應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

普通高等學(xué)校十三五規(guī)劃教材

“”

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

朱泰英劉三明郭鵬主編

內(nèi)容簡介

本書以優(yōu)化結(jié)構(gòu)邏輯清晰通俗易懂注重應(yīng)用為原則采用應(yīng)用型本科院校學(xué)生

、、、,

易于接受的方式深入淺出地講解應(yīng)用工程數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用

,“”,

能力

。

全書共分章第章是線性代數(shù)部分內(nèi)容包括行列式矩陣矩陣的秩與線

14,1~5,、、

性方程組向量組的線性相關(guān)性與線性方程組解的結(jié)構(gòu)相似矩陣與二次型第

、、;6~10

章是概率論部分內(nèi)容包括隨機事件與概率一維隨機變量及其分布多維隨機變量及

,、、

其分布隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理第章是復(fù)變函數(shù)和拉

、、;11~14

普拉斯變換部分內(nèi)容包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分拉普拉斯變

,、、、

換每章末均附有習(xí)題書后附有習(xí)題參考答案

。,。

本書適合作為應(yīng)用型本科院校應(yīng)用工程數(shù)學(xué)課程教材也可以作為一般工程技

“”,

術(shù)人員的參考書

。

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)朱泰英劉三明郭鵬主編北京中國

/,,.—:

鐵道出版社有限公司

,2019.7

普通高等學(xué)校十三五規(guī)劃教材

“”

ISBN978--7--113--25824--5

應(yīng)朱劉郭工程數(shù)學(xué)高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…③…Ⅲ.①--

學(xué)校教材

--Ⅳ.①TB11

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2019)120697

書名:應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

作者:朱泰英劉三明郭鵬

策劃:李小軍讀者熱線:

(010)63550836

責(zé)任編輯:許璐徐盼欣

封面設(shè)計:劉穎

責(zé)任校對:張玉華

責(zé)任印制:郭向偉

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

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印刷:三河p市宏盛印務(wù)p有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201971201971

開本:印張:字?jǐn)?shù):千

700mm×1000mm1/1619.75386

書號:

ISBN978--7--113--25824--5

定價:元

48.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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:(010)51873659

前言

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)作為高等院校一門重要的應(yīng)用性基礎(chǔ)課程,它對提高學(xué)生的

素質(zhì),優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),培養(yǎng)科學(xué)思維能力、分析問題和解決工程問題能力,提高

創(chuàng)新意識,以及為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)等方面具有重

要的作用。

針對目前國內(nèi)開展的應(yīng)用型本科院校轉(zhuǎn)型發(fā)展的趨勢,本書著眼于對工程

實踐及經(jīng)濟問題的實際需要,注重闡明應(yīng)用工程數(shù)學(xué)的基本知識和基本方法。

在教材體系與內(nèi)容編寫安排上,充分考慮應(yīng)用型本科院校的實際教學(xué)特點,以

提高學(xué)生的素質(zhì)能力為前提,以基本概念和基本方法為核心,適當(dāng)精簡結(jié)構(gòu),力

圖做到優(yōu)化結(jié)構(gòu)、邏輯清晰、通俗易懂、注重應(yīng)用,保證教材的科學(xué)性、系統(tǒng)性和

直觀性,旨在培養(yǎng)學(xué)生把應(yīng)用工程數(shù)學(xué)知識用于工程實踐及經(jīng)濟問題的意識和

能力,以適用于應(yīng)用型本科人才的培養(yǎng)。

全書內(nèi)容共分章,第章是線性代數(shù)部分,內(nèi)容包括行列式、矩陣、

141~5

矩陣的秩與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性與線性方程組解的結(jié)構(gòu)、相似矩

陣與二次型;第章是概率論部分,內(nèi)容包括隨機事件與概率、一維隨機變

6~10

量及其分布、多維隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律與中心極

限定理;第章是復(fù)變函數(shù)和拉普拉斯變換部分,內(nèi)容包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函

