數系的擴充與復數的引入

數學(文科A)考綱要求·復數的基本概念,復數相等的充要條件·復數代數表示法及其幾何意義·能進行復數代數形式的四則運算·代數形式的加減運算考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);②(1±i)2=±2i,?=i,?=-i;③1的立方虛根為ω=-?±?i,且ω具有性質:1+ω+ω2=0,ω3=1,ω2=?,?=?.(3)復數的幾何意義,特別是復數與向量、復數與三角的聯系.建議備考抓好以下問題:(1)復數的基本概念,復數為虛數、純虛數的條件,復數模的性質,復數相等條件的運用等.(2)復數的代數形式運算,并注意下述結果的變形運用:考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選1.復數的有關概念(1)復數的單位為i,它的平方等于-1,即i2=-1,并,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.(2)復數:形如a+bi的數(其中a,b∈R),a叫做復數的實部,b叫做復數的虛部,當b=0時,復數a+bi為實數;當b≠0時,復數a+bi為虛數;當a=0且b≠0時,復數a+bi為純虛數.(3)兩個復數相等的定義a+bi=c+di?a=c,b=d(其中a,b,c,d∈R),特別地a+bi=0?a=b=0.

(4)兩個復數,如果不全為實數,就不能比較大小.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選2.復數的幾何意義(1)在復平面內,實軸上的點都表示實數,虛軸上的點除原點外都表示純虛數.(2)復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面內點Z(a,b)、平面向量

一一對應(其中O是坐標原點).(3)向量

的模r叫做復數z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|,并且|z|=

.

(4)復數集與其他數集之間的關系:N?Z?Q?R?C.3.復數的加、減、乘、除運算復數的加、減、乘、除運算按以下規(guī)則進行:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選加減法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.除法:

=

=

+

i.

4.共軛復數:當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數.復數z=a+bi(a、b∈R)的共軛復數

=a-bi(a、b∈R)5.復數加法的幾何意義:如果復數z1,z2分別對應于向量

、

,那么以OP1、OP2為兩邊作平行四邊形OP1SP2,對角線OS表示的向量

就是z1+z2的和所對應的向量.

6.復數減法的幾何意義:兩個復數的差z1-z2與連結這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選1.下列n的取值中,使in=1(i是虛數單位)的是

(

)(A)n=2.

(B)n=3.

(C)n=4.

(D)n=5.【解析】由i4=1,易知選C.【答案】C考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選2.在復平面內,復數z=

+(1-

i)2對應的點位于(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.

(D)第四象限.【解析】z=

+(1-

i)2=

i(1-i)+(1-3-2

i)=

i+

-2-2

i=-

+

i,∴在第三象限.【答案】C考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選3.(2008年·北京)在復平面內,復數

對應的點與原點的距離是

(

)(A)1.

(B)

.

(C)2.

(D)2

.【解析】

=

=1-i,復數

對應的點與原點的距離是

.【答案】B考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選4.已知方程x3=1,則該方程在復數范圍內有幾個根

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.【解析】∵x3-1=0,∴(x-1)(x2+x+1)=0,∴x-1=0或x2+x+1=0,∴x=1或x=

.故該方程三個根x1=1,x2=

,x3=

.故選C.【答案】C考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例1

(1)若復數z滿足z(2+i)=5,則復數z的實部與虛部的差是

(

)(A)-1.

(B)1.

(C)-3.

(D)3.(2)若θ∈(

,

),則復數(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在復平面內所對應的點在

(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.

(D)第四象限.【分析】(1)直接利用運算法則即可;(2)根據θ的取值范圍,判斷cos

θ+sinθ,sinθ-cosθ的符號即可.題型1復數的概念、復數與復平面上的點的對應關系考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選(2)由θ∈(

,

)可得-

<cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0,所以此復數在復平面內所對應的點在第二象限.【答案】(1)D

(2)B

點評:(1)復數的形式a+bi是解決問題常用的基本形式;(2)要能理解復數的幾何意義,并能靈活應用.【解析】(1)由z(2+i)=5,得z(2+i)(2-i)=5(2-i),z=2-i,2-(-1)=3.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

變式演練1已知m∈R,復數z=

+(m2+2m-3)i,當m為何值時(1)z∈R;(2)z是純虛數;(3)z對應的點位于復平面第二象限.【解析】(1)由m2+2m-3=0且m-1≠0得m=-3.(2)由

?m=0或m=2.(3)由

?m<-3或1<m<2.綜上可知:(1)當m=-3時,z∈R.(2)當m=0或m=2時,z是純虛數.(3)當m<-3或1<m<2時,z對應的點在第二象限.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例2

