《正定矩陣在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用研究》11000字

-2-第1章緒論1.1研究背景本節(jié)介紹課題的研究背景。1.1.1選題背景矩陣的思想歷史悠久，早在很久之前，就有相關(guān)文獻(xiàn)第一次出現(xiàn)了矩陣，而這一文獻(xiàn)正是對(duì)今后數(shù)學(xué)研究有著深遠(yuǎn)意義的《九章算術(shù)》，在這本書“方程”這一章中，就運(yùn)用了類似于矩陣的方法很好的解決了線性方程的問題，在《九章算術(shù)》中把這種類似于矩陣的方法稱為稱為“遍乘直除法”。但是，這并不是首次獨(dú)立的研究矩陣，在那之后，在對(duì)于行列式的研究中又產(chǎn)生了矩陣的概念。在那時(shí)，矩陣被當(dāng)做是行列式的一個(gè)推廣概念，但這時(shí)，矩陣同樣還沒有被當(dāng)成一個(gè)獨(dú)立的概念來研究。也就是說，在矩陣的概念產(chǎn)生之前，矩陣的基本性質(zhì)就已經(jīng)很完善的建立了。而“矩陣”一詞第一次作為一個(gè)獨(dú)立的概念進(jìn)行研究最早是在1855年時(shí)發(fā)表的《矩陣論的研究報(bào)告》中，在這個(gè)報(bào)告中，從基本概念開始，進(jìn)而又定義矩陣的各種運(yùn)算。矩陣是線性代數(shù)中一個(gè)非?；A(chǔ)的一個(gè)概念，應(yīng)用十分廣泛。線性代數(shù)中幾乎所有的概念都與矩陣有聯(lián)系，同樣，線性代數(shù)又是整個(gè)數(shù)學(xué)研究的的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，不僅在數(shù)學(xué)的各種研究中發(fā)揮著很大的作用，并且在數(shù)學(xué)之外的多個(gè)學(xué)科、多個(gè)領(lǐng)域，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)，同樣有著深遠(yuǎn)的影響。正定矩陣作為矩陣的一個(gè)特殊且重要的概念，應(yīng)用廣泛，研究多元函數(shù)極值問題有著深遠(yuǎn)的意義，在我們?nèi)粘５纳?、生產(chǎn)中有很多問題都可以歸結(jié)為求函數(shù)的極值問題。如果函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，那么求極值問題就可以由一階導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）先找出可能的極值點(diǎn)，再由二階導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）進(jìn)而判定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)。而在判定過程中，正定矩陣起到了非常關(guān)鍵的作用。通過正定函數(shù)求函數(shù)極值可以用于指導(dǎo)實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)，降低成本，提高收益。在實(shí)際生活中能夠以正定矩陣形式來使分析過程簡(jiǎn)化，便于理解，進(jìn)一步研究事物的內(nèi)在特征，解決許多的實(shí)際問題。1.1.2研究目的及意義借助正定矩陣求多元函數(shù)極值意義非常廣泛，產(chǎn)生的益處也是很明顯的，本課題的研究目標(biāo)就是研究正定矩陣和極值的關(guān)系。通過研究正定矩陣與函數(shù)極值的關(guān)系，深入理解教材中的理論知識(shí)，并抽象本質(zhì)，加以推廣，進(jìn)一步解決生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，用以指導(dǎo)實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)，降低成本，提高收益，做到學(xué)以致用。1.1.3研究國(guó)內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)況在今天看來，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有許多的專家和學(xué)者深入研究正定矩陣在生產(chǎn)優(yōu)化中的應(yīng)用，比如：我國(guó)的魏權(quán)齡，2003年在北京科學(xué)出版社發(fā)表的《廣義最優(yōu)化理論與模型》一書中就對(duì)最優(yōu)化問題與正定矩陣相結(jié)合，結(jié)合例子具體闡述，正定矩陣在最優(yōu)化求極值中所起的作用。唐曉超，在2013年，對(duì)于發(fā)表的《矩陣值函數(shù)的極小化問題的幾許理論和方法》中，仔細(xì)地為我們解釋了許多正定矩陣求函數(shù)極值的理論以及方法。董加禮，丁寶彥發(fā)表的《多目標(biāo)規(guī)劃有效解與弱有效解的關(guān)系》中更進(jìn)一步提高了我們對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的認(rèn)識(shí)，更加利于解決實(shí)際問題。江亮亮，在2015年，討論過關(guān)于隨機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化的若干問題，將正定矩陣與實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題相結(jié)合，使問題更加清晰明了。何守元的《高等代數(shù)》一書為我們指出了正定矩陣的一系列基本知識(shí)、性質(zhì)、判定方法與實(shí)際應(yīng)用。席席指出正定矩陣的極值與現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)優(yōu)化有關(guān)。