2024屆吉林省通化市梅河口市博文學(xué)校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆吉林省通化市梅河口市博文學(xué)校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．以點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為()A． B．C． D．2．式子的值為()A． B．0 C．1 D．3．下列函數(shù)中是偶函數(shù)且最小正周期為的是（）A． B．C． D．4．定義在R上的函數(shù)fx既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若fx的最小正周期是π，且當(dāng)x∈0,π2A．-12 B．32 C．5．如果直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)（）A．不存在與垂直的直線 B．存在一條與垂直的直線C．存在無(wú)數(shù)條與垂直的直線 D．任意一條都與垂直6．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖所示，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度等于（）A．m B．m C．m D．m8．已知為銳角，，則（）A． B． C． D．9．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．10．如圖，位于處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營(yíng)救．在處南偏西且相距20海里的處有一救援船，其速度為海里小時(shí)，則該船到求助處的時(shí)間為（）分鐘．A．24 B．36 C．48 D．60二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，那么的值是________．12．cos213．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個(gè)周期的圖象，則f(1)=__________.14．隨機(jī)抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為_(kāi)_____.15．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．16．已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)．則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，.（1）計(jì)算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時(shí)和滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.18．在一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支.求（1）恰有1支一等品的概率；（2）恰有兩支一等品的概率；（3）沒(méi)有三等品的概率.19．已知的角、、所對(duì)的邊分別是、、，設(shè)向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長(zhǎng)，角，求的面積.20．已知點(diǎn)，，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)且滿足（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交直線：于點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

通過(guò)圓心設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)即可．【題目詳解】設(shè)圓的方程為：，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以圓的方程：．故選B【題目點(diǎn)撥】此題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，記住標(biāo)準(zhǔn)方程的一般設(shè)法，代入數(shù)據(jù)即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目．2、D【解題分析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.【題目詳解】cos（）＝coscos，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

本題首先可將四個(gè)選項(xiàng)都轉(zhuǎn)化為的形式，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性以及周期性依次進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果．【題目詳解】中，函數(shù)，是偶函數(shù)，周期為；中，函數(shù)是奇函數(shù)，周期；中，函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，周期；中，函數(shù)是偶函數(shù)，周期.綜上所述，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)三角函數(shù)的奇偶性以及周期性的判斷，考查三角恒等變換，偶函數(shù)滿足，對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．4、B【解題分析】分析：要求f(5π3)，則必須用f(x)=詳解：∵f(x)的最小正周期是π∴f∵f(x)是偶函數(shù)∴f-π∵當(dāng)x∈[0，π2則f故選B點(diǎn)睛：本題是一道關(guān)于正弦函數(shù)的題目，掌握正弦函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵，考查了函數(shù)的周期性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．5、C【解題分析】

因?yàn)橹本€l與平面不垂直，必然會(huì)有一條直線與其垂直，而所有與該直線平行直線也與其垂直，因此選C6、B【解題分析】由解得為函數(shù)的定義域.令，消去得，圖像為橢圓的一部分，如下圖所示.，即直線，由圖可知，截距在點(diǎn)處取得最小值，在與橢圓相切的點(diǎn)處取得最大值.而，故最小值為.聯(lián)立，消去得，其判別式為零，即，解得（負(fù)根舍去），即，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含有兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)怎樣求最大值和最小值.先用換元法，將原函數(shù)改寫成為一次函數(shù)的形式.然后利用和的關(guān)系，得到的可行域，本題中可行域?yàn)闄E圓在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.7、A【解題分析】

在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，最后利用進(jìn)行求解即可.【題目詳解】在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以有.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、A【解題分析】

先將展開(kāi)并化簡(jiǎn)，再根據(jù)二倍角公式，計(jì)算可得?！绢}目詳解】由題得，，整理得，又為銳角，則，，解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和差公式以及二倍角公式，是基礎(chǔ)題。9、A【解題分析】

由三角形大邊對(duì)大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】的最小角為角，則故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確三角形中大邊對(duì)大角的特點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得所求角的余弦值.10、A【解題分析】

利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出時(shí)間即可.【題目詳解】由題意可知：，運(yùn)用余弦定理可知：該船到求助處的時(shí)間，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

首先根據(jù)題中條件求出角，然后代入即可.【題目詳解】由題知，，所以，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12、3【解題分析】由二倍角公式可得：cos213、2【解題分析】

由三角函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求解的值，得到答案.【題目詳解】由三角函數(shù)圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數(shù)，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人，在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率分布直方圖中概率的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、5【解題分析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.16、【解題分析】

直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【題目詳解】由題得.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，；（2），.【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算；（2）由可得出，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值．【題目詳解】（1）由題意及，同理，．（2）∵，∴，∴，即，又，∴時(shí)，．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積與模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系．掌握數(shù)量積的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．其中．18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）恰有一支一等品，從3支一等品中任取一支，從二、三等品種任取兩支利用分布乘法原理計(jì)算后除以基本事件總數(shù)；（2）恰有兩枝一等品，從3支一等品中任取兩支，從二、三等品種任取一支利用分布乘法原理計(jì)算后除以基本事件總數(shù)；（3）從5支非三等品中任取三支除以基本事件總數(shù)．【題目詳解】（1）恰有一枝一等品的概率；（2）恰有兩枝一等品的概率；（3）沒(méi)有三等品的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

⑴因?yàn)椋?，?其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因?yàn)?，所?由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.20、（1）；（2）存在點(diǎn)使得成立.【解題分析】

（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲線的方程．（2）由題意得M(0，1)，N(0，-1)，設(shè)點(diǎn)R(x0，y0)，（x0≠0），由點(diǎn)R在曲線上，得=1，直線RM的方程，從而直線RM與直線y=3的交點(diǎn)為，直線RN的方程為，從而直線RN與直線y=3的交點(diǎn)為，假設(shè)存在點(diǎn)S(0，m)，使得成立，則，由此能求出存在點(diǎn)S，使得成立，且S點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目詳解】（1）設(shè)，由，得：，整理得.所以曲線的方程為.（2）由題意得，，.設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)在曲線上，所以.直線的方程為，所以直線與直線的交點(diǎn)為.直線的方程為所以直線與直線的交點(diǎn)為.假設(shè)存在點(diǎn)，使得成立，則，.即，整理得.因?yàn)?，所以，解?所以存在點(diǎn)使得成立，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線方程的求法，考查是否存在滿足向量積為0的點(diǎn)的判斷與求法，考查圓、直線方程、向量的數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21、(1)；(2)【解題分析】

（1）由，，根據(jù)等比數(shù)列的