要證明直線〃垂直于直線a所在的平面△

［對點訓(xùn)練］

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA_L平面ABCD,過A且垂直于SC

的平面分別交SB,SC,S。于點E,F,G.

求證：AEA.SB.

證明：?；SA_L平面A8CO,

：.SA±BC.

?四邊形ABC。是正方形，：.ABA.BC.

VSAnAB=A,二臺。，平面SAB.

：AEU平面SAB,：.BC±AE.

'：SC,平面AGFE,：.SCYAE.

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又,/BCnSC=C,二AE，平面SBC.

而S3U平面SBC,：.AE±SB.

8.課堂作業(yè)

1.（多選）下列說法中正確的是（）

A.過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直

B.過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直

C.過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行

D.過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直

ABC[由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知ABC正確；D錯，過直線

外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直.故

選ABC.]

2.已知%_L矩形ABC。所在平面，PA^AD,M,N分別是AB,PC的中

點，則MN垂直于（）

A.ADB.CD

C.PCD.PD

B[連接AC,3。交于點O.連接NO,MO（圖略）.

二?四邊形ABCD為矩形，

：.AO=OC.

,:N,0分別為PC,AC中點，

:.NO〃PA.

矩形ABC。，面ABCD

J.NOVCD.

又tM,。分別為AB,AC的中點，J.MOLCD.

又NOnMO=O,，C。，面MNO,

二.COLMN.故選B.]

3.已知NACB=90°,尸為平面ABC外一點，PC=2,點P到NAC8兩邊

AC,BC的距離均為小，那么尸到平面ABC的距離為.

解析：如圖所示，設(shè)P。，平面ABC于O,PELAC于￡,PFLBC于尸,

連接OE,OF,0C.

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平面ABC,ACU平面ABC,：.POLAC.

又POHPE=P,

平面POE.

又OEU平面POE,

：.AC±OE.

同理有BC±OF.：.四邊形OECF為矩形.

:PC=PC且PE=PF,

.,.RtAPEC^RtAPFC.

：.EC=FC=\)PC2-PE2=1.

二四邊形OECF是邊長為1的正方形.

/.OC=y[2.

在RtAPOC中，PO=ylPC2~OC2=^22-(72)2=啦.

答案：也

4.如圖，直角梯形A3CO與梯形EFCD全等，其中4?〃CO〃ERAD=

AB=1CD=1,且EOL平面ABCD,點G是CD的中點.

(1)求證：平面8CF〃平面AEG；

(2)求平面BCF與平面AEG的距離.

解析：(1)證明：AB=；CD,G是CD的中點,

：.AB^GC,

二四邊形A8CG為平行四邊形，J.BC//AG.

又AGU平面AEG,平面AEG,

二.BC〃平面AEG.

「直角梯形ABC。與梯形EFCO全等，AB//CD//EF,

：.EF^AB,，四邊形A3FE為平行四邊形，J.AE//BF.

又AEU平面AEG,8同平面AEG,二即”平面AEG

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又BFCBC=B,BF,8CU平面

二平面8CR〃平面AEG.

⑵設(shè)點C到平面AEG的距離為d,

易知AE=EG=AG=yJi.

連接EC,AC（圖略），由VCXGE=VE.ACG，

得（xgXA/XsinGO。XJ=|X；XCGXADXDE,解得d=9

1?平面8CF〃平面AEG,

二平面BCF與平面AEG的距離為為-.

9.課時作業(yè)（三H―）直線與平面垂直的性質(zhì)

（本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！）

[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.四棱錐P-A3CD,孫，平面ABC。，^LPA=AB=AD,四邊形ABC。是

正方形，E是P。的中點，則AE與PC的關(guān)系是（）

A.垂直B.相交

C.平行D.相交或平行

A「.?F4=AO,E為PO的中點，「.AELPD又F4_L面A8C￡>,

又?.?COLAO,PADAD=A,二。，面%D.'.COLAE又?.?0）nPO=。，二

A￡!?PCD,：.AE±PC.]

2.在正方體ABCO-AIBIGQI中，點P是線段8G上任意一點，則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.ADi±DPB.APLB\C

C.ACiA.DPD.AiPlBiC

B[在正方體ABCD-AiBCDi中,因為8C_L3G，

BiClAB,

BCiOAB=B,

所以BiC_L平面ABCiDi，

因為點P是線段BG上任意一點，

第11頁共17頁

所以AP_LBiC故選B.]

3.設(shè)血，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，則下列命題正確

的是（）

A.若加〃a,n//a,則

B.若機〃a,m//J3,則a〃4

C.若，??〃〃，機_La,則〃J_a

D.若m//a,a工則

Cm//n,mJ_a,貝4故選C.]