11~14

數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、拉普拉斯變換。

本書由編者在多年教學(xué)實踐基礎(chǔ)上積累的教學(xué)資料和教材經(jīng)過完善和整

理而成,由朱泰英、劉三明、郭鵬任主編。具體編寫分工如下:第、章由

12

歐陽庚旭編寫,第、章由劉三明編寫,第章由程松林編寫,第章由朱泰英

3456

編寫,第、章由周鋼編寫,第、章由王玲編寫,第章由郭鵬編寫,第

789101112

章由楊偉編寫,第章由戚建明編寫,第章由戚建明、郭鵬和楊偉編寫。全

1314

書由朱泰英、劉三明、郭鵬統(tǒng)稿、定稿。

本書適合作為應(yīng)用型本科院校“應(yīng)用工程數(shù)學(xué)”課程教材,也可以作為一般

工程技術(shù)人員的參考書。

在編寫過程中,我們參考了大量的國內(nèi)外資料及教材,在此向其作者表示

衷心的感謝。

限于編者水平和時間,書中疏漏之處在所難免,懇請讀者指正,以便以后完

善提高。

編者

年月

20194

目錄

第1章行列式………………………

1

二階行列式與三階行列式………………

§1.11

二階行列式的定義三階行列式的定義

1.1.1(1)1.1.2(2)

n階行列式的定義及性質(zhì)………………

§1.24

n階行列式的定義n階行列式的性質(zhì)

1.2.1(4)1.2.2(7)

行列式的計算……………

§1.311

克拉默法則………………

§1.416

習(xí)題……………

120

第2章矩陣………………………

23

矩陣及特殊矩陣…………

§2.123

矩陣的概念幾種特殊矩陣

2.1.1(23)2.1.2(24)

矩陣的運算………………

§2.226

矩陣的線性運算矩陣與矩陣相乘

2.2.1(26)2.2.2(28)

矩陣的轉(zhuǎn)置方陣的行列式

2.2.3(30)2.2.4(32)

矩陣的逆…………………

§2.332

逆矩陣的概念逆矩陣的運算性質(zhì)

2.3.1(32)2.3.2(34)

矩陣方程矩陣多項式及其運算

2.3.3(35)2.3.4(36)

分塊矩陣…………………

§2.437

分塊矩陣的概念分塊矩陣的運算

2.4.1(37)2.4.2(38)

常用的分塊法

2.4.3(41)

習(xí)題……………

244

第3章矩陣的秩與線性方程組…………………

47

矩陣的初等變換及其標(biāo)準(zhǔn)形……………

§3.147

矩陣的初等變換矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

3.1.1(47)3.1.2(48)

初等矩陣…………………

§3.251

初等矩陣的定義及性質(zhì)

3.2.1(51)

用初等變換求逆矩陣及解矩陣方程

3.2.2(55)

矩陣的秩…………………

§3.359

矩陣的秩的概念利用初等變換求矩陣的秩

3.3.1(59)3.3.2(61)

線性方程組的解…………

§3.462

問題的提出線性方程組解的判定

3.4.1(62)3.4.2(63)

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

Ⅱ|

用初等行變換求解線性方程組

3.4.3(67)

習(xí)題……………

370

第4章向量組的線性相關(guān)性與線性方程組解的結(jié)構(gòu)…………

74

n維向量及其線性組合…………………

§4.174

n維向量的概念向量組及其線性組合

4.1.1(74)4.1.2(76)

向量組的等價

4.1.3(79)

向量組的線性相關(guān)性……………………

§4.280

線性相關(guān)性的概念向量組線性相關(guān)性的判定

4.2.1(80)4.2.2(82)

向量組有限時等價的矩陣表示

4.2.3(84)

向量組的最大線性無關(guān)組與向量組的秩………………

§4.385

最大線性無關(guān)組向量組的秩

4.3.1(85)4.3.2(85)

向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系

4.3.3(86)

向量組的秩及其最大線性無關(guān)組的求法

4.3.4(87)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)……………………

§4.488

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.4.1(88)

非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.4.2(93)

習(xí)題……………

495

第5章相似矩陣與二次型………

99

方陣的特征值和特征向量………………

§5.199

特征值與特征向量的概念特征值和特征向量的求法

5.1.1(99)5.1.2(100)

特征值和特征向量的性質(zhì)

5.1.3(102)

相似矩陣與矩陣的對角化……………

§5.2103

相似矩陣方陣與對角矩陣相似的條件

5.2.1(104)5.2.2(104)