董立華在研究正定矩求解多元函數(shù)的極值問題時(shí)，它使用了二次方程。雍龍泉，以廣義正定矩陣的概念為起點(diǎn)，進(jìn)行延伸，并且使之應(yīng)用于線性互補(bǔ)的問題上。張寶驥，劃分了矩陣優(yōu)化,一類被劃分為是矩陣值函數(shù)極值問題，也就是目標(biāo)函數(shù)值為矩陣，這在許多領(lǐng)域?qū)W科之中都有著至關(guān)重要的應(yīng)用;而另一個(gè)方面，也就是我們所說的矩陣為變量的優(yōu)化問題,比如說有半定規(guī)劃問題當(dāng)中，而且半定規(guī)劃問題也是一個(gè)極具典型的問題,當(dāng)然他還討論了許多其它問題,并且在近幾年，對(duì)于這類問題的研究相當(dāng)之多；而在這當(dāng)中主要研究的就是矩陣值函數(shù)的極值問題；而且在矩陣值函數(shù)當(dāng)中，我們所研究的矩陣當(dāng)中的的每一個(gè)元素都被定義為一個(gè)函數(shù),所以我們就把矩陣值函數(shù)的極值問題看作一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。朱張興，研究函數(shù)極值，他通過降低變量元維數(shù)，成功的求出了三元或者三元以上的某些特殊的多元函數(shù)的極值。朱用文,王燕與侯汝臣，他們?cè)谶M(jìn)行研究時(shí)運(yùn)用了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法,就證明了多元函數(shù)極值存在的一個(gè)充分條件。郭志博和張燕，發(fā)表的論文中介紹了正定矩陣是如何應(yīng)用的，比如在最優(yōu)化的凸規(guī)劃問題中，或者是求解函數(shù)極值。楊桂元，研究二次型的正定性時(shí),她給出了一個(gè)關(guān)于多元函數(shù)的非常重要的結(jié)論，也就是在進(jìn)行極值判定的時(shí)候，給出了一個(gè)充分條件.而這個(gè)充分條件在今后求解該類問題時(shí)發(fā)揮著非常重要的作用。此外還有徐陽(yáng)棟，他對(duì)于此類問題也進(jìn)行了一系列的研究，他強(qiáng)調(diào)二次型不僅在幾何中有應(yīng)用，而且在我們?nèi)粘Ｉ钪卸加泻芏嗟膽?yīng)用，比如說經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等許許多多的方面中都有著重要的應(yīng)用。紀(jì)躍芝詳細(xì)的解釋了矩陣的正定性概念，除此之外，她還給出了判定對(duì)于多元函數(shù)極值的存在性的一般方法和一個(gè)新的判定方法。并且借助這個(gè)新的判定方法，不僅可以更加迅速方便地判斷出二元函數(shù)極值是否存在，而且還能應(yīng)用于三元及以上的多元函數(shù)，更重要的是，這種新的方法非常簡(jiǎn)單，易于推廣。在國(guó)際上也有許多對(duì)于這方面的研究，比如TruongXuanDucHa對(duì)于矩陣向量類問題在最優(yōu)化的方面的研究。W.Song與G.M.Yao對(duì)于一般多目標(biāo)規(guī)劃問題的研究。以及R.A.Horn和C.R.Johnson對(duì)于矩陣的一系列問題的研究中也提到了正定矩陣對(duì)于求極值的研究。G.Y.Chen、X.X.Huang與X.Q.Yang在研究對(duì)于隨機(jī)多目標(biāo)規(guī)劃中幾個(gè)效率概念之間的關(guān)系分析的討論時(shí)也提到了多元函數(shù)極值問題。無論國(guó)內(nèi)外都有著許多理論表明著矩陣在極值應(yīng)用上的深遠(yuǎn)意義。1.2論文主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排本文在借鑒他人的研究之外，查閱了許多的參考文獻(xiàn)，并且指導(dǎo)老師給予了耐心的指導(dǎo)和建議，作出了對(duì)正定矩陣求函數(shù)極值的歸納總結(jié)：首先在論文的第一章，也就是論文的第一部分，主要是關(guān)于本課題的研究背景。接下來在第二章中，簡(jiǎn)單敘述了正定矩陣的概念性質(zhì)以及判定方法，正定矩陣的一些基本概念、性質(zhì)，雖然這些性質(zhì)是非常基本的內(nèi)容，但是同樣非常重要而且不可缺少。我們?cè)谘芯咳魏螁栴}時(shí)，定義法與性質(zhì)法都作為非?；A(chǔ)且可行的方法，我們千萬不能摒棄這種方法，所以在論文的第二章我們就簡(jiǎn)單的介紹了這些基本性質(zhì)。而對(duì)于這些概念性質(zhì)的討論也使得我們?cè)诮鉀Q一系列問題各方面上變得更加的方便簡(jiǎn)單，與此同時(shí)它的作用也變得更加的有力。此外我們介紹了正定矩陣的判定方法，既然了解了什么是正定矩陣，那么我們接下來就需要了解正定矩陣的判定方法，這一步驟至關(guān)重要。接下來第三章是本文的重點(diǎn)也就是正定矩陣的生產(chǎn)優(yōu)化問題，也就是我們的多元函數(shù)求極值問題。介紹了二元和多元的Hesse矩陣，以及如何應(yīng)用正定矩陣解決函數(shù)極值問題。對(duì)于多元函數(shù)的極值問題，在我們的生活、生產(chǎn)和科技領(lǐng)域應(yīng)用都非常之廣泛。無論是日常的生活、生產(chǎn)中，很多問題都可以歸結(jié)為求函數(shù)的極值問題。其應(yīng)用是非常廣泛的，產(chǎn)生的益處也是很明顯的。本論文采用文獻(xiàn)研究方法，對(duì)論文研究課題中的正定矩陣與函數(shù)極值最優(yōu)化問題，通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)獲得了充足的資料，從而正確全面地了解所要研究的問題。將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入透徹的理解，并抽象本質(zhì)，加以推廣，進(jìn)一步解決生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，用以指導(dǎo)實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)，不僅可以降低成本，提高收益，還可以做到學(xué)以致用更好的掌握知識(shí)。