(1)已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},則實數m的值為

.(2)已知關于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實根,則實數k的值為

.【分析】(1)解題的突破口是利用3是M、N的公共元素,-1不是M

中的元素,再用兩個復數相等的充要條件解方程求解.(2)本題解題的切入點是方程的根必適合方程,設x=m為方程的實

根,代入、整理后得a+bi的形式,再由復數相等的充要條件得關于k

、m的方程組求解.【解析】(1)∵M∩N={3},∴3∈M且-1?M,∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,題型2復數的相等考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,解得m=6或m=3.(2)設x=m是方程的實根,代入方程得m2+(k+2i)m+2+ki=0,即(m2+km

+2)+(2m+k)i=0.由復數相等的充要條件得

解得

或

∴方程的實根為x=

或x=-

,相應k的值為-2

或2

.【答案】(1)3或6

(2)-2

或2

點評:(1)本題是集合與兩個復數相等的交匯題,關鍵是靈活運用集合中元素關系求解.(2)解決本類問題的關鍵是:設復數的代數式形式,化虛為實.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

變式演練2

(1)已知復數z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R)且z<0,則k=

.(2)設關于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0,若方程有實數根,則銳角θ等

于

,實數根為

.【解析】(1)∵z<0,∴z∈R,∴k2-5k+6=0且k2-3k<0,解得k=2.(2)原方程可化為x2-xtanθ-2-(x+1)i=0,∴

∴x=-1,tanθ=1,∴θ=

.【答案】(1)2

(2)

-1考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例3

(1)復數

的值是

(

)(A)-16.

(B)16.

(C)-

.

(D)

-

i.(2)設x,y∈R,且

=

,則x=

,y=

.【分析】(1)把條件轉化成與ω的性質有關的問題求解.(2)左、右同時化簡,再利用左、右相等得x、y的值.【解析】(1)

=

=16·

=

=-16.題型3復數的運算考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選(2)原等式可化為(x-2)+(2y-3)i=

·(3+2i)10.由

·(3+2i)10=

·(2-3i)10·i10=

·(-1)=-1-3i,即得(x-2)+(2y-3)i=-1-3i,故

解得

【答案】(1)A

(2)10

點評:本題主要考查復數的運算,若直接運算則比較麻煩,可結合題中所給復數的形式,利用“

=i”,“ω=-

+

i”的性質來求解比較容易.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

變式演練3計算:(1)

=

.(2)

=

.【解析】(1)原式=

=(

)3·

=

=i.(2)

=

=

=

=-1+

i.【答案】(1)i

(2)-1+

i考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例4

(2008年·山東)設z的共軛復數是

,若z+

=4,z·

=8,則

等于

(

)(A)i.

(B)-i.

(C)±1.

(D)±i.【分析】設a的復數形式a+bi,求出a、b即可.【解析】設z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,由z+

=2a=4,得a=2,又z·

=a2+b2=8,則b=±2,則

或

則

=±i.【答案】D題型4共軛復數

點評:z=a+bi(a,b∈R)來解題,是常用的處理方法,同時要理解和應用共軛復數和模的含義.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

變式演練4

設z1是復數,z2=z1-i

(其中

表示z1的共軛復數),已知z2的實部是-1,則z2的虛部為

.【解析】設z1=a+bi(a,b∈R),則z2=z1-i

=(a+bi)-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,z2的實部是-1,則a-b=-1,那么z2的虛部為-(a-b)=1.【答案】1考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例5已知復數z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分別對應向量

、

(O為原點),若向量

對應的復數為純虛數,求實數a的值.【解析】∵z1,z2在復平面上對應的向量為

=(a2-3,a+5),

=(a-1,a2+2a-1),∴

=

-

=(a-a2+2,a2+a-6),即

對應的復數為(a-a2+2)+(a2+a-6)i.∵向量

對應的復數為純虛數,∴

解得a=-1.

點評:本題利用“復數?復平面上的點?復數與向量”的對應關系求出

,再利用復數為純虛數的條件求解即得.題型5復數與向量的對應關系考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

變式演練5已知z是復數,z+2i、

均為實數(i為虛數單位),且復數(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限,求實數a的取值范圍.【解析】設z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2,

=

=

(x-2i)(2+i)=

(2x+2)+

(x-4)i.由題意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根據題意得

解得2<a<6,∴實數a的取值范圍是(2,6).考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選

例已知復數z1=-4m+1+(2m2+3m)i,z2=2m+(m2+m)i,其中m∈R,問m為何值時,z1>z2?【錯解】z1-z2=-6m+1+(m2+2m)i>0,則m2+2m=0且-6m+1>0,解得m=0或m=-2,∴m=0或m=-2時,有z1>z2.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選【正解】要使z1>z2,應滿足:

解得

∴m=0,∴當m=0時,z1>z2.

