江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學(xué)、第三高級中學(xué)等三校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學(xué)、第三高級中學(xué)等三校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓O1：x2+y2=1與圓O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系為（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離2．下列說法中正確的是(

)A．棱柱的側(cè)面可以是三角形B．正方體和長方體都是特殊的四棱柱C．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形D．棱柱的各條棱都相等3．將函數(shù)y=sinx-πA．y=sin1C．y=sin14．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．5．為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位6．一支由學(xué)生組成的校樂團有男同學(xué)48人，女同學(xué)36人，若用分層抽樣的方法從該樂團的全體同學(xué)中抽取21人參加某項活動，則抽取到的男同學(xué)人數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．137．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A． B． C． D．8．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B．C． D．9．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．10．不等式的解集是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知扇形的圓心角，扇形的面積為，則該扇形的弧長的值是______.12．對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．13．已知兩個正實數(shù)x，y滿足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，則實數(shù)m的取值范圍是______________14．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．15．在中，，則_____________16．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.18．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且.(1)求；(2)若，，求.19．已知函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為.（Ⅰ）求f(x)的表達式；（Ⅱ）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.20．某大學(xué)要修建一個面積為的長方形景觀水池，并且在景觀水池四周要修建出寬為2m和3m的小路如圖所示問如何設(shè)計景觀水池的邊長，能使總占地面積最??？并求出總占地面積的最小值．21．在中，成等差數(shù)列，分別為的對邊，并且，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

先求出兩個圓的圓心和半徑，再根據(jù)它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.【題目詳解】圓的圓心為，半徑等于1，圓的圓心為，半徑等于4，它們的圓心距等于，等于半徑之和，兩個圓相外切.故選A.【題目點撥】判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．2、B【解題分析】試題分析：棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不可能是三角形，所以A不正確；球的表面就不能展成平面圖形，所以C不正確；棱柱的側(cè)棱與底面邊長不一定相等，所以D不正確.考點：本小題主要考查空間幾何體的性質(zhì).點評：解決此類問題的主要依據(jù)是空間幾何體的性質(zhì)，需要學(xué)生有較強的空間想象能力.3、C【解題分析】

將函數(shù)y=sin(x－π3)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sin(12x－π3)，再向左平移π3個單位得到的解析式為y=sin(12（x+π3）－4、B【解題分析】由題意不妨令棱長為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點與底面所成角的正弦值故答案選點睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過點作垂線構(gòu)造出線面角，然后計算出各邊長度，在直角三角形中解三角形．5、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移的原則，即左加右減，即可得答案．【題目詳解】由，可以將函數(shù)圖象向左平移個長度單位即可，故選：D．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，求解時注意平移變換是針對自變量而言的，同時要注意是由誰變換到誰.6、C【解題分析】

先由男女生總數(shù)以及抽取的人數(shù)確定抽樣比，由男生總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得出結(jié)果.【題目詳解】用分層抽樣的方法從校樂團中抽取人，所得抽樣比為，因此抽取到的男同學(xué)人數(shù)為人.故選C【題目點撥】本題主要考查分層抽樣，熟記概念即可，屬于常考題型.7、B【解題分析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式直接確定出圓心和半徑.【題目詳解】因為圓的方程為：，所以圓心為，半徑，故選：B.【題目點撥】本題考查給定圓的方程判斷圓心和半徑，難度較易.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中圓心是，半徑是.8、A【解題分析】

根據(jù)題意可得出直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關(guān)系得出結(jié)果.【題目詳解】解：設(shè)三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形可得，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，故，即故選A.【題目點撥】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉正切函數(shù)的單調(diào)性.9、A【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，進而結(jié)合單調(diào)性分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，為偶函數(shù)，則，

又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

解得：，

故選：A．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是得到關(guān)于的不等式．10、A【解題分析】

分解因式，即可求得.【題目詳解】進行分解因式可得：，故不等式解集為：故選：A.【題目點撥】本題考查一元二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)知識題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先結(jié)合求出，再由求解即可【題目詳解】由，則故答案為：【題目點撥】本題考查扇形的弧長和面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題12、【解題分析】

分別在和兩種情況下進行討論，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)圖像可得不等式組，從而求得結(jié)果.【題目詳解】①當(dāng)，即時，不等式為：，恒成立，則滿足題意②當(dāng)，即時，不等式恒成立則需：解得：綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的求解，易錯點是忽略不等式是否為一元二次不等式，造成丟根；處理一元二次不等式恒成立問題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)圖象來得到不等關(guān)系，屬于?？碱}型.13、(-∞,1)【解題分析】

由x+2y（x+2y）（）（1），運用基本不等式可得x+2y的最小值，由題意可得m＜x+2y的最小值．【題目詳解】兩個正實數(shù)x，y滿足2，則x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2時，上式取得等號，x+2y﹣m＞0，即為m＜x+2y，由題意可得m＜1．故答案為：（﹣∞，1）．【題目點撥】本題考查基本不等式的運用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14、【解題分析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設(shè)母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為15、【解題分析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【題目詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，，()，由余弦定理可得，故.【題目點撥】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題．16、10【解題分析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【題目詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【題目點撥】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

試題分析：（1）轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動點坐標(biāo)及相應(yīng)已知動點坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo)關(guān)系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證，先設(shè)P（m，n），則需證，即根據(jù)條件可得，而，代入即得.試題解析：解：（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因為M（）在C上，所以.因此點P的軌跡為.由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).18、（1）（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理化簡為，再利用余弦定理得到答案.(2)先用和差公式計算，再利用正弦定理得到.【題目詳解】(1)由正弦定理，可化為，得，由余弦定理可得，有又由，可得.(2)由，由正弦定理有.【題目點撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查學(xué)生的計算能力.19、（1）f(x)＝sin.（2）【解題分析】試題分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡，再利用周期公式即可求得正解；（2）根據(jù)圖像變換求出的表達式，再利用符合函數(shù)法求得遞減區(qū)間.試題解析：(1)f(x)＝sin2ωx＋×－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由題意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin的圖象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的單調(diào)減區(qū)間為20、水池一邊長為12m，另一邊為18m，總面積為最小，為．【解題分析】

設(shè)水池一邊長為xm，則另一邊為，表示出面積利用基本不等式求解即可．【題目詳解】設(shè)水池一邊長為xm，則另一邊為，總面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故水池一邊長為12m，則另一邊為18m，總面積為最小，為，【題目點撥】本題考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．21、或.【解題分析】

先算出