這也就證明了正定矩陣求函數(shù)極值的應(yīng)用非常的廣泛。而且正定矩陣在不同的學(xué)科領(lǐng)域當(dāng)中(比如物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等）應(yīng)用都十分廣泛。目前研究正定矩陣時(shí),大部分關(guān)注點(diǎn)在研究理論和工程應(yīng)用。所以，正定矩陣不只在數(shù)學(xué)中而且在很多其他的領(lǐng)域都很重要，在其他的領(lǐng)域也不可缺少。本文通過運(yùn)用大量的具體事例解析，來說明運(yùn)用正定矩陣的性質(zhì)可以使問題變得更加清楚，突出正定矩陣在求函數(shù)極值時(shí)的便捷，優(yōu)越性。可以用于指導(dǎo)實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)，降低成本，提高收益，做到學(xué)以致用。

第2章正定矩陣正定矩陣作為線性代數(shù)中一種特殊且重要的矩陣，在許多領(lǐng)域都有著很多的應(yīng)用。而對(duì)于求函數(shù)極值在生產(chǎn)、生活、科技許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹正定矩陣的概念及有關(guān)性質(zhì)。2.1正定矩陣的概念及有關(guān)性質(zhì)本節(jié)不只介紹正定矩陣的概念，對(duì)相關(guān)的負(fù)定矩陣、半正定矩陣、半負(fù)定矩陣以及不定矩陣的概念也進(jìn)行了介紹,此外還介紹了正定矩陣的等價(jià)命題和一系列性質(zhì)。2.1.1正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定矩陣的概念研究正定矩陣，首先第一步需要引入二次型的概念，關(guān)于二次型，是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，指有個(gè)變量的二次齊函數(shù)，如(2-1)被稱為二次型。為了方便將其記為(2-2)其中(2-3)分別從1取到,我們把叫做二次型的系數(shù)矩陣。在線性代數(shù)這一學(xué)科中，首先需要了解的是正定矩陣，也叫正定陣。接下來介紹正定矩陣的定義。假如矩陣是一個(gè)特殊的矩陣，我們假設(shè)它為階方陣，如果對(duì)任何的向量，且向量非零，都能夠使(2-4)成立，那么這個(gè)時(shí)候我們就把這個(gè)特殊的矩陣叫做正定矩陣，式子中的是的轉(zhuǎn)置。與此對(duì)應(yīng)正定矩陣的另一個(gè)定義是：如果矩陣是一個(gè)特殊的矩陣，我們?nèi)约僭O(shè)它為階方陣，且為對(duì)稱矩陣，如果該矩陣為正定的，那么當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意的向量，有，且僅當(dāng)向量為零時(shí)才有，其中是的轉(zhuǎn)置。同樣的，將負(fù)定矩陣的概念定義為：如果是一個(gè)二次型，如果對(duì)于任意的，且不全都是零，都能夠使(2-5)成立，就說它是負(fù)定的。如果滿足二次型式(2-2)是負(fù)定的，此時(shí)，我們就把這個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣也叫做是負(fù)定的。同理可得，如果是一個(gè)二次型，如果對(duì)于,且不全都是零，都能夠使(2-6)成立，那么我們就說它半正定。這時(shí)，這個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣半正定。如果是一個(gè)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有(2-7)成立，那么我們就說是半負(fù)定的。如果滿足二次型式(2-2)半負(fù)定的，這時(shí)，我們就把這個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣也叫做是半負(fù)定的。反之，如果一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，它不滿足以上任何一組概念，對(duì)于這樣的矩陣，我們把它叫做不定矩陣。2.1.2正定矩陣的有關(guān)性質(zhì)一、正定矩陣的等價(jià)命題有：是正定矩陣；的一切順序主子式均為正；的一切主子式均為正；的特征值全為正；存在實(shí)可逆矩陣使;存在秩為的實(shí)矩陣，使;存在主對(duì)角線元素全為正的實(shí)三角矩陣,使;二、正定矩陣有以下性質(zhì)：正定矩陣的行列式恒為正；如果一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣，那么當(dāng)且僅當(dāng)，此實(shí)對(duì)稱矩陣與單位矩陣合同；如果是一個(gè)正定矩陣，那么對(duì)于這個(gè)正定矩陣，它的逆矩陣同樣也必須是一個(gè)正定矩陣；兩個(gè)正定矩陣的和是正定矩陣；如果將一個(gè)正定矩陣和一個(gè)正實(shí)數(shù)做數(shù)乘運(yùn)算，那么得到的這個(gè)數(shù)乘結(jié)果，必定也是正定矩陣。2.1.3正定矩陣的判定方法根據(jù)正定矩陣的概念、等價(jià)條件以及一系列基本性質(zhì)，本論文介紹兩種判定正定矩陣的方法。一種為先求出的所有特征值，如果矩陣的求得的所有特征值都是正數(shù)，那么可以說是正定的，反之，則稱為負(fù)定的；另一種方法則通過計(jì)算的各階順序主子式，如果通過計(jì)算得到的矩陣的各階順序主子式都大于零，也就是說都是正數(shù)，那么可以說是正定的，如果通過計(jì)算得到的矩陣的奇數(shù)階主子式的值小于零，但是，經(jīng)計(jì)算它的偶數(shù)階主子式大于零，那么我們把這個(gè)矩陣叫負(fù)定矩陣。