方陣對角化的步驟

5.2.3(104)

向量的內(nèi)積長度及正交性……………

§5.3、106

向量的內(nèi)積正交向量組

5.3.1(107)5.3.2(109)

向量組的單位正交化方法正交矩陣

5.3.3(110)5.3.4(112)

實對稱矩陣的對角化…………………

§5.4113

實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)

5.4.1(113)

實對稱矩陣對角化

5.4.2(114)

二次型…………………

§5.5117

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型的矩陣表示

5.5.1(117)5.5.2(118)

矩陣的合同化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

5.5.3(120)5.5.4(120)

正定二次型

5.5.5(125)

習(xí)題……………

5126

目錄

|Ⅲ

第6章隨機事件與概率…………

129

隨機事件………………

§6.1129

隨機試驗隨機事件

6.1.1(129)6.1.2(130)

隨機事件的關(guān)系與運算

6.1.3(131)

隨機事件的概率………

§6.2133

頻率概率的概念

6.2.1(134)6.2.2(134)

概率的性質(zhì)古典概型

6.2.3(135)6.2.4(136)

幾何概型

6.2.5(139)

條件概率與事件的獨立性……………

§6.3140

條件概率乘法公式

6.3.1(140)6.3.2(141)

事件的獨立性

6.3.3(142)

全概率公式與貝葉斯公式……………

§6.4144

全概率公式貝葉斯公式

6.4.1(144)6.4.2(145)

習(xí)題……………

6147

第7章一維隨機變量及其分布…………………

151

隨機變量及其分布函數(shù)………………

§7.1151

隨機變量分布函數(shù)

7.1.1(151)7.1.2(152)

離散型隨機變量及其分布……………

§7.2153

離散型隨機變量的分布律

7.2.1(153)

常用離散型隨機變量的分布律

7.2.2(155)

連續(xù)型隨機變量及其分布……………

§7.3157

連續(xù)型隨機變量及其概率密度

7.3.1(157)

常用連續(xù)型隨機變量的概率密度

7.3.2(159)

隨機變量函數(shù)的分布…………………

§7.4163

離散型隨機變量函數(shù)的分布

7.4.1(164)

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

7.4.2(164)

習(xí)題……………

7166

第8章多維隨機變量及其分布…………………

170

二維隨機變量及其聯(lián)合分布…………

§8.1170

二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)

8.1.1(170)

二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律

8.1.2(171)

二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度

8.1.3(172)

邊緣分布………………

§8.2173

二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)

8.2.1(173)

二維離散型隨機變量的邊緣分布律

8.2.2(174)

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

Ⅳ|

二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度

8.2.3(175)

條件分布………………

§8.3176

二維離散型隨機變量的條件分布律

8.3.1(176)

二維連續(xù)型隨機變量的條件概率密度

8.3.2(177)

隨機變量的獨立性……………………

§8.4178

隨機變量獨立性的定義

8.4.1(178)

二維離散型隨機變量的獨立性

8.4.2(179)

二維連續(xù)型隨機變量的獨立性

8.4.3(179)

二維隨機變量函數(shù)的分布……………

§8.5180

二維離散型隨機變量函數(shù)的分布

8.5.1(180)

二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

8.5.2(182)

習(xí)題……………

8184

第9章隨機變量的數(shù)字特征……………………

190

數(shù)學(xué)期望………………

§9.1190

離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

9.1.1(190)

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

9.1.2(192)

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

9.1.3(193)

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

9.1.4(197)

方差……………………

§9.2199

方差的定義方差的計算

9.2.1(199)9.2.2(200)

方差的性質(zhì)

9.2.3(201)

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)……………………

§9.3203

協(xié)方差的定義協(xié)方差的性質(zhì)

9.3.1(203)9.3.2(203)

相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

9.3.3(204)9.3.4(204)

矩和協(xié)方差矩陣………

§9.4207

原點矩和中心矩協(xié)方差矩陣

9.4.1(207)9.4.2(208)

n維正態(tài)分布的概率密度

9.4.3(208)

n維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)

9.4.4(209)

