第三章 線性算子與線性泛函

第三章線性算子與線性泛函一致有界原理〔共鳴定理〕及其應(yīng)用Hahn-Banach定理，非零有界線性算子存在性定理共軛空間與共軛算子開映射、逆算子及閉圖形定理算子譜理論簡介編輯課件定義：設(shè)A是距離空間X的子集，假設(shè)A在X中的任意一個(gè)非空開集中均不稠密〔A沒有內(nèi)點(diǎn)〕，那么稱A是稀疏(疏朗)集；稱X是第一綱的，假設(shè)X可表示成至多可數(shù)的稀疏集的并；不是第一綱的X稱為是第二綱的。例子：X=有理數(shù)集，定義距離d(x,y)=|x-y|,那么X是第一綱的，每個(gè)單點(diǎn)集是X中的疏朗集。定理1(Baire綱定理)：完備的距離空間是第二綱的。推論1:歐式空間、Banach空間、Hilbert空間、有界線性算子空間L(X,Y)都是第二綱的。第一節(jié)共鳴定理及其應(yīng)用編輯課件第一節(jié)共鳴定理及其應(yīng)用編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件共鳴定理的應(yīng)用1.機(jī)械求積公式的收斂性2.Lagrange插值公式的發(fā)散性定理：差值多項(xiàng)式作為連續(xù)函數(shù)的近似表達(dá)時(shí)，插值點(diǎn)的無限增多不能更好的逼近插值函數(shù)。3.Fourier級數(shù)的發(fā)散性問題：存在連續(xù)的周期函數(shù)，其Fourier級數(shù)在給定點(diǎn)發(fā)散。編輯課件編輯課件Fourier級數(shù)的發(fā)散性問題法國科學(xué)家J.-B.-J.傅里葉由于當(dāng)時(shí)工業(yè)上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為?熱的解析理論?一文中，開展了熱流動方程，并指出了任意周期函數(shù)都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴(yán)格的論證，但對近代數(shù)學(xué)以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，成為傅里葉分析的起源。在積分變換中，F(xiàn)-變換是大家熟悉的，為讓符號Σ與積分的交換，應(yīng)當(dāng)對F-級數(shù)(1)的收斂性加以必要的限制,如一致收斂性。因?yàn)榭赡艽嬖诓灰恢率諗康娜羌墧?shù)，而它確實(shí)表示一個(gè)函數(shù)。大量的事實(shí)讓人們誤以為：“?的傅里葉級數(shù)一定能收斂于?自身〞編輯課件編輯課件第二節(jié)Hahn-Banach定理n維賦范線性空間上的線性泛函與n元數(shù)組一一對應(yīng)，有著具體的形式。有限維賦范線性空間上的線性泛函和線性算子都是連續(xù)的，那無窮維的情形呢，是否有非零的連續(xù)線性泛函，如果有，是否足夠多？解決該問題的根本的想法之一：將我們熟悉的有限維上的泛函進(jìn)行推廣、延拓。這節(jié)是考慮的實(shí)賦范線性空間，對復(fù)的情形，類似結(jié)論都是成立的，不在贅述編輯課件設(shè)X是實(shí)線性空間，稱X上泛函p是次可加正齊次的，如果滿足例如：求元素的范數(shù)就是這種泛函定理1.(Hahn-Banach)：設(shè)p是實(shí)線性空間X上的次可加正齊次泛函，f是X的子空間M上的實(shí)線性泛函且那么存在X上的實(shí)線性泛函F滿足：