例題1.判斷三階矩陣是否為正定矩陣。解：計(jì)算該矩陣的特征值。(2-8)即該矩陣的特征值為8、-1、-1，所以該矩陣不是正定矩陣。例題2.判斷三階矩陣是否為正定矩陣。解：計(jì)算該矩陣的各階順序主子式。一階順序主子式：(2-9)二階順序主子式：(2-10)三階順序主子式：(2-11)因?yàn)榍蟮迷摼仃嚨母麟A順序主子式均大于零，所以該矩陣為正定矩陣。第3章正定矩陣在解函數(shù)極值中的應(yīng)用函數(shù)極值是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的概念，并且具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，函數(shù)極值的研究法有很多，本章主要介紹函數(shù)極值的矩陣求法。3.1二元函數(shù)求函數(shù)極值的矩陣方法當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行一元函數(shù)求極值的求解時(shí)，首先第一步，我們需要求出這個(gè)一元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，然后第二步需要做的就是，假設(shè)這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么如果此時(shí)，是這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，就會(huì)滿足。但是這個(gè)只能用于找出可能的函數(shù)極值點(diǎn)，不能用于求解極值點(diǎn)。并不是一個(gè)充分條件。若求極值點(diǎn)需要再求一次導(dǎo)函數(shù)，若在點(diǎn)處二階可導(dǎo)的話，而且同時(shí)還要滿足一階導(dǎo)，在這里進(jìn)行分類討論，若二階導(dǎo)<0,那么這時(shí)點(diǎn)就是f(x)的極大值點(diǎn)；若二階導(dǎo)>0,那么這時(shí)點(diǎn)就是的極小值點(diǎn)；若二階導(dǎo)=0，則無法判斷是否為的極值點(diǎn)。對(duì)于二元函數(shù)求函數(shù)極值的矩陣求法，我們需要引入一個(gè)非常重要的概念Hesse矩陣。本節(jié)主要介紹Hesse矩陣，首先介紹Hesse矩陣的概念，首先它是一個(gè)方陣，其次它是由多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的，常用于解決生產(chǎn)優(yōu)化問題，我們可以利用Hesse矩陣來解決函數(shù)極值問題，進(jìn)而應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)，生活實(shí)際，解決生產(chǎn)優(yōu)化問題。3.1.1二元函數(shù)的Hesse矩陣假定具有二階連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)，(3-1)它是由上述所給二元函數(shù)在已知點(diǎn)點(diǎn)處的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的一個(gè)方陣，我們把它叫做二元函數(shù)在點(diǎn)的Hesse矩陣。3.1.2二元函數(shù)極值的解法如果一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)處所求的所有一階偏導(dǎo)數(shù)的值都是零，那我們把點(diǎn)叫做二元函數(shù)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，是一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)的Hesse矩陣，如果經(jīng)計(jì)算求得滿足正定，那么這時(shí)該二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；如果經(jīng)計(jì)算求得的滿足負(fù)定，那么這時(shí)該二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；如果經(jīng)計(jì)算求得的滿足不定，那么這時(shí)該二元函數(shù)在點(diǎn)處取不到極值。證明：因?yàn)槎瘮?shù)在點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)全為零，即點(diǎn)是二元函數(shù)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，所以二元函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開式可寫為(3-2)其中(3-3)其中(3-4)如果、足夠小的話，那么(3-5)也就是說，與同號(hào)，則關(guān)于、的表達(dá)式(3-6)是、的實(shí)二次型，因此，如果這個(gè)實(shí)二次型是正定的，那么說明，對(duì)于足夠小的的、且滿足時(shí)，有(3-7)即在點(diǎn)取極小值；同理可得，如果這個(gè)實(shí)二次型是負(fù)定的，那么說明，對(duì)于足夠小的的、且滿足時(shí)，有(3-8)即在點(diǎn)取極大值；如果這個(gè)實(shí)二次型是不定的，那么說明，二元函數(shù)在點(diǎn)既不取極小值，也不取極大值。