2024屆吉林省延邊數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆吉林省延邊數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．2．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為()A． B． C． D．3．已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．4．為了調(diào)查老師對(duì)微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A．10 B．12 C．18 D．245．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．6．某高中三個(gè)年級(jí)共有3000名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級(jí)的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30的樣本進(jìn)行視力健康檢查，若抽到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)與高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為3∶2，抽到高三年級(jí)學(xué)生10人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（）A．600 B．800 C．1000 D．12007．若，則A． B． C． D．8．關(guān)于的不等式的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．10．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，的最大值為_____.12．某小區(qū)擬對(duì)如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀．已知,則面積最小值為____13．圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側(cè)面積是__________．14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域__________．15．在中，已知角的對(duì)邊分別為，且，，，若有兩解，則的取值范圍是__________．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則______.（寫出兩個(gè)即可）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離.19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列位的前項(xiàng)和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.20．已知圓與直線相切（1）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求（2）已知，設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，證明：為定值21．如圖，在平面四邊形中，為的角平分線，，，.（1）求；（2）若的面積，求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計(jì)算求得結(jié)果.【題目詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解題分析】

若△AF1B的周長(zhǎng)為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)3、A【解題分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以的最大值等于，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．4、A【解題分析】

按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【題目詳解】，，三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

由三角形大邊對(duì)大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】的最小角為角，則故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確三角形中大邊對(duì)大角的特點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得所求角的余弦值.6、B【解題分析】

根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為和，則，繼而算出抽到的各年級(jí)人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的原理可以推得該校高二年級(jí)的人數(shù)．【題目詳解】根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為和，則，即，所以高一年級(jí)和高二年級(jí)抽到的人數(shù)分別是12人和8人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為人．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．7、B【解題分析】

分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式解集中恰有3個(gè)整數(shù)，列出關(guān)于的條件，求解即可.【題目詳解】關(guān)于的不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；綜上，.故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類討論思想，屬于中檔題．9、C【解題分析】

數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡(jiǎn)解出即可得出．【題目詳解】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n1+n．∴a＜1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】

首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項(xiàng).【題目詳解】由三點(diǎn)共線，從而得到，因?yàn)?，解得，即，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)角的終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共線的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

化簡(jiǎn)，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【題目詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題。12、【解題分析】

設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【題目詳解】因?yàn)椋?，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于這類型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.13、【解題分析】分析：由已知中圓錐的底面半徑是，高是，由勾股定理，我們可以計(jì)算出圓錐的母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到結(jié)論.詳解：圓錐的底面半徑是，高是，圓錐的母線長(zhǎng)，則圓錐側(cè)面積公式，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐側(cè)面積公式，意在考查對(duì)基本公式的掌握與理解，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解題分析】

根據(jù)已知條件，所得截面可能是三角形，也可能是六邊形，分別求出三角形與六邊形周長(zhǎng)的取值情況，即可得到函數(shù)的值域.【題目詳解】如圖：∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為6，∵（i）當(dāng)或時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小.設(shè)截面正三角形的邊長(zhǎng)為，由等體積法得：∴∴，（ii）或時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最大，截面正三角形的邊長(zhǎng)為，∴（iii）當(dāng)時(shí)，截面六邊形的周長(zhǎng)都為∴∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體表面的截面問(wèn)題和線面垂直，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形分析截面的三種情況，進(jìn)而得出與截面邊長(zhǎng)的關(guān)系.15、【解題分析】

利用正弦定理得到，再根據(jù)有兩解得到，計(jì)算得到答案.【題目詳解】由正弦定理得：若有兩解：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，有兩解，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、或【解題分析】

利用已知求的公式，即可算出結(jié)果．【題目詳解】（1）當(dāng)，得，∴，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，，化簡(jiǎn)得，∴或，即（常數(shù)）或，當(dāng)（常數(shù)）時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用與的關(guān)系公式，即，求的方法應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、直線方程為或【解題分析】

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，由圓心到直線的距離等于半徑，可解出的值，從而求出方程。【題目詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑，即，可解得.即直線為.綜上，所求直線方程為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的求法，考查了直線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題。18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理易得,所以平面．（2）點(diǎn)B到平面PDQ的距離通過(guò)求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數(shù)據(jù)求解即可．【題目詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.（2）解：設(shè).因?yàn)?，所以的面積為.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以三棱錐的體積為，解得.因?yàn)?，所以，所以的面積為.則三棱錐的體積為.在中，，，，則.設(shè)點(diǎn)B到平面PDQ的距離為h，則，解得，即點(diǎn)B到平面PDQ的距離為.【題目點(diǎn)撥】此題考察立體幾何的證明，線面垂直只需證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別垂直即可，第二問(wèn)考察了三棱錐等體積法，通過(guò)變化頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題目．19、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)題干可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；（2）由錯(cuò)位相減的方法得到結(jié)果；（3）根據(jù)第二問(wèn)得到：，數(shù)列單調(diào)遞增，由數(shù)列的單調(diào)性得到數(shù)列范圍.【題目詳解】（1）由，令，則，又，所以.當(dāng)時(shí)，由可得，，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是.（2）∴∴從而.（3）由（2）知，∴數(shù)列單調(diào)遞增，∴，又，∴要恒成立，則，解得，又，故.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。20、（1）4；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出半徑，從而得到圓的方程；根據(jù)直線被圓截得弦長(zhǎng)的求解方法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，則，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意知，圓心到直線的距離：圓與直線相切圓方程為：圓心到直線的距離：，（2）證明：設(shè)，則即