2024屆上海市浦東區(qū)洋涇中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆上海市浦東區(qū)洋涇中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．不等式的解集為A． B． C． D．3．球是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，則這個(gè)球的體積為（）A． B． C． D．4．在中，若，，，則角的大小為（）A．30° B．45°或135° C．60° D．135°5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．6．的周期為（）A． B． C． D．7．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．8．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．9．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（）．A． B．C． D．10．把函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，若則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.12．已知，是第三象限角，則.13．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側(cè)面積__________．14．若，則______．15．已知，，，則的最小值為______．16．有6根細(xì)木棒，其中較長(zhǎng)的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長(zhǎng)的棱所在的直線所成的角的余弦值為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線，，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若以，的交點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，求的最小值.18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的單調(diào)區(qū)間19．某校高一年級(jí)有學(xué)生480名，對(duì)他們進(jìn)行政治面貌和性別的調(diào)查，其結(jié)果如下：性別團(tuán)員群眾男80女180（1）若隨機(jī)抽取一人，是團(tuán)員的概率為，求，；（2）在團(tuán)員學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法，抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，然后在這5名團(tuán)員中任選2人，求兩人中至多有1個(gè)女生的概率．20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小值及f(x)取到最小值時(shí)自變量x的集合；(2)指出函數(shù)y＝f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換得到；21．已知等比數(shù)列的公比是的等差中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

令，得，再令，得出，并構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】令，得，，令，則，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，由于，，，所以，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，在求解含參函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，若函數(shù)中只含有單一參數(shù)，可以采用參變量分離法轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，難點(diǎn)在于利用換元法將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．2、D【解題分析】

把不等式化為，即可求解不等式的解集，得到答案．【題目詳解】由題意，不等式可化為，解得或，即不等式的解集為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的半徑，由此能求出其體積．【題目詳解】棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的半徑＝＝1，體積．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體的內(nèi)切球的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用正弦定理得到答案.【題目詳解】在中正弦定理：或故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，屬于簡(jiǎn)單題.5、B【解題分析】

由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)，再由數(shù)列的周期性及等比數(shù)列的前項(xiàng)和求解．【題目詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得；當(dāng)，且時(shí)，，不滿足上式，∴，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，為整數(shù)，則，所以；故對(duì)于任意正整數(shù)，均有：因?yàn)椋裕驗(yàn)闉榕紨?shù)，所以，而，所以.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的函數(shù)概念與表示、余弦函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，，和的推導(dǎo)，本題屬于難題．6、D【解題分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的結(jié)論即可得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是明確正弦型函數(shù)的最小正周期.7、B【解題分析】

先計(jì)算向量夾角，再利用投影定義計(jì)算即可.【題目詳解】由向量，，則，，向量在向量方向上的投影為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)母線長(zhǎng)和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查錐體體積的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】試題分析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度不變，與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度變成原來(lái)的一半，正方形的對(duì)角線在y'軸上，可求得其長(zhǎng)度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為2，觀察四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意．故應(yīng)選A．考點(diǎn)：斜二測(cè)畫法．點(diǎn)評(píng)：注意斜二測(cè)畫法中線段長(zhǎng)度的變化．10、D【解題分析】試題分析：三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．直接求出平移后的函數(shù)解析式即可．解：把函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位，所得到的圖象的函數(shù)解析式為：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故選D．考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

計(jì)算得到，根據(jù)得到范圍.【題目詳解】?jī)芍苯沁吅托边叿謩e為a，b，c，則，則，則，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、.【解題分析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知，，化簡(jiǎn)整理得①，又因?yàn)棰?，?lián)立方程①②即可解得：，，又因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，?考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.13、【解題分析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體中，計(jì)算各個(gè)面的面積相加得到答案.【題目詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個(gè)面都是直角三角形.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】

,則，故答案為.15、【解題分析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來(lái)求得最小值了.16、【解題分析】

分較長(zhǎng)的兩條棱所在直線相交，和較長(zhǎng)的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，即可求出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱所在直線相交時(shí)，如圖所示：不妨設(shè)，，，所以較長(zhǎng)的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時(shí)較長(zhǎng)的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱所在直線異面時(shí)，不妨設(shè)，，則，取CD的中點(diǎn)為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以O(shè)A+OB<AB，不能構(gòu)成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）【解題分析】

（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點(diǎn)；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問(wèn)題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【題目詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)（2）將，聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過(guò)點(diǎn)，則最大時(shí)，，即【題目點(diǎn)撥】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長(zhǎng)的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長(zhǎng)最小值.18、（1）f(x)的最小正周期為π，最大值為；（2）f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【解題分析】

（1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根據(jù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得在上的單調(diào)區(qū)間．【題目詳解】解：（1）函數(shù)，即故函數(shù)的周期為，最大值為．（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為減函數(shù)；即函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．19、（1），；（2）．【解題分析】

（1）隨機(jī)抽取一人，是團(tuán)員的概率為，得，再由總?cè)藬?shù)為480得的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立求解，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)團(tuán)員男女生人數(shù)的比例，可求出抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，男生為2人，女生為3人，將5人編號(hào)，列出從5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1個(gè)女生的基本事件的個(gè)數(shù)，按古典概型求概率，即可求解.【題目詳解】解：（1）由題意得：，解得，．（2）在團(tuán)員學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法，抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，抽中男生：人，抽中女生：人，2名男生記為，3名女生記為，在這5名團(tuán)員中任選2人，基本事件有：共有10個(gè)基本事件，兩人中至多有1個(gè)女生包含的基本事件個(gè)數(shù)有7個(gè)，∴兩人中至多有1個(gè)女生的概率．【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣抽取元素個(gè)數(shù)的分配，考查古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），此時(shí)自變量的集合是（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換規(guī)律，即可得到?！绢}目詳解】(1)，此時(shí)，，即，，即此時(shí)自變量的集合是.（2）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象，最后再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用。21、（1），；（2）.【解