因此，我們可以總結(jié)如何利用正定矩陣求二元函數(shù)極值問題：首先，找到二元函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即找一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；求在該點(diǎn)的Hesse矩陣，并判斷此Hesse矩陣的正定性；再根據(jù)上面求得的Hesse矩陣的滿足正定(或負(fù)定，不定)，從而判斷該穩(wěn)定點(diǎn)是不是極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，則求出該極值。例題1.求二元函數(shù)=的極值。解：(3-9)(3-10)令(3-11)(3-12)可得(3-13)(3-14)即穩(wěn)定點(diǎn)為；再求得(3-15)(3-16)(3-17)可得(3-18)(3-19)矩陣正定，所以該穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，極小值為(3-20)例題2.一家工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，售價(jià)分別為2、3，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為、,該工廠的產(chǎn)品成本函數(shù)為，問這家工廠該如何生產(chǎn)才能獲得最高的利潤(rùn)。解：該家工廠的收入函數(shù)為(3-21)該工廠的產(chǎn)品成本函數(shù)為(3-22)所以可得該工廠的利潤(rùn)函數(shù)為(3-23)令一階偏導(dǎo)等于零，可得(3-24)(3-25)聯(lián)立式（3-22）與式（3-23）解得(3-26)(3-27)即穩(wěn)定點(diǎn)為(1,1),再求二階偏導(dǎo)數(shù)并寫成Hesse矩陣(3-28)上面求得的這個(gè)Hesse矩陣滿足負(fù)定矩陣定義，所以題目中的函數(shù)在這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(1,1)處取得極大值，經(jīng)計(jì)算這個(gè)極大值為(3-29)3.2多元函數(shù)極值的矩陣求法本節(jié)主要介紹對(duì)于應(yīng)用正定矩陣求多元函數(shù)極值問題的一些討論，然后根據(jù)不同的約束條件，探討如何求極值。3.2.1多元函數(shù)的Hesse矩陣同理二元函數(shù)利用正定矩陣和Hesse矩陣求函數(shù)極值的問題可以推廣到多元函數(shù)求函數(shù)極值。如果對(duì)于一個(gè)元實(shí)函數(shù)，它在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)是連續(xù)的，并且它有二階連續(xù)偏導(dǎo)，如果有(3-30)則該點(diǎn)為該元函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。并且函數(shù)的Hesse矩陣為(3-31)同理可得類似結(jié)果：如果這個(gè)矩陣滿足正定，那么這個(gè)所給的元函數(shù)在點(diǎn)處能夠取得極值，并且這個(gè)極值是一個(gè)極小值；如果這個(gè)矩陣滿足負(fù)定，那么所給的這個(gè)元函數(shù)在點(diǎn)處能夠取得最值，并且這個(gè)極值是一個(gè)極大值；如果矩陣是不定的，那么所給的元函數(shù)在點(diǎn)處是取不到極值的。3.2.2多元函數(shù)的極值的解法根據(jù)約束條件的不同，我們分兩種情況來介紹如何利用正定矩陣來求解多元函數(shù)函數(shù)極值問題。無約束情況例題3：求三元函數(shù)的極值。解：(3-32)(3-33)(3-34)令(3-35)可得也就是說，點(diǎn)(-1,-1,2)為穩(wěn)定點(diǎn)。再求得(3-36)(3-37)可得到Hesse矩陣：(3-38)該矩陣A滿足正定矩陣的定義，所以求得的這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)是題目中給出的函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值為(3-39)例題4：求三元函數(shù)的極值,其中都大于零。解：(3-40)(3-41)(3-42)令(3-43)可得(3-44)由題意都大于零，可得點(diǎn)(,1,1)為穩(wěn)定點(diǎn)。再求得(3-45)(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)(3-50)(3-51)(3-52)(3-53)可得到Hesse矩陣為(3-54)該矩陣為正定矩陣，所以該穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，極小值為(3-55)約束條件為等式的條件極值對(duì)于一些所給題目中的約束條件是等式的情況，首先第一步要做的就是構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)針對(duì)這個(gè)題目的拉格朗日函數(shù)，然后求導(dǎo)，就可以像二元那樣求出一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，然后求在這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的Hesse矩陣，這一步是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件一起來求這個(gè)Hesse矩陣，最后一步，根據(jù)所求的穩(wěn)定點(diǎn)的Hesse矩陣的正定性判斷函數(shù)極值。例題5：求,約束條件為，且滿足、、、、0，求多元函數(shù)的極值。