2024屆北京市第十二中學高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆北京市第十二中學高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．經(jīng)過原點且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．2．設，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列an中，a1+a2A．2n B．2n+1 C．2n-1 D．2n+25．如果直線l過點（2，1），且在y軸上的截距的取值范圍為（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范圍是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位7．設是△所在平面上的一點，若，則的最小值為A． B． C． D．8．記為實數(shù)中的最大數(shù).若實數(shù)滿足則的最大值為（）A． B．1 C． D．9．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______.12．一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔的南偏西距塔64海里的處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的處,則這只船的航行速度為__________海里/小時．13．已知線段上有個確定的點（包括端點與）.現(xiàn)對這些點進行往返標數(shù)（從…進行標數(shù)，遇到同方向點不夠數(shù)時就“調(diào)頭”往回數(shù)）.如圖：在點上標，稱為點，然后從點開始數(shù)到第二個數(shù)，標上，稱為點，再從點開始數(shù)到第三個數(shù)，標上，稱為點（標上數(shù)的點稱為點），……，這樣一直繼續(xù)下去，直到，，，…，都被標記到點上，則點上的所有標記的數(shù)中，最小的是_______.14．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則_____15．在直角梯形.中，，分別為的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.16．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為；數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，其前項和為．已知，，，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：.19．已知正項數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅲ）設=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．21．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線段BD上找一點H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【題目詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【題目點撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查扇形面積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】

首先比較自變量與的大小，然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【題目詳解】因為，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.故選C.【題目點撥】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，可以借助自變量的大小來比較函數(shù)值的大小.3、A【解題分析】

先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當時，，排除得到答案.【題目詳解】，偶函數(shù)，排除；當時，，排除故選：【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的識別，通過函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點可以排除選項快速得到答案.4、C【解題分析】

直接利用等差數(shù)列公式解方程組得到答案.【題目詳解】aaa1故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】

利用直線的斜率公式，求出當直線經(jīng)過點時，直線經(jīng)過點時的斜率，即可得到結(jié)論.【題目詳解】設要求直線的斜率為，當直線經(jīng)過點時，斜率為，當直線經(jīng)過點時，斜率為，故所求直線的斜率為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．7、C【解題分析】分析：利用向量的加法運算，設的中點為D，可得，利用數(shù)量積的運算性質(zhì)可將原式化簡為，為AD中點，從而得解.詳解：由，可得.設的中點為D，即.點P是△ABC所在平面上的任意一點，為AD中點.∴.當且僅當，即點與點重合時，有最小值.故選C.點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．8、B【解題分析】

先利用判別式法求出|x|,|y|,|z|的取值范圍，再判斷得解.【題目詳解】因為，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故選B【題目點撥】本題主要考查新定義和判別式法求范圍，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解題分析】

當平面ACD垂直于平面BCD時體積最大，得到答案.【題目詳解】取中點，連接當平面ACD垂直于平面BCD時等號成立.此時二面角為90°故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關(guān)鍵.10、B【解題分析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【題目詳解】.故選:B.【題目點撥】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先令，得到，兩式作差，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得出結(jié)果.【題目詳解】令，則，兩式作差得：所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的求和，熟記錯位相加法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.12、【解題分析】由，行駛了4小時，這只船的航行速度為海里/小時．【題目點撥】本題為解直角三角形應用題，利用直角三角形邊角關(guān)系表示出兩點間的距離，在用輔助角公式變形求值，最后利用速度公式求出結(jié)果.13、【解題分析】

將線段上的點考慮為一圓周，所以共有16個位置，利用規(guī)則，可知標記2019的是，2039190除以16的余數(shù)為6，即線段的第6個點標為2019，則，令，即可得．【題目詳解】依照題意知，標有2的是1+2，標有3的是1+2+3，……，標有2019的是1+2+3+……+2019，將將線段上的點考慮為一圓周，所以共有16個位置，利用規(guī)則，可知標記2019的是，2039190除以16的余數(shù)為6，即線段的第6個點標為2019，，令，，解得，故點上的所有標記的數(shù)中，最小的是3.【題目點撥】本題主要考查利用合情推理，分析解決問題的能力．意在考查學生的邏輯推理能力，14、1．【解題分析】

利用等差數(shù)列前項和公式能求出的值．【題目詳解】解：∵等差數(shù)列的前項和為，若，

．

故答案為：．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

建立直角坐標系，設，根據(jù)，表示出，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：，分別為的中點，，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動，設，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當時，故答案為：【題目點撥】此題考查平面向量線性運算，處理平面幾何相關(guān)問題，涉及三角換元，轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.16、【解題分析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【題目詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【題目點撥】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）根據(jù)題意知,①②①—②得∴,對任意的恒成立,∴【題目點撥】本題主要考查了等差等比數(shù)列的基本量求解方法以及錯位相減和不等式恒成立的問題.屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）將代入到函數(shù)表達式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項公式，然后根據(jù)不等式＜在求和時進行放縮法的應用，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式進行計算，即可證出．【題目詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當n∈N*時，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項公式與放縮法的應用是解決本題的兩個關(guān)鍵點，屬于中檔題．19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因為，，成等比數(shù)列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化為，即f（n）=恒成立，當a–1＞0即a＞1時，不合題意；當a–1=0即a=1時，滿足題意；當a–1＜0即a＜1時，f（n）的對稱軸為，f（n）單調(diào)遞減，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；綜上，a≤1.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對應角θ的值．【題目詳解】（1）因為，所以（2）因為與垂直，所以即，所以又，所以【題目點撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計算問題，是基礎(chǔ)題．21、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解題分析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，證明N點為所找的H點．【題目詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明