習(xí)題……………

9210

第10章大數(shù)定律和中心極限定理……………

214

大數(shù)定律………………

§10.1214

切比雪夫不等式大數(shù)定律的概念

10.1.1(214)10.1.2(215)

中心極限定理…………

§10.2218

習(xí)題…………

10220

目錄

|Ⅴ

第11章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)………

223

復(fù)數(shù)的概念與運算……………………

§11.1223

復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的表示方法

11.1.1(223)11.1.2(223)

復(fù)數(shù)的運算法則、乘冪與方根

11.1.3(225)

復(fù)變函數(shù)及其極限與連續(xù)性…………

§11.2227

復(fù)平面上的區(qū)域

11.2.1(227)

復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

11.2.2(227)

習(xí)題…………

11228

第12章解析函數(shù)………………

230

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)………

§12.1230

解析函數(shù)………………

§12.2232

解析函數(shù)的概念

12.2.1(232)

復(fù)變函數(shù)解析的充要條件

12.2.2(233)

初等函數(shù)………………

§12.3236

指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

12.3.1(237)12.3.2(237)

冪函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

12.3.3(239)12.3.4(240)

反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)

12.3.5(242)

習(xí)題…………

12242

第13章復(fù)變函數(shù)的積分………

245

復(fù)變函數(shù)積分的概念…………………

§13.1245

有向曲線

13.1.1(245)

積分的定義及積分存在的條件

13.1.2(245)

復(fù)積分的性質(zhì)

13.1.3(246)

復(fù)積分計算的參數(shù)方程法

13.1.4(247)

柯西古薩積分定理…………………

§13.2--249

引言柯西積分定理

13.2.1(249)13.2.2(250)

原函數(shù)

13.2.3(250)

復(fù)合閉路定理…………

§13.3251

柯西積分公式…………

§13.4253

問題的提出柯西積分公式

13.4.1(253)13.4.2(254)

高階導(dǎo)數(shù)公式

13.4.3(255)

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系…………

§13.5257

調(diào)和函數(shù)的定義構(gòu)造解析函數(shù)

13.5.1(257)13.5.2(258)

習(xí)題…………

13259

應(yīng)用工程數(shù)學(xué)

Ⅵ|

第14章拉普拉斯變換…………

262

拉普拉斯變換的概念…………………

§14.1262

拉普拉斯變換的性質(zhì)…………………

§14.2265

拉普拉斯變換的卷積…………………

§14.3268

拉普拉斯逆變換………

§14.4270

拉普拉斯變換的應(yīng)用…………………

§14.5272

習(xí)題…………

14274

附錄…………………

276

附錄常用的概率分布表……………………

A276

附錄泊松分布表……………

B278

附錄標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表………

C283

附錄常用拉普拉斯變換表…………………

D285

習(xí)題參考答案……………………

287

參考文獻……………

306

第1章行列式

行列式起源于線性方程組是線性代數(shù)中的重要概念之一它在數(shù)學(xué)的許多分

,.

支中都有非常廣泛的應(yīng)用是研究線性方程組矩陣及向量組線性相關(guān)性的一種重

,、

要工具本章主要介紹n階行列式的概念性質(zhì)和計算方法以及用行列式解n元

.、,

線性方程組的克拉默法則

(Cramer).

§1.1二階行列式與三階行列式

1.1.1二階行列式的定義

考慮一般的兩個未知數(shù)兩個方程構(gòu)成的線性方程組

.

axaxb

例1用消元法解二元線性方程組111+122=1

{axaxb.

211+222=2

解第個方程a第個方程a得

1×22-2×12,

aaaaxbaba

(1122-1221)1=122-212,

第個方程a第個方程a得

2×11-1×21,

aaaaxabab

(1122-1221)2=112-211,

若aaaa則方程組有唯一解

1122-1221≠0,

babaabab

x122-212x112-211.

1=aaaa,2=aaaa

1122-12211122-1221

為此我們引入二階行列式的定義

,.

定義1二階行列式定義為

aa

1112aaaa.

aa=1122-1221(1--1)

2122

其中數(shù)aijij稱為行列式的元素橫排稱為行豎排稱為列元

,(=1,2;=1,2)(1--1),,.

素aij的第一個下標(biāo)i稱為行標(biāo)表明該元素位于第i行