解：首先根據(jù)題目所給函數(shù)和約束條件構(gòu)造拉格朗日函數(shù)(3-56)然后再按步驟分別對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)讓求得的一階導(dǎo)數(shù)都等于零，可求得(3-57)(3-58)(3-59)(3-60)(3-61)即穩(wěn)定點(diǎn)為；接下來一步判斷上面求得的穩(wěn)定點(diǎn)是否是這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候，我們需要利用這個(gè)題目中所給出的的約束條件(3-62)我們將其看成一個(gè)隱函數(shù)(3-63)然后把題目中要求的目標(biāo)函數(shù)(3-64)和我們定義的這個(gè)隱函數(shù)(3-65)放到一起進(jìn)行考慮，這個(gè)時(shí)候需要轉(zhuǎn)換思路，將上述函數(shù)寫成一個(gè)函數(shù)，那么這個(gè)復(fù)合函數(shù)就是(3-66)對(duì)函數(shù)(3-67)兩邊分別對(duì)、、進(jìn)行求導(dǎo),可以得到(3-68)(3-69)(3-70)從而可得(3-71)(3-72)(3-73)再繼續(xù)求二階偏導(dǎo)數(shù)并寫成矩陣形式可得到(3-74)該矩陣為正定矩陣，所以這時(shí)我們可以知道我們求得的這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)是一個(gè)極值點(diǎn)，而且還能得到是一個(gè)極小值點(diǎn)，并且求得極小值為(3-75)

第4章正定矩陣在生產(chǎn)最優(yōu)化的應(yīng)用通過正定矩陣來判斷多元函數(shù)的函數(shù)極值，抽象本質(zhì)，加以推廣，可以應(yīng)用于生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題，比如常見的交通運(yùn)輸問題，或者一些經(jīng)濟(jì)類問題都可以借助正定矩陣求函數(shù)極值來研究，可以用來指導(dǎo)實(shí)際生活，降低成本，提高收益，具有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性，本章主要介紹一些正定矩陣用于解決實(shí)際生活問題的實(shí)例。4.1求多元函數(shù)極值中的最優(yōu)化理念本節(jié)主要介紹最優(yōu)化問題的理念，最優(yōu)化問題是一種幫助決策者用于實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)優(yōu)化活動(dòng)中的理論。當(dāng)今社會(huì)迅速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)科技都發(fā)展迅速，競(jìng)爭(zhēng)也愈加激烈。這就要求一些決策者在做決策時(shí)考慮全面，并做出最優(yōu)的決策。比如在一些經(jīng)濟(jì)問題中，我們?cè)撊绾芜M(jìn)行生產(chǎn)，才能用最小的成本來獲得最大的生產(chǎn)收益；又或者是，當(dāng)進(jìn)行一些資源分配時(shí)，如何分配，才能既滿足節(jié)約資源，又可以獲得較好的經(jīng)濟(jì)收益；或者是生產(chǎn)過程中遇到的原料配比問題，怎樣設(shè)計(jì)比重，才能既保證生產(chǎn)的質(zhì)量，又能得到最大收益。例如此類的問題在我們的實(shí)際生活生產(chǎn)中會(huì)遇到很多，這些其實(shí)就是實(shí)際生活中的生產(chǎn)優(yōu)化問題，而我們可以借助正定矩陣來求多元函數(shù)極值來解決此類問題。4.2多元函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用函數(shù)的極值不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，函數(shù)的極值問題可以被廣泛的應(yīng)用于科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中。無論是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)問題、經(jīng)濟(jì)效益問題、工程技術(shù)問題，當(dāng)中都存在很多求函數(shù)極值問題，而對(duì)于求函數(shù)極值問題，就可以應(yīng)用正定函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)極值。函數(shù)的極值問題在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用非常的廣泛，根本目的就是解決如何決策可以使廠商用最少的成本來獲得最高的利潤(rùn)收；對(duì)于在社會(huì)生活中遇見的經(jīng)濟(jì)類問題，研究經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中的市場(chǎng)需求，用以得到最大的利潤(rùn)，本節(jié)主要介紹多元函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)中的一些常見應(yīng)用。4.2.1庫(kù)存管理問題在經(jīng)濟(jì)問題中，存儲(chǔ)問題是一個(gè)非常重要，必不可少的問題。如果存儲(chǔ)過多，就有可能出現(xiàn)資源閑置或者資金積壓?jiǎn)栴}，如果存儲(chǔ)量過少，就又可能會(huì)出現(xiàn)供不應(yīng)求問題，導(dǎo)致銷售時(shí)出現(xiàn)問題甚至錯(cuò)過商機(jī)。所以，需要做到既保證正常的銷售經(jīng)濟(jì)活動(dòng)可以正常進(jìn)行，又要以最低的庫(kù)存和花費(fèi)最少的費(fèi)用，這就需要決策者做出正確的決策來使廠商獲得最大的利潤(rùn)。