重慶市榮昌中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題答案

榮昌中學(xué)高2025級(jí)高二上期第二次月考數(shù)學(xué)參考答案考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．一條直線過點(diǎn)A(1，0)和B(?2，3)，則該直線的傾斜角為(C)A．30° B．45° C．135° D．150°2．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(D)A.B.C.D.3．在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn).設(shè)，，，則(A)A. B.C.D..4．畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為(B)A． B． C． D． 【詳解】由題意可知的蒙日圓方程為，因?yàn)閳A與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓內(nèi)切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對值，所以或，由此解得，故選：B.5．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為(C)A． B． C． D．【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)則由對稱性知即所以解得故選C6．已知為橢圓的焦點(diǎn)且，M，N是橢圓上兩點(diǎn)，且，以為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，則的周長為(D)A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合勾股定理即可求解，由焦點(diǎn)三角形的周長公式即可求解.【詳解】由于為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，所以，不妨設(shè)則，由橢圓定義可得由勾股定理可得和，即和，解得，故的周長為，故選：D

7．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)為圓任一點(diǎn)，則的最小值為(C)A． B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值問題即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則，即，所以，則要使其最小，則需最小，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以.故選：C.8．雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為(A)A． B． C． D．【分析】設(shè)，利用雙曲線定義推出相關(guān)線段的長，進(jìn)而在和中利用余弦定理，求出以及，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求得答案.【詳解】由題意結(jié)合雙曲線定義可知，且，不妨設(shè)，則，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，結(jié)合，即得，故得，即.又可設(shè)，則，而，故，故選：A選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是()A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D．若，則是鈍角【答案】ABC【分析】根據(jù)向量共面的定義可判斷A，根據(jù)共面定理可判斷B，根據(jù)基底的定義可判斷C，利用向量夾角的取值范圍判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)橛袃蓚€(gè)向量共線，所以這三個(gè)向量一定共面，A正確；對于B，因?yàn)榍?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；對于C，因?yàn)槭强臻g中的一組基底，所以不共面且都不為，假設(shè)共面，則，即，則，與其為基底矛盾，所以不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對于D，若，則是鈍角或是，D錯(cuò)誤；故選：ABC10．已知直線：，圓：，則()A．直線恒過定點(diǎn) B．直線與圓相交C．圓被軸截得的弦長為 D．當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，【詳解】依題意，直線：可化為，由解得，，即直線過定點(diǎn)，A不正確；圓：的圓心，半徑，，即點(diǎn)P在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，B正確；圓心到x軸的距離，則圓被軸截得的弦長為，C不正確；由于直線過定點(diǎn)，圓心，則直線PC的斜率，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，由圓的性質(zhì)知，，于是得，解得，D正確.故選：BD11．已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C． D．為中點(diǎn)【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識(shí)來判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，設(shè)，，由，則，可得，所以，,解得所以,所以B正確.，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以,滿足,所以C正確.而,所以D正確.故選：BCD12.已知正方體的棱長為，點(diǎn)滿足,其中，為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為B.當(dāng)時(shí)，的面積為定值C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值D.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)使得平面分析】構(gòu)造面面平行可判定A，根據(jù)線線平行可判定B，利用線面平行及棱錐體積公式可判定C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系可判定D.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由正方體的特征可得四邊形是平行四邊形，故，又中點(diǎn)，中點(diǎn)，所以，所以，同理四邊形也是平行四邊形，可知，又平面，平面，可得平面，同理可得平面，因?yàn)椋?、平面，平面平面，若平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，已知正方體的棱長為，則點(diǎn)的軌跡的長度為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，由題意易得，故點(diǎn)到的距離是定值，所以的面積為定值，故B正確；由正方體特征可知是邊長為的等邊三角形，面積為定值，又中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故共線，即點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，平面，平面，所以平面，可得點(diǎn)到平面的距離是定值，可得三棱錐的體積為定值，故C正確；如下圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，則，若存在點(diǎn)使得平面，那么，而，故當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得平面，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離_________.【答案】【詳解】試題分析：兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以由點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是可得，14.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為_________.【答案】4【分析】由橢圓定義以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面積為4.【詳解】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.故答案為：415.已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.若，則_1_____.16．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)滿足，若，則雙曲線的離心率為_________.【答案】【分析】由題意可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)及托勒密定理可得四邊形為矩形．利用雙曲線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，則，，可得四邊形為平行四邊形，

又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．設(shè)，，在中，，則，，，，，，解得．雙曲線的離心率為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.QUOTE求AB的中垂線方程；(2)求AC的直線方程.答案：(2)求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.20.(12分)如圖，已知與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.(12分)已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由條件可得，即，則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長的雙曲線的右支，則，可得，所以曲線的方程為．

（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，由于且直線的斜率不等于