2024屆陜西省延安市實驗中學(xué)大學(xué)區(qū)校際聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆陜西省延安市實驗中學(xué)大學(xué)區(qū)校際聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一空間幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為（）A．1 B．3 C．6 D．22．下面結(jié)論中，正確結(jié)論的是（）A．存在兩個不等實數(shù)，使得等式成立B．(0<x<π)的最小值為4C．若是等比數(shù)列的前項的和，則成等比數(shù)列D．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，若，則一定是銳角三角形3．已知，向量，則向量()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．5．若函數(shù)，則（）A．9 B．1 C． D．06．矩形ABCD中，，，則實數(shù)（）A．-16 B．-6 C．4 D．7．已知，則值為A． B． C． D．8．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移9．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．10．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為______.12．已知，且是第一象限角，則的值為__________.13．平面⊥平面,,，，直線，則直線與的位置關(guān)系是___．14．設(shè)直線與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，若，則圓C的面積為________15．方程的解集為____________.16．無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．18．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設(shè).(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小.19．已知向量，其中，記函數(shù)，已知的最小正周期為.(1)求；(2)當(dāng)時，試求函數(shù)的值域.20．設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底邊的腰是2，一條側(cè)棱與底面垂直，這條側(cè)棱長是2.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底邊的腰是2，一條側(cè)棱與底面垂直，這條側(cè)棱長是2.四棱錐的體積是.故選D.【題目點撥】本題考查由三視圖求幾何體的體積，由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，同時還需掌握求體積的常用技巧如：割補法和等價轉(zhuǎn)化法．2、A【解題分析】

對各個選項逐一判斷，對于選項A，由，代入計算，即可判斷是否正確；對于選項B，設(shè)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷是否正確；對于選項C，由公比為為偶數(shù)，即可判斷是否正確；對于選項D，由余弦定理，即可判斷是否正確．【題目詳解】對于選項A，兩個不等實數(shù)，使得等式成立，故A正確；對于選項B，若設(shè)設(shè)，可得在遞減，即函數(shù)的最小值為，故B錯誤；對于選項C，是等比數(shù)列的前項的和，當(dāng)公比，為偶數(shù)時，則，均為，不能夠成等比數(shù)列，故C錯誤；對于選項D，中，若，可得，即為銳角，不能判斷一定是銳角三角形，故D錯誤．故選：A．【題目點撥】本題考查兩角和的正弦公式、基本不等式和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

由向量減法法則計算．【題目詳解】．故選A．【題目點撥】本題考查向量的減法法則，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【題目詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、B【解題分析】

根據(jù)的解析式即可求出，進(jìn)而求出的值．【題目詳解】∵，∴，故，故選B.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)的概念，以及已知函數(shù)求值的方法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)題意即可得出，從而得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出實數(shù)．【題目詳解】據(jù)題意知，,,．故選：．【題目點撥】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,屬于容易題．7、B【解題分析】

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，得到，即可求解.【題目詳解】由題意，可得，故選B.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的化簡、求值，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成正弦函數(shù)的形式，再根據(jù)平移變換，即可得答案.【題目詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【題目點撥】本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的平移變換，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意平移是針對自變量而言的.9、B【解題分析】

先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標(biāo)，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b；③若點M在點A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果．【題目詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點M在射線OA上．設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標(biāo)為（，）．①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故N（，），把A、N兩點的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點A之間，如圖：此時b，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點M在點A的左側(cè)，則b，由點M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由求得點P的坐標(biāo)為（，），此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，故選B．【題目點撥】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．10、C【解題分析】

利用遞推公式計算出數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【題目詳解】，且，，，，所以，，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：C.【題目點撥】本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項，推導(dǎo)出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象依次求得的值.【題目詳解】由圖象可知，，所以，故，將點代入上式得，因為，所以.故.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.12、；【解題分析】

利用兩角和的公式把題設(shè)展開后求得的值，進(jìn)而利用的范圍判斷的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，最后利用誘導(dǎo)公式和對原式進(jìn)行化簡，把的值和題設(shè)條件代入求解即可.【題目詳解】，，即，，兩邊同時平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即為第一或第四象限，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查了兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，需熟記三角函數(shù)中的公式，屬于中檔題.13、【解題分析】

利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，又直線，利用線面垂直性質(zhì)定理得.【題目詳解】在長方體中，設(shè)平面為平面，平面為平面，直線為直線，由于，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，因為，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得.【題目點撥】空間中點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是利用線面平行或垂直的判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行求解.14、【解題分析】因為圓心坐標(biāo)與半徑分別為，所以圓心到直線的距離，則，解之得，所以圓的面積，應(yīng)填答案．15、或【解題分析】

首先將原方程利用輔助角公式化簡為，再求出的值即可.【題目詳解】由題知：，，.所以或，.解得：或.所以解集為：或.故答案為：或【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值，同時考查了輔助角公式，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）存在，（2）證明見解析，圓方程恒過定點或【解題分析】

（1）將曲線Γ方程中的y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．利用韋達(dá)定理求出C，通過坐標(biāo)化，求出m得到所求圓的方程．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程組利用圓系方程，推出圓P方程恒過定點即可．【題目詳解】由曲線Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．設(shè)A（x1，1），B（x2，1），則可得△＝m2﹣8m＞1，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝1，得y＝2m，即C（1，2m）．（1）若存在以AB為直徑的圓過點C，則，得，即2m+4m2＝1，所以m＝1或．由△＞1，得m＜1或m＞8，所以，此時C（1，﹣1），AB的中點M（，1）即圓心，半徑r＝|CM|故所求圓的方程為．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2滿足代入P得展開得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝1當(dāng)，即時方程恒成立，∴圓P方程恒過定點（1，1）或．【題目點撥】本題考查圓的方程的應(yīng)用，圓系方程恒過定點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．18、(1)，.(2)時,達(dá)到最大此時八角形所覆蓋面積前最大值為.【解題分析】

（1）注意到，從而的周長為，故，所以，注意.（2）令，則，根據(jù)可求最大值.【題目詳解】(1)設(shè)為,，，，，(2)令,只需考慮取到最大值的情況,即為，當(dāng),即時,達(dá)到最大，此時八角形所覆蓋面積為16+4最大值為.【題目點撥】如果三角函數(shù)式中僅含有和，則可令后利用把三角函數(shù)式變成關(guān)于的函數(shù)，注意換元后的范圍.19、（1）1（2）【解題分析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)列積得關(guān)系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)周期性得；（2）先根據(jù)x取值范圍得范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定值域.【題目詳解】（1）（2）由（1）知，，，所以函數(shù)的值域.【題目點撥】本題考查二倍角公式、配角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力.20、（1）（2）①9，②【解題分析】

（1）根據(jù)不等式的端點值是對應(yīng)方程的實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到的值；（2）①根據(jù)求的最值，可利用求最值；②利用二次函數(shù)恒成立問題求解.【題目詳解】由已知可知，的兩根