當(dāng)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)，需要制定生產(chǎn)任務(wù)，當(dāng)總需求一定，并且能夠日常生產(chǎn)所必需的材料，如果訂購(gòu)次數(shù)越少，訂購(gòu)的批量就會(huì)變大，這樣造成的訂購(gòu)費(fèi)用就越少，但是相應(yīng)的保管費(fèi)用就會(huì)增加；與此相反的是，訂購(gòu)次數(shù)越多，訂購(gòu)的批量會(huì)變小，這樣造成的訂購(gòu)費(fèi)用會(huì)變多，保管費(fèi)用會(huì)變少，這就需要決策者做出正確的決策來使廠商使用最少的成本。當(dāng)研究間隔進(jìn)貨問題時(shí)，也就是說如果某種產(chǎn)品的庫(kù)存量下降為零，這時(shí)需要立馬進(jìn)貨，使庫(kù)存量從零變?yōu)槟硞€(gè)最高值，而且需要保證等量供應(yīng)從而可以滿足日常銷售需要，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)多元函數(shù)求極值問題。4.2.2成本最小化問題成本最小化問題，也就是廠商在保證任務(wù)成功實(shí)現(xiàn)的前提下，來制定使成本最小的決策。也就是說在既定的生產(chǎn)條件下，廠商該如何決策可以使成本最低，從而可以獲得較大的收益。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，這種問題很常見，當(dāng)我們遇到此類問題時(shí)，很容易的會(huì)想到運(yùn)用函數(shù)極值來求解。例題1.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種商品，售價(jià)分別為10、9，生產(chǎn)單位商品甲和單位商品乙的總成本為(4-1)求甲、乙兩種商品各生產(chǎn)多少，可以使該工廠獲利最多。解：依題意得該工廠總收益(4-2)化簡(jiǎn)可得(4-3)令一階偏導(dǎo)等于零，可得(4-4)(4-5)聯(lián)立式（4-4）以及式（4-5）解得(4-6)(4-7)即穩(wěn)定點(diǎn)為，再求二階偏導(dǎo)數(shù)并寫成Hesse矩陣(4-8)上面求得的這個(gè)Hesse矩陣滿足負(fù)定矩陣的定義，所以在穩(wěn)定點(diǎn)處取得極大值，這個(gè)極大值為(4-9)所以，當(dāng)生產(chǎn)120件甲，80件乙時(shí)獲利最大。4.2.3投資問題投資，目前已經(jīng)稱為一種潮流活動(dòng)，也就是指在資本市場(chǎng)上進(jìn)行購(gòu)買資產(chǎn)的一種活動(dòng)形式，然后通過資產(chǎn)增值的形式來獲得更多的自身利益。在進(jìn)行投資時(shí)，投資者在進(jìn)行策略選擇時(shí)，要堅(jiān)持收益大，風(fēng)險(xiǎn)小的選擇原則，也就是說，如果能夠獲得最大的利益，并且伴隨最小的風(fēng)險(xiǎn)是最好的選擇，不過，事實(shí)上，往往，高利益會(huì)帶來高風(fēng)險(xiǎn)，只有較低利益才可能帶來低風(fēng)險(xiǎn)，所以這時(shí)，需要決策者慎重考慮，要保證達(dá)到某一特定的利益，并且風(fēng)險(xiǎn)為此種狀況下的最低風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)，就需要運(yùn)用多元函數(shù)求極值來解決此類問題。例如某外包裝設(shè)計(jì)公司在進(jìn)行投資時(shí)，需要考慮到成本、收益、環(huán)境以及國(guó)家要求等多方面要求，我國(guó)于2020年再次提出限塑令，詳細(xì)記錄了對(duì)于塑料包裝的限制要求，但是目前我國(guó)現(xiàn)階段的包裝行業(yè)仍是以塑料包裝為主，生產(chǎn)塑料包裝的整個(gè)行業(yè)已經(jīng)十分成熟，投資塑料包裝成本（包括原料成本，加工成本，學(xué)習(xí)成本等）較小，但是由于對(duì)于環(huán)保的重視，塑料制品必須盡快轉(zhuǎn)型；紙包裝為塑料包裝的一種替代品，紙包裝容易降解，還可以回收利用，但是近年紙張的價(jià)格持續(xù)上漲，原料成本較高；塑料制品也是一種替代品，相比于紙張，玻璃的價(jià)格更高，且進(jìn)行加工也更加困難；這時(shí)，該企業(yè)參考原料成本、加工成本、學(xué)習(xí)成本以及環(huán)保要求，如何進(jìn)行投資才有可能獲得更大的收益，這就是最優(yōu)化的問題，在進(jìn)行決策時(shí)，可以利用正定矩陣更加簡(jiǎn)單迅速的解決。

第5章總結(jié)與展望本章主要介紹該論文的總結(jié)與展望。5.1總結(jié)現(xiàn)在對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)：第一章為緒論，為論文的前言，第一節(jié)主要介紹了該論文的研究背景，包括課題的選題背景：介紹了用矩陣的思想來源悠久，并且正定矩陣作為矩陣學(xué)非常重要的概念，在生產(chǎn)、生活、科技等各方面有著廣泛的應(yīng)用。并給出了意義：通過研究正定矩陣來解決函數(shù)極值問題，并將其應(yīng)用于實(shí)際生活。在第一部分的最后還給了目前對(duì)于這個(gè)課題，不同的學(xué)者都已經(jīng)做了什么研究值得我們學(xué)習(xí)參考。在第二節(jié)里，介紹了本篇論文的主要的行文思路，是怎么來布局，怎么研究的。第二章主要介紹正定矩陣的概念以及有關(guān)性質(zhì)，除此之外還介紹了其他一些特殊矩陣的概念。引入二次型的概念，研究二次型的系數(shù)矩陣，根據(jù)介紹的判定方法可以很迅速的判斷這個(gè)矩陣是否是正定矩陣。此外還介紹了正定矩陣的有關(guān)性質(zhì)和等價(jià)命題，這些性質(zhì)是我們?cè)谘芯空ň仃囍斜夭豢缮俚囊徊糠?，是地基，如果很好的理解，可以舉一反三，學(xué)以致用。最后還介紹了它們的判斷方法，為接下來判斷函數(shù)極值做準(zhǔn)備。第三章介紹正定矩陣在解函數(shù)極值中的應(yīng)用。首先第一節(jié)介紹了二元函數(shù)求函數(shù)極值的矩陣求法，由一元函數(shù)求函數(shù)極值引入。