4.如圖，的邊AF,平面ABC。，且AE=2,CD=3,則CE=（）

A.2B.3

C.y[5D.V13

D[因為四邊形AOEF為平行四邊形，

所以A尸〃OE且AF=DE.

因為AF_L平面ABC。，

所以?！闬1_平面ABCD所以O(shè)EJ_OC.

因為AF=2,所以。E=2.

又CD=3,

所以CE=y/cU+DF=[9+4=V13.]

5.（多選）如圖，直線孫垂直于圓。所在的平面，內(nèi)接于圓O,且

A3為圓。的直徑，點M為線段PB的中點.以下各命題中，真命題為（）

A.BCLPC

B.0M〃平面APC

C.點8到平面附。的距離等于線段的長

D.三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半

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ABCD%_L平面ABC,BCU平面ABC,

：.PAIBC/：AB是圓O的直徑，

.\AC±BC.XR1U平面PAC,ACU平面PAC,PA^AC=A,平面

PAC.

：PCU平面抬。，：.BCLBC,故A、C正確；

是P8的中點，。是45的中點，：.OM//PA.

:孫u平面氏C,OMQ平面B4C,

，OM〃平面7%C.故B、D正確.]

6.線段AB在平面a的同側(cè)，A,8至ija的距離分別為3和5,則AB的中

點到a的距離為.

解析：如圖，設(shè)的中點為M,分別過A,M,8向

a作垂線，垂足分別為4,Mi,Bi,則由線面垂直的性質(zhì)可

知，AA\//MM\//BB\,四邊形為直角梯形，A4i=3,

BB\=5,MM為其中位線，(AAi+BBi)

=3(3+5)=4.

答案：4

7.如圖，在三棱錐中，附，底面ABC,ZBAC=90°,尸是AC的

PE

中點，E是PC上的點，且EFl.BC,則￡萬SC=________.

解析：在三棱錐P-ABC中，

:陰，底面ABC,ZBAC=90°,

：.PALAB,AB±AC,PA^AC=A,

第13頁共17頁

.?.A3,平面APC.

；EFU平面/MC,：.EFLAB.

XEFLBC,BCQAB=B,

，EF_L底面ABC,S.PA//EF.

是AC的中點，E是PC上的點，

PF

是PC的中點，即笠=1.

cC

答案：1

8.矩形ABCD和矩形CDEF有一公共邊CD,且EDLAD,AB=2,BC=^,

ED=y]2.則點B到平面AED的距離為,EF到平面ABCD的距離為

解析：ABCD,CDEF為矩形,

J.EDLCD,CD//AB,J.ABLED,

又?.,ABLA。，EDHAD=D,.?.A3_L平面AE。，二84即為所求距離,

因此點B到平面AED的距離為2.

"：ED±AD,ADHCD=D,...￡：。_1_平面/1。。8,

.?.E到平面AOC8的距離為也.

/〃平面ABCD,

.?.所到平面ABC。的距離也是也.

答案：2啦

9.在正方體ABCD-AiBiGDi中，點、E,尸分別在4。，AC上，EF1A1D,

EFLAC,求證：EF//BD\.

證明：如圖所示，連接AC”CiD,BQ,BD.

"：AC//A\C\,EF±AC,：.EF±AiCi.

XEFLA\D,A\D^A\C\=A\,

平面Ai。。①.

第14頁共17頁

平面AiBiCiDi,4C|U平面A\B\C\D\,

：.BB\LA\C\.

?..四邊形A/IGDI為正方形，

/.A?Ci_LBi￡)i,

又8iGnBBi=5i，...AiGJ_平面381。。，

而BOU平面BB\D\D,.同理

又0cm4Ci=C，.?.30i_L平面AiG。②.

由①②可知

10.如圖，在四面體P-A8C中，孫，平面ABC,PA=AB=

1,BC=y[3,AC=2.

(1)證明：BC_L平面力B；

(2)在線段PC上是否存在點D,使得ACLBD,若存在，

求PO的值，若不存在，請說明理由.

解析：(1)證明：由題知：45=1,BC=y[3,AC=2.

則AB2+BC2=AC2,所以ABLBC,

又因為%_1_平面ABC,所以布，BC,

因為所以BC_L平面布A

(2)在線段PC上存在點D,

當(dāng)PD=^~時，使得AC_LBD

理由如下：在平面ABC內(nèi)，過點3作BE,AC,垂足

為E,在平面外。內(nèi)，過點E作。E〃山，交PC于點。，

連接80,由出_1_平面ABC,PAYAC,

所以O(shè)ELAC