陜西省西安市鐵一中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

陜西省西安市鐵一中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．a(chǎn)為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（）A．2 B． C． D．17．已知m，n為異面直線(xiàn)，m⊥平面α，n⊥平面β，直線(xiàn)l滿(mǎn)足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線(xiàn)垂直于 D．α與β相交，且交線(xiàn)平行于8．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件10．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸12．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)與拋物線(xiàn)y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|FP|=5，則點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)____.14．若x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______.15．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.16．若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)，若直線(xiàn)與平面所成的角為，求二面角的正弦值．18．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),在極坐標(biāo)系中,已知圓（）與直線(xiàn)相切,求的值．19．（12分）求函數(shù)的最大值．20．（12分）已知是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，________．是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．21．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，求證：直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).22．（10分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】

由題意得出的值，進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得，因此，該雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)的離心率，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，如圖：由底面邊長(zhǎng)可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過(guò)平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為，所以函數(shù)的半個(gè)周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.5、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡(jiǎn)為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，對(duì)是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問(wèn)題易于求解.6、B【解析】

，選B.7、D【解析】

試題分析：由平面，直線(xiàn)滿(mǎn)足，且，所以，又平面，，所以，由直線(xiàn)為異面直線(xiàn)，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線(xiàn)平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．8、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線(xiàn)上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線(xiàn)上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.9、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時(shí)，滿(mǎn)足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10、D【解析】

討論的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變小，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變大，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變小，可排除C，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.11、B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點(diǎn)：1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；2.圓臺(tái)的體積.12、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)定義知，，求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2=8x上，|FP|=5，設(shè)點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線(xiàn)-=1，得-=1，又因?yàn)閍2+b2=4，解得a=1，b=，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±x，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.14、5【解析】

先作出可行域，再做直線(xiàn)，平移，找到使直線(xiàn)在y軸上截距最小的點(diǎn)，代入即得?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，如圖，令，則，作出直線(xiàn)，平移直線(xiàn)，由圖可得，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，由，可得，因此的最小值為.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，是基礎(chǔ)題。15、【解析】

變換得到，計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結(jié)合線(xiàn)面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點(diǎn)，，又平面（2）∴直線(xiàn)與平面所成的角等于直線(xiàn)與平面所成的角．平面，∴直線(xiàn)與平面所成的角為，即．因?yàn)?，則在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：?jiǎn)栴}（2）可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．18、【解析】

將圓和直線(xiàn)化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線(xiàn)化成普通方程為．因?yàn)橄嗲?所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑,即解得．【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.19、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因?yàn)?，所以．等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．所以的最大值為．考點(diǎn)：柯西不等式求最值20、見(jiàn)解析【解析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解，在有解的情況下，解出不等式，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】選擇①：因?yàn)?，所以，所以．令，即，，所以使得的正整?shù)的最小值為；選擇②：因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以不存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)；選擇③：因?yàn)椋?，所以．令，即，整理得．?dāng)為偶數(shù)時(shí)，原不等式無(wú)解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原不等式等價(jià)于，所以使得的正整數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，，即，滿(mǎn)足，由的任意性，得出直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿(mǎn)足由的任意性知，，，即直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.2