2024屆湖南長沙市第一中學數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題含解析

2024屆湖南長沙市第一中學數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．102．向量，若，則的值是（）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，，，，則等于()A． B． C． D．4．下列事件是隨機事件的是（1）連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上．（2）異性電荷相互吸引（3）在標準大氣壓下，水在℃時結冰（4）任意擲一枚骰子朝上的點數(shù)是偶數(shù)A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）5．空氣質量指數(shù)是反映空氣質量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：指數(shù)值0～5051～100101～150151～200201～300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染如圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢：下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好6．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形7．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4558．已知某地、、三個村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地三個村的貧困原因，當?shù)卣疀Q定采用分層抽樣的方法抽取的戶數(shù)進行調査，則樣本容量和抽取村貧困戶的戶數(shù)分別是（）A．， B．，C．， D．，9．已知，其中，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，其中是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為_______________．12．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數(shù)列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.13．在等比數(shù)列中，已知，則=________________.14．在中，，，，則的面積等于______.15．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是______.16．函數(shù)的單調增區(qū)間是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．18．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．的內角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．20．設函數(shù)（1）若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；（2）若對于恒成立，求的取值范圍.21．設數(shù)列的前項和.已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否對一切正整數(shù)，有？說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

將點的坐標代入直線方程：，再利用乘1法求最值【題目詳解】將點的坐標代入直線方程：，，當且僅當時取等號【題目點撥】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。2、C【解題分析】

由平面向量的坐標運算與共線定理，列方程求出λ的值．【題目詳解】向量=（-4，5），=（λ，1），則-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故選C．【題目點撥】本題考查了平面向量的坐標運算與共線定理應用問題，是基礎題．3、C【解題分析】

直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.【題目詳解】故選：C【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的計算，屬于簡單題.4、D【解題分析】試題分析：根據(jù)隨機事件的定義：在相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象（2）是必然發(fā)生的，（3）是不可能發(fā)生的，所以不是隨機事件，故選擇D考點：隨機事件的定義5、C【解題分析】

根據(jù)所給圖象，結合中位數(shù)的定義、指數(shù)與污染程度的關系以及古典概型概率公式，對四個選項逐一判斷即可.【題目詳解】對，因為第10天與第11天指數(shù)值都略高100，所以中位數(shù)略高于100，正確；對，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對，由圖知，前半個月中，前4天的空氣質量越來越好，后11天該市的空氣質量越來越差，錯誤；對，由圖知，10月上旬大部分指數(shù)在100以下，10月中旬大部分指數(shù)在100以上，所以正確，故選C.【題目點撥】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.6、C【解題分析】試題分析：因為，所以，即四邊形的對角線互相垂直，排除選項AD；又因為，所以四邊形對邊平行且相等，即四邊形為平行四邊形，但不能確定鄰邊垂直，所以只能確定為菱形．考點：1．向量相等的定義；2．向量的垂直；7、C【解題分析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長公式l=2r【題目詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【題目點撥】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構成的直角三角形中運用勾股定理求解，此時不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運算、增強解題的直觀性．8、B【解題分析】

將餅圖中的、、三個村的人口戶數(shù)全部相加，再將所得結果乘以得出樣本容量，在村人口戶數(shù)乘以，再乘以可得出村貧困戶的抽取的戶數(shù).【題目詳解】由圖得樣本容量為，抽取貧困戶的戶數(shù)為戶，則抽取村貧困戶的戶數(shù)為戶．故選B.【題目點撥】本題考查樣本容量的求法，考查分層抽樣、扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖計算數(shù)據(jù)，考查運算求解能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】

先根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得,再根據(jù)二倍角正切公式得結果.【題目詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)關系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10、D【解題分析】函數(shù)的周期為，四分之一周期為，而函數(shù)的最大值為，故，由余弦定理得，故.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】.12、2n2.【解題分析】

由已知列關于首項與公差的方程組，求解可得首項與公差，再由等差數(shù)列的前項和求解.【題目詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前項和，考查等比數(shù)列的性質，屬于基礎題.13、【解題分析】14、【解題分析】

先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解.【題目詳解】因為在中，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案為：【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15、.【解題分析】

把圓的一般方程化為圓的標準方程，得出表示圓的條件，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，方程可化為，方程表示圓，則滿足，解得．【題目點撥】本題主要考查了圓的一般方程與圓的標準方程的應用，其中熟記圓的一般方程與圓的標準方程的互化是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎．16、，【解題分析】

先利用誘導公式化簡，即可由正弦函數(shù)的單調性求出?！绢}目詳解】因為，所以的單調增區(qū)間是，?！绢}目點撥】本題主要考查誘導公式以及正弦函數(shù)的性質——單調性的應用。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】試題分析：（1）結合數(shù)列遞推公式形式可知采用累和法求數(shù)列的通項公式，求解時需結合等比數(shù)列求和公式；（2）由得數(shù)列的通項公式為，求和時采用錯位相減法，在的展開式中兩邊同乘以4后，兩式相減可得到試題解析：（1）由已知，當時，==，．而，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由知…①……7分從而……②①②得，即．考點：1．累和法求數(shù)列通項公式；2．錯位相減法求和18、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明平面平面，然后利用平面與平面平行的性質得出平面；（2）作于點，連接，證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，并計算出三邊邊長，并利用銳角三角函數(shù)計算出的正弦值，即可得出答案.【題目詳解】（1）證明：，平面，平面，平面.同理可證平面.，平面平面.平面，平面；（2）作于點，連接，平面，平面，.又，，平面.則為與平面所成角，在中，，，，，，，，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，同時也考查了直線與平面所成角的計算，在計算空間角時要遵循“一作、二證、三計算”的原則來求解，考查邏輯推理能力，屬于中等題.19、（1）；（2）5.【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【題目詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據(jù)余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面積為．【題目點撥】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）由不等式恒成立，結合二次函數(shù)的性質，分類討論，即可求解；（2）要使對于恒成立，整理得只需恒成立，結合基本不等式求得最值，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，要使不等式恒成立，①當時，顯然成立，所以時，不等式恒成立；②當時，只需，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）要使對于恒成立，只需恒成立，只需，又因為，只需，令，則只需即可因為，當且僅當，即時等式成立；因為，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查了含參數(shù)的不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式的恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題是解答的關鍵，著重考查了分類