編輯課件定理1(Hahn-Banach)證明的根本思路編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件其證明：先對X僅比M多一維處理，再根據(jù)Zorn引理說明存在性。注：F沒有唯一性。定理2：設(shè)X是實(shí)賦范線性空間，如果X多于一點(diǎn)，那么X上必存在非零的連續(xù)線性泛函。定理3〔Banach保范延拓定理〕：實(shí)賦范線性空間X的子空間M上的有界線性泛函f可保范延拓為X上的有界線性泛函F。推論1：設(shè)M是X的真閉子空間，那么存在X上的有界線性泛函F滿足：編輯課件編輯課件推論2：設(shè)，那么存在X上的有界線性泛函滿足注：這說明只要X多有一點(diǎn)，那么X上必存在非零的連續(xù)線性泛函。推論3：設(shè)，假設(shè)對X上任意連續(xù)線性泛函f都有練習(xí)：1.設(shè)X是實(shí)賦范線性空間，。

2.設(shè)X是賦范線性空間，如果X*是可分的，那么X也是可分的。編輯課件第三節(jié)共軛空間與共軛算子假設(shè)X與〔X*〕*〔X的二次對偶空間〕等距同構(gòu)，那么稱X是自反的。例子：L^p(p>1)是自反的，L^1不是自反的C[a,b]不是自反的〔參見哈爾莫斯的?測度論?中的相關(guān)結(jié)論〕。通過嵌入映射，可視X是X**的子空間。假設(shè)X是自反的，那么X*也是自反的。編輯課件定理1：設(shè)X是賦范線性空間，如果X*是可分的，那么X是可分的該定理啟發(fā)我們可以用X*的性質(zhì)來研究X的性質(zhì)，該方向開展成為局部凸線性空間理論中的對偶理論定義1：設(shè)X,Y是賦范線性空間，B(X,Y)中元素T,Tn滿足：對任意X中x和Y*中f，數(shù)列f(Tnx)收斂于f(Tx),那么稱Tn弱收斂于T。注：從定義可看出，算子列的一致收斂可導(dǎo)出強(qiáng)收斂，強(qiáng)收斂可導(dǎo)出弱收斂，反之都是不成立的。例如后項(xiàng)移位算子S*編輯課件共軛算子定義2：設(shè)X、Y是賦范線性空間，T是從X到Y(jié)上的有界線性算子，對Y*中點(diǎn)f，式f*(x)=f(T(x)),定義了X上的一個(gè)有界線性泛函，該對應(yīng)關(guān)系T*〔f〕=f*是Y*到X*的算子，稱T*為T的共軛算子。例子：對實(shí)矩陣A，A*恰好就是A的轉(zhuǎn)置?！睵1073.18〕對復(fù)矩陣B，B*是B轉(zhuǎn)置后，每個(gè)元素再取復(fù)共軛，即B*是B的Hermit矩陣。編輯課件共軛運(yùn)算的性質(zhì)編輯課件在許多實(shí)際問題中，我們常常用到通過條件求未知元的問題，例如解代數(shù)方程，微〔積〕分方程等等將之抽象，統(tǒng)一起來研究，就是一般算子方程的求解問題，即考慮相應(yīng)算子的逆算子的存在性問題如果還要求“解的唯一性，和對依賴的初始條件是連續(xù)的〞，那該問題便歸結(jié)為“尋求連續(xù)的逆算子的存在問題〞這就是我們本節(jié)要介紹的與之密切相關(guān)的一些定理。第五節(jié)開映射、逆算子及閉圖形定理編輯課件賦范線性空間上的有界線性算子T是雙射時(shí)，其逆映射是存在的，線性的，是否連續(xù)？與函數(shù)情形是不同的例：求積分、微分是互逆的過程，積分算子的有界性并保證不了微分算子是無界的線性算子。定義5.1：設(shè)T是距離空間X到Y(jié)間的映射，假設(shè)T將開集映為開集，那么稱T是開映射。例：同胚映射T是雙射時(shí)，T是開映射當(dāng)且僅當(dāng)其逆映射是連續(xù)的編輯課件開映射定理定理1〔Banach開映射定理〕：設(shè)X,Y是Banach空間，B(X,Y)中元T是滿射，那么T是開映射。證明用到Baire定理，這是本質(zhì)的。定理2〔Banach逆算子定理〕：設(shè)X,Y是Banach空間，B(X,Y