引入Hesse矩陣的概念，介紹二元函數(shù)Hesse矩陣的定義，接下來介紹了二元函數(shù)函數(shù)極值的矩陣求法，先求穩(wěn)定點(diǎn)，再根據(jù)所介紹的方法計(jì)算在該穩(wěn)定點(diǎn)的Hesse矩陣，并判斷極值點(diǎn)。如果求得的Hesse矩陣滿足正定，則為極小值；如果求得的這個(gè)Hesse矩陣滿足負(fù)定，則為極大值；如果求得的這個(gè)Hesse矩陣滿足不定，則不是極值。并對(duì)此結(jié)論進(jìn)行了證明，并舉例說明。同理，推廣到多元函數(shù)求函數(shù)極值，介紹了多元函數(shù)的Hesse矩陣和相應(yīng)推廣的結(jié)論，如果Hesse矩陣是正定的，那么該多元函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)處取得極小值；如果這個(gè)Hesse矩陣是負(fù)定的，那么多元函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)處取得極大值；如果Hesse矩陣是不定的，那么該多元函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)處取不到最值。根據(jù)約束條件的不同，分無約束情況和約束條件為等式兩種情況介紹了如何利用正定矩陣求解多元函數(shù)極值問題。第四章介紹正定矩陣在生產(chǎn)最優(yōu)化的應(yīng)用，也就是研究通過正定矩陣如何進(jìn)行判斷多元函數(shù)的函數(shù)極值，具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性。第一節(jié)介紹了最優(yōu)化的概念，以及介紹了上述問題，比如生活實(shí)際中的經(jīng)濟(jì)問題，資源分配問題，又或者是生產(chǎn)中遇到的問題，比如再分配原料時(shí)，怎樣分配。這類問題就可以應(yīng)用論文所給方法來解決。而且類似此類問題在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用非常的廣泛，對(duì)于社會(huì)生活中常見的一些經(jīng)濟(jì)類問題，如何使是成本最小受益最大此類問題都可以通過函數(shù)求極值解決。第二節(jié)簡(jiǎn)單介紹了多元函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)中的一些問題，第二節(jié)介紹了庫(kù)存管理和成本最小化兩類問題。5.2展望當(dāng)今社會(huì)發(fā)展十分迅速，經(jīng)濟(jì)科技各方面都迅猛發(fā)展，各方面的競(jìng)爭(zhēng)也愈加激烈。所以在生產(chǎn)生活的決策時(shí)，要考慮全面，找到最優(yōu)的策略。在解決這些實(shí)際的問題時(shí)，函數(shù)極值問題的討論必不可少，函數(shù)極值的求法非常多，本論文主要介紹利用正定矩陣求函數(shù)極值。利用矩陣思想解決問題已經(jīng)有了很久的歷史，而面對(duì)如今愈發(fā)迅速的生產(chǎn)生活節(jié)奏，愈加激烈的競(jìng)爭(zhēng)，就需要更加深入的研究矩陣法求函數(shù)極值，更好更快速的解決問題，找到最優(yōu)策略，更好的指導(dǎo)生產(chǎn)生活活動(dòng)，節(jié)約成本，增加收益。參考文獻(xiàn)何守元.高等代數(shù)[M].北京:現(xiàn)代教育出版社,2015:15.李立群.正定矩陣及其應(yīng)用[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院院報(bào),2017,34(07).[3]宋國(guó)際.論正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用[J].河北旅游職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(15)01.[4]魏權(quán)齡.廣義最優(yōu)化理論與模型[M].北京:北京科學(xué)出版社,2003:133-142.[5]唐曉超.矩陣值函數(shù)的極小化問題的若干理論與方法[D].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué),2013.[6]董加禮,丁寶彥.多目標(biāo)規(guī)劃有效解與弱有效解的關(guān)系[J].吉林工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1986,(04).[7]江亮亮.隨機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化的若干問題研究[D].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué),2015.[8]席席.論極值在生活中的應(yīng)用[J].農(nóng)家參謀,2019,(05).[9]董立華,周小雙.數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)有關(guān)問題和方法的相互滲透[J].榆林學(xué)院學(xué)報(bào),2011(06).[10]雍龍泉.

\t"/https/77726476706e69737468656265737421fbf952d2243e635930068cb8/kcms/detail/frame/kcmstarget"從矩陣的特性對(duì)線性互補(bǔ)算例進(jìn)行分類[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2020(24).[11]

張寶驥.\t"/https/77726476706e69737468656265737421fbf952d2243e635930068cb8/kcms/detail/frame/kcmstarget"矩陣值函數(shù)極值