【剖析】雖然m=0或m=-2時,z1-z2>0,但不能保證z1、z2都是實數,因

為兩個復數只要有一個不是實數,就不能比較大小.因此,本題的前提條件是z1、z2均為實數,即

考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選1.復數問題實數化是解決復數問題的最基本也是最重要的思想方法,其依據是復數的有關概念和兩個復數相等的充要條件.方法是按照題設條件把復數整理成z=a+bi(a、b∈R)的形

式,明確復數的實部與虛部,由復數相等的充要條件或實部與虛部滿足的條件,列出方程(組)或不等式(組),通過解方程(組)或不等式(組)達到解決問題的目的.2.復平面、實軸、虛軸:點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數z=a+bi(a、b∈R)可用點Z(a,b)表示,這個建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,也叫高斯平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選對于虛軸上的點,原點對應的有序實數對為(0,0),它所確定的復數是z=0+0i=0,表示的是實數.故除了原點外,虛軸上的點都

表示純虛數.復數集C和復平面內所有的點所成的集合及平面向量是一一對應關系,即復數z=a+bi

復平面內的點Z(a,b)

平面向量

3.復數運算常用的性質:(1)(1±i)2=±2i;②

=i,

=-I;(2)設ω=-

+

i,則①ω3=0,②1+ω+ω2=0,③

=ω2.(3)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).求解計算時,要充分利用i的性質.4.在復數的求解過程中,要注意復數整體思想的把握和應用.5.復數問題實數化是解決復數問題的最基本也是最重要的思想方法,其依據是復數的有關概念和兩個復數相等的充要條件.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選1.已知z=1+i(i是虛數單位)則

+z2等于

(

)(A)1+i.

(B)-1+i.

(C)1-i.

(D)-1-i.【解析】

+z2=

+(1+i)2=

+(1+i)2=1-i+1+i2+2i=1+i.【答案】A一、選擇題考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選2.復數(3+i)m-(2+i)對應的點在第三象限內,則實數m的取值范圍是

(

)(A)m<

.

(B)m<1.(C)

<m<1.

(D)m>1.【解析】z=(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,對應點在第三象限內,故

解得:m<

.【答案】A考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選3.如果復數

的實部與虛部互為相反數,那么實數b等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)2.

(D)-

.【解析】

=

×

=

-

i,因為實部與虛部互為相反數,即

=

,解得b=-

.【答案】D考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選4.在復平面內,向量

對應的復數是2+i,向量

對應的復數是-1-3i,則向量

對應的復數是

(

)(A)1-2i.

(B)-1+2i.(C)3+4i.

(D)-3-4i.【解析】因為

=

+

=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.【答案】D考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選5.已知x、y互為共軛復數,且(x+y)2-3xyi=4-6i,則x+y的值為

(

)(A)2i.

(B)-2i.(C)2或-2.

(D)-2i或-2i.【解析】設x=a+bi(a,b∈R),則y=a-bi,代入原式得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i?

?

或

或

或

所以

或

或

或

【答案】C考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選6.i是虛數單位,i+2i2+3i3+…+8i8等于

.【解析】i+2i2+3i3+…+8i8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.【答案】4-4i二、填空題7.復數z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,則實數a的取值范圍是

.【解析】|z1|=

,|z2|=

,∵|z1|<|z2|,∴

<

,∴a2<1,∴-1<a<1.故a的范圍是(-1,1).【答案】(-1,1)考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選8.設x,y為實數,且

+

=

,則x+y=

.【解析】

+

=

+

=(

+

)+(

+

)i,而

=

=

+

i,所以

+

=

且

+

=

,解得x=-1,y=5,所以x+y=4.【答案】4考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選9.已知關于x的方程x2+(1-2i)x+3m-i=0有實根,則實數m的值是

.【解析】設方程的實根為x=a(a∈R),則a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,∴(a2+a+3m)-(2a+1)i=0,∴

∴m=

.【答案】

考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選10.在復平面上,正方形ABCD的兩個頂點A,B對應的復數分別為1+2

i,3-5i.求另外兩個頂點C,D對應的復數.【解析】設D(x,y),則

=(x-1,y-2),

=(2,-7),

⊥

?(x-1)·2-7(y-2)=0,|

|=|

|=

?

=

,∴

或

∴zD=-6或zD=8+4i.又∵

與

為相等向量,zC-zB=zD-zA?zC=zD-zA+zB,三、解答題∴

或

考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選11.已知復數z=a+bi(a,b∈R+)(i是虛數單位)是方程x2-4x+5=0的根,復

數w=u+3i(u∈R)滿足|w-z|<2

,求u的取值范圍.【解析】原方程的根為x1,2=2±i,∵a、b∈R+,∴z=2+i,∵|w-z|=|(u+3i)-(2+i)|=

<2

,∴-2<u<6.考綱解讀知識框圖備考策略名師指點基礎訓練典例導練考徑避陷方法技巧名校押題1~66~910~12例題備選12.設復數z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,當a取何值時.(1)z∈R;(2)z是純虛數;(3)z所對應的點在復平面的第四象限內.【解析】(1)z∈R,只需a2-7a+6=0,∴a=1或a=6.(2)z是純虛數,只需

∴a=-2.(3)由題意知

∴