章統(tǒng)計(jì)體百分位數(shù)估計(jì)

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RJA9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)【目標(biāo)認(rèn)知】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位數(shù).2.理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義1.結(jié)合具體實(shí)例,理解百分位數(shù)的含義,并用樣本百分位數(shù)估計(jì)總體百分位數(shù),提高學(xué)生對統(tǒng)計(jì)意義的理解程度.2.在樣本估計(jì)總體的過程中,逐步形成統(tǒng)計(jì)思維,提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)據(jù)表達(dá)能力,逐步樹立用數(shù)據(jù)分析問題、解釋生活現(xiàn)象的意識知識點(diǎn)

百分位數(shù)1.第p百分位數(shù)的定義一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.課前預(yù)習(xí)2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按

排列原始數(shù)據(jù).

第2步,計(jì)算i=

.

第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第

項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的

.

從小到大n×p%j課前預(yù)習(xí)平均數(shù)3.四分位數(shù)

,

,

這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).

其中第25百分位數(shù)也稱為

或

等,第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或

等.

第25百分位數(shù)第50百分位數(shù)第75百分位數(shù)課前預(yù)習(xí)第一四分位數(shù)下四分位數(shù)上四分位數(shù)【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等,則其第75百分位數(shù)大于第25百分位數(shù). (

)(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10百分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23. (

)(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24百分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24. (

)(4)在1~100這100個(gè)整數(shù)中,上四分位數(shù)是75.5. (

)√課前預(yù)習(xí)×[解析]這組數(shù)據(jù)中應(yīng)有10%的數(shù)據(jù)小于等于23.√√2.某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎?為什么?課前預(yù)習(xí)解:不一定.因?yàn)榘凑沼?jì)算第p百分位數(shù)的步驟,第2步計(jì)算所得的i=np%,若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),若第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等,則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在.1.百分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語,如果一組數(shù)據(jù)按從小到大排序,并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位,則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù).可以表示為:一組n個(gè)觀測值按數(shù)值大小排列,處于p%位置的值被稱為第p百分位數(shù).備課素材2.分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的度量,但它所衡量的,不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)項(xiàng)如何在最小值與最大值之間分布的信息.對于無大量重復(fù)的數(shù)據(jù),第p百分位數(shù)將它分為兩部分.大約有p%的數(shù)據(jù)項(xiàng)的值比第p百分位數(shù)小,而大約有(100-p)%的數(shù)據(jù)項(xiàng)的值比第p百分位數(shù)大.對第p百分位數(shù),嚴(yán)格的定義如下:第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.備課素材3.高等院校的入學(xué)考試成績經(jīng)常以百分位數(shù)的形式報(bào)告.比如,假設(shè)某個(gè)考生在入學(xué)考試中的語文部分的原始分?jǐn)?shù)為54分.相對于參加同一考試的其他學(xué)生來說,他的成績?nèi)绾尾⒉蝗菀字?但是如果原始分?jǐn)?shù)54分恰好對應(yīng)的是第70百分位數(shù),我們就能知道大約70%的學(xué)生的考分比他低,而大約30%的學(xué)生的考分比他高.備課素材探究點(diǎn)一

百分位數(shù)的計(jì)算例1

求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.課中探究

課中探究

A探究點(diǎn)二

統(tǒng)計(jì)圖表中的百分位數(shù)[探索]1.第p百分位數(shù)有什么特點(diǎn)?2.數(shù)據(jù)2,3,3,5,6的50%分位數(shù)是多少?課中探究解:1.總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.2.50%分位數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù),所以50%分位數(shù)是3.例2

我國是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國家,城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m,使得86%的居民生活用水不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭,統(tǒng)計(jì)其某年的月均用水量(單位:噸),通過數(shù)據(jù)分析得到如圖9-2-16所示的頻率分布直方圖.(1)求a,m的值.(2)如果我們稱m為這組數(shù)據(jù)的86%分位數(shù),那么這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是多少?課中探究圖9-2-16解:(1)由頻率分布直方圖得(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內(nèi)的頻率為1-(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.∵計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m,使得86%的居民生活用水不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),∴m≈3.課中探究圖9-2-16

課中探究圖9-2-16變式1

根據(jù)例2中的頻率分布直方圖計(jì)算月均用水量的15%分位數(shù).課中探究

變式2

某年級120名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如圖9-2-17所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3,那么成績的70%分位數(shù)約為

秒.

課中探究圖9-2-1716.5

[素養(yǎng)小結(jié)]

根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算,其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組,再應(yīng)用方程的思想方法,設(shè)出百分位數(shù),解方程可得.課中探究計(jì)算n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)要注意兩點(diǎn):一是將數(shù)據(jù)按從小到大重新排序;二是計(jì)算出i為整數(shù)時(shí),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),而不是第i項(xiàng)數(shù)據(jù).備課素材[例]

統(tǒng)計(jì)了12位剛畢業(yè)大學(xué)生的起始月薪(元)如下表:(1)計(jì)算第55,75,85百分位數(shù)各是多少?(2)若統(tǒng)計(jì)時(shí)漏掉了一位畢業(yè)生的起始月薪2905元,那么這13位畢業(yè)生起始月薪的85%分位數(shù)還是原來的數(shù)據(jù)嗎?備課素材畢業(yè)生起始月薪(元)畢業(yè)生起始月薪(元)128507289022950831303305092940428801033255275511292062710122880解:(1)把12位畢業(yè)生的起始月薪(元)按照從小到大排序,可得2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325.由i=n×p%=12×55%=6.6,可知第55百分位數(shù)為第7項(xiàng)數(shù)據(jù),即2920元.由i=n×p%=12×75%=9,可知第75百分位數(shù)為第9項(xiàng)與第10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即29502=3000(元).由i=n×p%=12×85%=10.2,可知第85百分位數(shù)為第11項(xiàng)數(shù)據(jù),即3130元.備課素材(2)還是原來的數(shù)據(jù),即3130元.將13位畢業(yè)生的起始月薪(元)重新按從小到大排序:2710,2755,2850,2880,2880,2890,2905,2920,2940,2950,3050,3130,3325.因?yàn)閕=13×85%=11.05,所以85%分位數(shù)是第12項(xiàng)數(shù)據(jù),即3130元.備課素材1.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(

)2.1

3.0

3.2

3.8

3.4

4.0

4.2

4.4

5.3

5.6A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5課堂評價(jià)[解析]

i=10×25%=2.5,不是整數(shù),則從小到大排列的第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù).A2.一組數(shù)據(jù)a,b,c,d的p分位數(shù)是x,則p可能是 (

)A.50 B.75 C.25% D.100%課堂評價(jià)[解析]

由p分位數(shù)的定義知p是一個(gè)百分?jǐn)?shù)且p∈(0,1),故選C.C3.下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)的說法正確的是 (

)A.第50百分位數(shù)就是中位數(shù)B.總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C.它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)D.它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)課堂評價(jià)[解析]

由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B,C,D錯(cuò)誤.故選A.A4.1至99排列的50個(gè)奇數(shù)中,第25百分位數(shù)是

,2至100排列的50個(gè)偶數(shù)中,第75百分位數(shù)是

.

課堂評價(jià)2576[解析]

由i=n·p%=50×25%=12.5,可知第25百分位數(shù)為第13項(xiàng)數(shù)據(jù),即25.由i=n·p%=50×75%=37.5,可知第75百分位數(shù)為第38項(xiàng)數(shù)據(jù),即76.5.某校為了普及“一帶一路”知識,舉行了一次知識競賽,滿分10分,有10名同學(xué)代表班級參加比賽